Ο πίνακας πολλαπλασιασμού είναι όλα τα γινόμενα των αριθμών από το 1 έως το 10. Σε αυτή τη σελίδα, παρουσιάζεται σε δύο μορφές: ως τετράγωνο 10 × 10 (Πίνακας Πυθαγόρα) και σε στήλες για τους αριθμούς 2, 3, 4… 9 — και οι δύο είναι βολικές για εκτύπωση. Επίσης, θα βρεις τεχνικές που μειώνουν στο μισό τον αριθμό των πράξεων που πρέπει να μάθεις, τον κανόνα των δακτύλων για το εννέα, τη σύνδεση με τη διαίρεση και ένα σχέδιο για να μάθεις τον πίνακα πολλαπλασιασμού σε μια εβδομάδα. Μπορείς να ελέγξεις τις γνώσεις σου στην καρτέλα «Προσομοιωτής».
Έλεγξε τον εαυτό σου: 10 παραλλαγές των 12 πράξεων, υπόδειξη μέσω γειτονικής πράξης.
Άνοιγμα προπονητήΤι είναι ο πολλαπλασιασμός
Πολλαπλασιασμός είναι η σύντομη γραφή της πρόσθεσης ίσων όρων. Αντί να γράφουμε \(4 + 4 + 4\), γράφουμε \(4 \times 3\): «το τέσσερα, τρεις φορές».
Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται ονομάζονται παράγοντες, και το αποτέλεσμα γινόμενο. Στη γραφή \(4 \times 3 = 12\), οι παράγοντες είναι το 4 και το 3, και το γινόμενο είναι το 12.
Είναι πιο βολικό να φανταστείς τον πολλαπλασιασμό ως ένα ορθογώνιο από τελείες ή κυψέλες: πόσες σειρές και πόσα στοιχεία σε κάθε μία. Ένα τέτοιο ορθογώνιο δείχνει αμέσως την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό, και γιατί η εναλλαγή των παραγόντων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα — αρκεί να περιστρέψεις την εικόνα.
Πίνακας πολλαπλασιασμού: Πίνακας Πυθαγόρα από το 1 έως το 10
Ο πλήρης πίνακας πολλαπλασιασμού χωράει σε ένα τετράγωνο 10 × 10 — αυτό ονομάζεται Πίνακας Πυθαγόρα. Πώς να τον χρησιμοποιήσεις: βρες τον πρώτο παράγοντα στην αριστερή στήλη, τον δεύτερο στην πάνω γραμμή, και το αποτέλεσμα βρίσκεται στην τομή τους. Για παράδειγμα, η γραμμή 6 και η στήλη 7 συναντιούνται στην κυψέλη 42.
Κοίταξε προσεκτικά τον πίνακα και θα βρεις μοτίβα. Στην διαγώνιο βρίσκονται τα τετράγωνα — αριθμοί πολλαπλασιασμένοι με τον εαυτό τους. Ο πίνακας είναι συμμετρικός: η κυψέλη πάνω από τη διαγώνιο είναι ίδια με την κυψέλη κάτω από αυτήν. Και κάθε γραμμή είναι μια αρίθμηση με σταθερά βήματα: η γραμμή 3 προχωράει 3, 6, 9, 12…
Ο πίνακας είναι βολικός για εκτύπωση και για να τον κρεμάσεις πάνω από το γραφείο: τα τετράγωνα και οι επαναλαμβανόμενες κυψέλες είναι χρωματισμένες.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Πίνακας πολλαπλασιασμού επί 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 σε στήλες
Στο σχολείο, ο πίνακας συνήθως μαθαίνεται κατά στήλες: πρώτα όλος ο πολλαπλασιασμός επί 2, μετά επί 3 και ούτω καθεξής. Είναι οι ίδιοι αριθμοί με τον Πίνακα Πυθαγόρα, απλώς κάθε γραμμή είναι γραμμένη ως πράξεις. Οι στήλες για το 1 και το 10 δεν παρουσιάζονται εδώ: κατά τον πολλαπλασιασμό επί 1 ο αριθμός δεν αλλάζει, ενώ κατά τον πολλαπλασιασμό επί 10 προστίθεται ένα μηδέν στο τέλος του.
Οι στήλες είναι καλές για να μάθεις τον πίνακα τμηματικά. Αλλά αν απαντάς μόνο με τη σειρά, είναι εύκολο να συνηθίσεις να «μετράς» από την αρχή. Γι' αυτό, αφού μάθεις μια στήλη, πρέπει να την ελέγχεις με τυχαία σειρά.
Πώς να μάθεις γρήγορα τον πίνακα πολλαπλασιασμού: το μισό είναι ήδη γνωστό
Ο πίνακας φαίνεται σαν εκατό πράξεις, αλλά στην πραγματικότητα χρειάζεται να μάθεις πολύ λιγότερες.
- Επιμεριστική ιδιότητα. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Αν έμαθες τη μία, ξέρεις ήδη και την άλλη. Από τις 100 κυψέλες, μένουν 55 διαφορετικές — σχεδόν ο μισός πίνακας δωρεάν.
- Πολλαπλασιασμός επί 0 και επί 1. Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος επί 0 δίνει 0. Πολλαπλασιασμένος επί 1 παραμένει ο εαυτός του.
- Πολλαπλασιασμός επί 10. Προσθέτουμε ένα μηδέν στον αριθμό: \(10 \times 4 = 40\).
- Πολλαπλασιασμός επί 2 είναι η διπλασιασμός, ο αριθμός προστίθεται στον εαυτό του.
- Πολλαπλασιασμός επί 5 είναι το μισό του πολλαπλασιασμού επί 10. Όλα τα αποτελέσματα τελειώνουν σε 0 ή 5.
Μετά από αυτούς τους κανόνες, στις στήλες από 3 έως 9 απομένουν πολύ λίγες πράξεις. Κάθε μία από αυτές μπορεί να εξαχθεί από ό,τι ήδη γνωρίζεις — οι τεχνικές παρακάτω.
Πίνακας πολλαπλασιασμού επί 9: με τα δάχτυλα και με το άθροισμα ψηφίων
Η στήλη του 9 είναι η πιο «μαγική». Έχει δύο αξιόπιστους κανόνες.
Κανόνας αθροίσματος ψηφίων. Στα αποτελέσματα από \(9 \times 2\) έως \(9 \times 10\), το άθροισμα των ψηφίων είναι πάντα 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Και το ψηφίο των δεκάδων είναι κατά ένα μικρότερο από τον δεύτερο παράγοντα. Άρα, \(9 \times 4\): οι δεκάδες είναι 3, και οι μονάδες είναι όσες χρειάζονται για να γίνουν 9 μαζί, δηλαδή 6. Το αποτέλεσμα είναι 36.
Κανόνας δακτύλων. Βάλε τα χέρια σου μπροστά, αρίθμησε τα δάχτυλα από αριστερά προς τα δεξιά από το 1 έως το 10. Για να πολλαπλασιάσεις το 9 με έναν αριθμό, λύγισε το δάχτυλο με αυτόν τον αριθμό. Τα δάχτυλα αριστερά από το λυγισμένο είναι οι δεκάδες, δεξιά είναι οι μονάδες. Ο κανόνας λειτουργεί για παράγοντες από 1 έως 10.
Υπάρχει και τρίτος τρόπος, χωρίς δάχτυλα: πολλαπλασίασε επί 10 και αφαίρεσε τον ίδιο τον αριθμό.
Πίνακας πολλαπλασιασμού επί 6, 7 και 8: τετράγωνα και γείτονες
Αυτές οι στήλες θεωρούνται οι πιο δύσκολες, αλλά μετά από όλες τις τεχνικές, απομένουν μόνο λίγες νέες πράξεις: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 και 8 × 8.
Τα τετράγωνα απομνημονεύονται ευκολότερα από τα άλλα, επειδή είναι λίγα και βρίσκονται στη διαγώνιο του πίνακα: 36, 49, 64. Αφού μάθεις τα τετράγωνα, μπορείς να βρεις τα γειτονικά αποτελέσματα με ένα βήμα: \(7 \times 8\) είναι \(7 \times 7\) συν άλλη μία επτάδα: \(49 + 7 = 56\). Ομοίως \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).
Η δεύτερη μέθοδος είναι μέσω του πέντε: \(6 \times 8\) είναι \(5 \times 8\) συν άλλη μία οκτάδα: \(40 + 8 = 48\).
Για το 7 × 8 υπάρχει και μια ψηφιακή υπόδειξη: \(56 = 7 \times 8\) — τα ψηφία 5, 6, 7, 8 ακολουθούν σε σειρά.
Πίνακας πολλαπλασιασμού και διαίρεσης
Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Γι' αυτό δεν χρειάζεται να μάθεις ξεχωριστό «πίνακα διαίρεσης»: είναι ήδη κρυμμένος στον πίνακα πολλαπλασιασμού.
Από τρεις αριθμούς μιας πράξης προκύπτουν τέσσερις σωστές ισότητες: δύο πολλαπλασιασμού και δύο διαίρεσης. Αν ξέρεις ότι \(7 \times 8 = 56\), τότε ξέρεις και \(56 \div 8 = 7\), και \(56 \div 7 = 8\).
Πώς να χρησιμοποιήσεις τον Πίνακα Πυθαγόρα για διαίρεση: βρες στον πίνακα το διαιρετέο στη στήλη του διαιρέτη — ο αριθμός της γραμμής θα είναι η απάντηση.
Πώς να μάθεις τον πίνακα πολλαπλασιασμού σε μια εβδομάδα: σχέδιο ανά ημέρα
Η σειρά μελέτης είναι σημαντική: πρώτα οι πιο απλές στήλες και οι κανόνες που δίνουν πολλά αποτελέσματα αμέσως, και οι δύσκολες πράξεις στο τέλος, όταν έχουν απομείνει λίγες. Καλύτερα να μελετάς λίγο κάθε μέρα, 10–15 λεπτά, παρά μια φορά για πολύ.
Κάθε μάθημα ξεκίνα με μια σύντομη επανάληψη της προηγούμενης ημέρας. Απάντα φωναχτά και με τυχαία σειρά, όχι με τη σειρά. Τις λάθος απαντήσεις γράψε ξεχωριστά: αυτό είναι το προσωπικό σου λίστα για αύριο.
Είναι βολικό να ελέγχεις τον εαυτό σου στην καρτέλα «Προσομοιωτής» αυτής της σελίδας: εκεί μπορείς να επιλέξεις μεμονωμένες στήλες — για παράδειγμα, μόνο 6, 7 και 8 — και να τις εξασκήσεις ακριβώς αυτές.
Παραδείγματα με ανάλυση: πώς να βρεις την απάντηση αν την έχεις ξεχάσει
Παράδειγμα 1. Ξέχασα 6 × 9 — πώς να το ανακτήσω
Μέθοδος 1 — μέσω του δέκα. \(10 \times 6 = 60\), αφαιρούμε ένα εξάρι: \(60 - 6 = 54\).
Μέθοδος 2 — μέσω του πέντε. \(5 \times 9 = 45\), προσθέτουμε άλλη μία εννιάδα: \(45 + 9 = 54\).
Έλεγχος με άθροισμα ψηφίων: \(5 + 4 = 9\) — η απάντηση από τη στήλη του 9 φαίνεται σωστή.
Απάντηση: \(6 \times 9 = 54\).
Παράδειγμα 2. 4 × 8 με διπλασιασμό
Βήμα 1. Πολλαπλασιασμός επί 4 σημαίνει διπλασιασμός δύο φορές.
Βήμα 2. \(8 + 8 = 16\).
Βήμα 3. \(16 + 16 = 32\).
Απάντηση: \(4 \times 8 = 32\). Ο ίδιος αριθμός βρίσκεται και στην κυψέλη \(8 \times 4\).
Παράδειγμα 3. Διαίρεση μέσω του πίνακα: 72 ÷ 9
Βήμα 1. Θέτουμε την ερώτηση του πολλαπλασιασμού: με πόσο πρέπει να πολλαπλασιάσω το 9 για να πάρω 72;
Βήμα 2. Θυμόμαστε τη στήλη του 9: στον αριθμό 72, το ψηφίο των δεκάδων είναι 7, άρα ο δεύτερος παράγοντας είναι κατά ένα μεγαλύτερος — 8.
Βήμα 3. Ελέγχουμε: \(9 \times 8 = 72\).
Απάντηση: \(72 \div 9 = 8\).
Παράδειγμα 4. Πρόβλημα: κουτιά με μολύβια
Πρόβλημα. Σε ένα κουτί υπάρχουν 6 μολύβια. Πόσα μολύβια υπάρχουν σε 4 κουτιά;
Βήμα 1. Ίσος αριθμός που επαναλαμβάνεται πολλές φορές είναι πολλαπλασιασμός: \(6 \times 4\).
Βήμα 2. Διπλασιάζουμε δύο φορές: \(6 \to 12 \to 24\).
Απάντηση: 24 μολύβια.
Συχνά λάθη στον πίνακα πολλαπλασιασμού
-
Μπερδεύουν 7 × 8 και 6 × 8: λένε «7 × 8 = 48».
Το 48 είναι 6 × 8. Η απάντηση 7 × 8 είναι κατά μία οκτάδα μεγαλύτερη: 48 + 8 = 56. Υπόδειξη: στη γραφή 56 = 7 × 8 τα ψηφία 5, 6, 7, 8 ακολουθούν σε σειρά.
-
Συγχέουν τα αποτελέσματα 6 × 7, 6 × 8 και 7 × 8 — οι αριθμοί 42, 48 και 56 «πλέουν».
Βασίσου στα τετράγωνα: 6 × 6 = 36, άρα 6 × 7 = 36 + 6 = 42. 7 × 7 = 49, άρα 7 × 8 = 49 + 7 = 56. Και 6 × 8 = 40 + 8 = 48 μέσω του πέντε. Κάθε ένας από τους τρεις αριθμούς προκύπτει με έναν σύντομο τρόπο.
-
Κατά τον πολλαπλασιασμό επί 0 γράφουν τον ίδιο τον αριθμό: 5 × 0 = 5.
Αν πάρεις το μηδέν πέντε φορές, θα πάρεις μηδέν. Οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος επί 0 ισούται με 0. Ο αριθμός παραμένει ο εαυτός του μόνο κατά τον πολλαπλασιασμό επί 1.
-
Κατά τον πολλαπλασιασμό επί 1 προσθέτουν μία μονάδα: 8 × 1 = 9.
Πολλαπλασιασμός επί 1 σημαίνει να πάρεις τον αριθμό μία φορά, γι' αυτό 8 × 1 = 8. Η πρόσθεση μιας μονάδας είναι πρόσθεση, όχι πολλαπλασιασμός.
-
Προσθέτουν αντί να πολλαπλασιάζουν: 4 × 4 = 8.
4 + 4 = 8, ενώ 4 × 4 είναι τέσσερα τεσσάρια: 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Η σύγχυση προέρχεται από το 2 × 2 = 2 + 2 = 4 — αυτή είναι η μοναδική περίπτωση όπου η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός συμπίπτουν.
-
Γνωρίζουν τη στήλη μόνο με τη σειρά και κάθε φορά ξαναμετρούν από την αρχή: «7, 14, 21, 28…».
Αυτό είναι μέτρημα, όχι γνώση του πίνακα. Όταν μάθεις τη στήλη, εξάσκησέ την με τυχαία σειρά, μέχρι να εμφανίζεται αμέσως η απάντηση. Στην καρτέλα «Προσομοιωτής» οι πράξεις είναι ακριβώς έτσι.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Πώς να μάθεις γρήγορα τον πίνακα πολλαπλασιασμού;
Μην μαθαίνεις εκατό πράξεις στη σειρά. Πρώτα η επιμεριστική ιδιότητα και απλοί κανόνες (×0, ×1, ×2, ×5, ×10) — μετά από αυτούς απομένει λιγότερο από το μισό του πίνακα. Μετά τεχνικές για ×4 και ×9, έπειτα τετράγωνα και γείτονες για ×6, ×7, ×8. Μελέτησε 10–15 λεπτά την ημέρα και έλεγχε τον εαυτό σου με τυχαία σειρά — έτσι ο πίνακας απομνημονεύεται περίπου σε μια εβδομάδα.
Πόσες πράξεις στον πίνακα πολλαπλασιασμού πρέπει να μάθεις στην πραγματικότητα;
Ο Πίνακας Πυθαγόρα έχει 100 κυψέλες, αλλά λόγω της επιμεριστικής ιδιότητας, υπάρχουν μόνο 55 διαφορετικές πράξεις. Αν αφαιρέσεις τον πολλαπλασιασμό επί 0, 1, 2, 5 και 10, που λύνονται με κανόνες, και τη στήλη του 9 με τον κανόνα των δακτύλων, απομένουν 15 πράξεις. Και οι πιο δύσκολες, για τις οποίες χρειάζεται τεχνική, είναι περίπου δέκα, κυρίως στις στήλες 6, 7 και 8.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του Πίνακα Πυθαγόρα και του πίνακα πολλαπλασιασμού σε στήλες;
Οι αριθμοί είναι οι ίδιοι. Ο Πίνακας Πυθαγόρα είναι ένα τετράγωνο 10 × 10, όπου το αποτέλεσμα βρίσκεται στην τομή της γραμμής και της στήλης· σε αυτόν είναι ευδιάκριτα τα μοτίβα και η συμμετρία. Οι στήλες είναι οι ίδιες γραμμές, γραμμένες ως πράξεις «7 × 3 = 21»· είναι βολικές για να τις μάθεις τμηματικά.
Πώς να εκτυπώσεις τον πίνακα πολλαπλασιασμού;
Άνοιξε αυτή τη σελίδα και επέλεξε εκτύπωση στον περιηγητή σου (στον υπολογιστή — Ctrl+P ή ⌘+P). Στην εκτύπωση θα συμπεριληφθούν και ο Πίνακας Πυθαγόρα και ο πίνακας σε στήλες· μπορείς να μην εκτυπώσεις τις περιττές σελίδες, αναφέροντας τους αριθμούς τους στο παράθυρο εκτύπωσης.
Σε ποια τάξη διδάσκεται ο πίνακας πολλαπλασιασμού;
Συνήθως στη 2η-3η δημοτικού: πρώτα γνωρίζονται με τον πολλαπλασιασμό ως πρόσθεση ίσων αριθμών, μετά μαθαίνουν τον πίνακα σε στήλες και τον συνδέουν αμέσως με τη διαίρεση. Η ακριβής σειρά εξαρτάται από το σχολικό πρόγραμμα.
Γιατί να μάθεις τον πίνακα απ' έξω, αφού υπάρχει κομπιουτεράκι;
Στον πίνακα πολλαπλασιασμού βασίζεται σχεδόν όλη η μετέπειτα μαθηματική γνώση: διαίρεση, κλάσματα, απλοποιήσεις, πολλαπλασιασμός στον стовпчик, εξισώσεις. Αν μετράς κάθε φορά, η προσοχή σου πηγαίνει στην αριθμητική, όχι στο ίδιο το πρόβλημα.
Πώς να μάθεις τον πίνακα πολλαπλασιασμού με ένα παιδί χωρίς δάκρυα;
Σύντομα μαθήματα κάθε μέρα, όχι ένα μακρύ. Ξεκίνα από ό,τι του βγαίνει και δείξε ότι πολλά αποτελέσματα το παιδί τα ξέρει ήδη. Επαινέστε για την ταχύτητα και τις σωστές απαντήσεις, και επανέλαβε τις δύσκολες πράξεις πιο συχνά. Λειτουργούν καλά τα παιχνίδια ταχύτητας και οι κάρτες με τυχαία σειρά.
Πώς να ελέγξεις αν έχεις μάθει τον πίνακα πολλαπλασιασμού;
Ο πίνακας έχει μάθει αν η απάντηση σε οποιαδήποτε πράξη με τυχαία σειρά εμφανίζεται αμέσως, χωρίς επανάληψη μέτρησης, και το ίδιο γρήγορα απαντάς στις αντίστροφες πράξεις διαίρεσης. Μπορείς να ελέγξεις τον εαυτό σου στην καρτέλα «Προσομοιωτής» — εκεί φαίνεται σε ποιες στήλες υπάρχουν λάθη.
