Ρητή ανίσωση είναι μια ανίσωση της μορφής \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), όπου \(P(x)\) και \(Q(x)\) είναι πολυώνυμα, και αντί του συμβόλου \(>\) μπορεί να υπάρχει \(<\), \(\ge\) ή \(\le\). Τέτοιες ανισώσεις λύνονται με τη μέθοδο διαστημάτων: μεταφέρουμε τα πάντα στο αριστερό μέλος, παραγοντοποιούμε, σημειώνουμε στην αριθμητική ευθεία τις ρίζες του αριθμητή και τις ρίζες του παρονομαστή και τοποθετούμε τα πρόσημα. Παρακάτω — ορισμός, πλήρης αλγόριθμος, κανόνας σημειωμένων σημείων, πολλαπλότητα ριζών, λυμένα παραδείγματα και εξάσκηση με έλεγχο.
Τι είναι η ρητή ανίσωση
Ρητή ανίσωση είναι μια ανίσωση, της οποίας και τα δύο μέλη είναι ρητές παραστάσεις, δηλαδή πολυώνυμα και κλάσματα πολυωνύμων. Μετά τη μεταφορά όλων σε ένα μέλος, πάντα ανάγεται στη μορφή
όπου \(P(x)\) και \(Q(x)\) είναι πολυώνυμα, και στη θέση του \(\vee\) βρίσκεται ένα από τα σύμβολα \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Στα δεξιά πρέπει οπωσδήποτε να είναι το μηδέν — αυτή είναι η συνθήκη, χωρίς την οποία η μέθοδος διαστημάτων δεν λειτουργεί.
Οι ρητές ανισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους. Αν η μεταβλητή εμφανίζεται μόνο στον αριθμητή, η ανίσωση ονομάζεται ακέραια ρητή: δεν υπάρχει διαίρεση, και είναι αποδεκτές όλες οι τιμές του \(x\). Αν η μεταβλητή υπάρχει στον παρονομαστή, η ανίσωση είναι κλασματική ρητή (ονομάζεται επίσης κλασματική ανίσωση ή ανίσωση με κλάσμα) — και τότε αμέσως εμφανίζεται ο περιορισμός \(Q(x) \neq 0\).
Γιατί δεν επιτρέπεται ο πολλαπλασιασμός και των δύο μελών με τον παρονομαστή
Η μεγαλύτερη πρόκληση κατά την επίλυση ανίσωσης με κλάσμα είναι η «απαλλαγή από τον παρονομαστή» πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με αυτόν. Με τις εξισώσεις αυτό επιτρέπεται, με τις ανισώσεις — όχι. Ο λόγος είναι απλός: κατά τον πολλαπλασιασμό με αρνητικό αριθμό, το πρόσημο της ανίσωσης αντιστρέφεται, ενώ το πρόσημο της παράστασης \(Q(x)\) είναι άγνωστο εκ των προτέρων — εξαρτάται από το \(x\).
Ας δούμε την ανίσωση \(\frac{5}{x-3} < 1\). Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με \(x - 3\), σαν να ήταν θετικός αριθμός: θα πάρουμε \(5 < x - 3\), δηλαδή \(x > 8\). Ελέγχουμε την απάντηση με αντικατάσταση \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — η ανίσωση είναι αληθής, άρα το μηδέν είναι επίσης λύση, αλλά δεν περιλαμβάνεται στην απάντηση \(x > 8\). Η απάντηση χάθηκε.
Ο σωστός δρόμος είναι να μεταφέρουμε τα πάντα αριστερά και να τα φέρουμε σε ένα κλάσμα:
Στο τελευταίο βήμα πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέλη με \(-1\) και αντιστρέψαμε το πρόσημο — αυτό είναι νόμιμο, επειδή το \(-1\) είναι πάντα αρνητικό. Στη συνέχεια εφαρμόζεται η μέθοδος διαστημάτων, και η απάντηση είναι \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — περιλαμβάνει και το μηδέν που χάθηκε.
Για να το θυμάσαι πιο εύκολα: δεν επιτρέπεται ο πολλαπλασιασμός και των δύο μελών με παράσταση που περιέχει μεταβλητή, η μεταφορά όρων επιτρέπεται πάντα. Η μεταφορά δεν αλλάζει το πρόσημο της ανίσωσης.
Μέθοδος διαστημάτων: αλγόριθμος επίλυσης βήμα προς βήμα
Η μέθοδος διαστημάτων βασίζεται σε μία ιδιότητα: μεταξύ γειτονικών ριζών μιας ρητής παράστασης, το πρόσημό της παραμένει σταθερό. Άρα, αρκεί να βρούμε όλες τις τιμές όπου ο αριθμητής ή ο παρονομαστής μηδενίζεται, να χωρίσουμε με αυτές την αριθμητική ευθεία και να προσδιορίσουμε το πρόσημο σε κάθε διάστημα — με μία δοκιμαστική τιμή ή με την πολλαπλότητα των ριζών.
Σημειωμένα (κενά) και γεμισμένα (κλειστά) σημεία: ΟΔΖ και πρόσημο ανίσωσης
Ένα λάθος σε μία παρένθεση μετατρέπει μια σωστή λύση σε λανθασμένη απάντηση, γι' αυτό ο κανόνας για τα σημεία αξίζει να απομνημονευθεί ξεχωριστά. Ισχύουν ακριβώς δύο λογικές.
Πρώτη — η περιοχή των επιτρεπτών τιμών (ΟΔΖ). Η ρίζα του παρονομαστή σημειώνεται πάντα κενή, με οποιοδήποτε πρόσημο ανίσωσης. Σε αυτό το σημείο, το κλάσμα απλώς δεν υπάρχει: δεν επιτρέπεται η διαίρεση με μηδέν, επομένως ο αριθμός δεν μπορεί να είναι λύση, ακόμα κι αν το πρόσημο είναι μη αυστηρό.
Δεύτερη — αυστηρό ή μη αυστηρό πρόσημο. Οι ρίζες του αριθμητή μηδενίζουν το κλάσμα. Με μη αυστηρό πρόσημο (\(\le\) ή \(\ge\)) η ισότητα με το μηδέν μας ικανοποιεί, άρα το σημείο γεμίζεται και περιλαμβάνεται στην απάντηση με τετράγωνη παρένθεση. Με αυστηρό πρόσημο (\(<\) ή \(>\)) το μηδέν δεν είναι αποδεκτό, και το σημείο σημειώνεται κενό.
Για παράδειγμα, στην ανίσωση \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\), το σημείο \(x = 6\) γεμίζεται (ρίζα αριθμητή, μη αυστηρό πρόσημο), ενώ το σημείο \(x = -1\) σημειώνεται κενό (ρίζα παρονομαστή). Απάντηση: \(x \in (-1; 6]\).
| Τι είδους σημείο | Πώς το σημειώνουμε |
|---|---|
| Ρίζα παρονομαστή, Q(x) = 0 | κενό πάντα, με οποιοδήποτε πρόσημο — το σημείο δεν ανήκει στην ΟΔΖ |
| Ρίζα αριθμητή, αυστηρό πρόσημο < ή > | κενό το κλάσμα ισούται με μηδέν, αλλά απαιτείται αυστηρά διαφορετικό πρόσημο |
| Ρίζα αριθμητή, μη αυστηρό πρόσημο ≤ ή ≥ | γεμισμένο η ισότητα με μηδέν είναι αποδεκτή, το σημείο περιλαμβάνεται στην απάντηση |
Πολλαπλότητα ριζών: πού αλλάζει το πρόσημο και πού όχι
Τα πρόσημα στα διαστήματα δεν είναι υποχρεωμένο να εναλλάσσονται απλώς — αυτή είναι η πιο συχνή παρανόηση στο θέμα. Η εναλλαγή λειτουργεί μόνο όταν όλες οι παρενθέσεις είναι υψωμένες στην πρώτη δύναμη. Ο κανόνας είναι πιο ακριβής και διατυπώνεται μέσω της πολλαπλότητας της ρίζας — του εκθέτη της δύναμης της αντίστοιχης παρένθεσης.
Κατά τη μετάβαση μέσω μιας ρίζας περιττής πολλαπλότητας (εκθέτης 1, 3, 5) το πρόσημο της παράστασης αλλάζει. Κατά τη μετάβαση μέσω μιας ρίζας άρτιας πολλαπλότητας (εκθέτης 2, 4) το πρόσημο δεν αλλάζει: η παρένθεση υψωμένη σε άρτια δύναμη είναι μη αρνητική και δεν αλλοιώνει το πρόσημο της παράστασης. Η πολλαπλότητα μετριέται το ίδιο και για τον αριθμητή, και για τον παρονομαστή.
Ας πάρουμε \((x-9)^2(x+3) > 0\). Ρίζες: \(x = 9\) πολλαπλότητας 2 και \(x = -3\) πολλαπλότητας 1. Δεξιά του εννέα η παράσταση είναι θετική. Περνάμε από το 9 — η πολλαπλότητα είναι άρτια, το πρόσημο διατηρείται, στο διάστημα \((-3; 9)\) είναι επίσης συν. Περνάμε από το \(-3\) — η πολλαπλότητα είναι περιττή, το πρόσημο αλλάζει σε πλην. Η απάντηση της αυστηρής ανίσωσης: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), το σημείο 9 είναι κενό, επειδή εκεί η παράσταση ισούται με μηδέν. Ενώ για τη μη αυστηρή \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) η απάντηση είναι ήδη διαφορετική: \(x \in [-3; +\infty)\) — το εννέα γεμίζεται και «κολλάει» τα δύο διαστήματα σε ένα.
| Πολλαπλότητα ρίζας | Πρόσημο κατά τη μετάβαση |
|---|---|
| Περιττή: (x − a), (x − a)3 | αλλάζει |
| Άρτια: (x − a)2, (x − a)4 | δεν αλλάζει |
Αριθμητική ευθεία σε παράδειγμα: τοποθετούμε τα πρόσημα
Ας συγκεντρώσουμε τα πάντα στην ανίσωση \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Ρίζες αριθμητή: \(x = -7\). Ρίζες παρονομαστή: \(x = 2\) και \(x = 5\), αυτές ορίζουν και την ΟΔΖ. Όλες οι τρεις παρενθέσεις είναι στην πρώτη δύναμη, επομένως τα πρόσημα εναλλάσσονται. Δοκιμαστική τιμή \(x = 10\) στο δεξιότερο διάστημα δίνει \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — ξεκινάμε με συν και πηγαίνουμε αριστερά, αλλάζοντας πρόσημο σε κάθε σημείο.
Παραδείγματα επίλυσης ρητών ανισώσεων
Παράδειγμα 1. Απλή κλασματική ανίσωση
Λύση \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Βήμα 1. Στα δεξιά είναι ήδη μηδέν, το κλάσμα είναι ήδη ένα — δεν χρειάζεται μεταφορά ή αναγωγή.
Βήμα 2. ΟΔΖ. \(x + 5 \neq 0\), δηλαδή \(x \neq -5\).
Βήμα 3. Ρίζες. Ο αριθμητής μηδενίζεται στο \(x = 3\), ο παρονομαστής — στο \(x = -5\).
Βήμα 4. Σημεία στην ευθεία. \(x = 3\) γεμίζεται (ρίζα αριθμητή, μη αυστηρό πρόσημο), \(x = -5\) σημειώνεται κενό (ρίζα παρονομαστή).
Βήμα 5. Πρόσημα. Δοκιμαστική τιμή \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — δεξιά συν. Και οι δύο παρενθέσεις είναι στην πρώτη δύναμη, άρα τα πρόσημα εναλλάσσονται: στο \((-5; 3)\) μείον, στο \((-\infty; -5)\) συν. Έλεγχος: για \(x = -6\) παίρνουμε \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — ταιριάζει.
Βήμα 6. Απάντηση. Απαιτείται πρόσημο «συν ή μηδέν»: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Παράδειγμα 2. Στα δεξιά όχι μηδέν — μεταφέρουμε
Λύση \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Βήμα 1. Μεταφέρουμε τη μονάδα αριστερά. Δεν επιτρέπεται ο πολλαπλασιασμός με \(x - 4\), το πρόσημο αυτής της παράστασης είναι άγνωστο:
Βήμα 2. Αναγάγουμε σε ένα κλάσμα.
Βήμα 3. ΟΔΖ. \(x \neq 4\).
Βήμα 4. Σημεία. \(x = -5\) — ρίζα αριθμητή, μη αυστηρό πρόσημο, γεμίζουμε. \(x = 4\) — ρίζα παρονομαστή, σημειώνουμε κενό.
Βήμα 5. Πρόσημα. Για \(x = 5\) το κλάσμα είναι \(\frac{10}{1} > 0\). Άρα στο \((4; +\infty)\) συν, στο \((-5; 4)\) μείον, στο \((-\infty; -5)\) συν.
Βήμα 6. Απάντηση. \(x \in [-5; 4)\). Έλεγχος οριακών σημείων: για \(x = -5\) το κλάσμα είναι μηδέν — ταιριάζει για \(\le\); για \(x = 4\) το κλάσμα δεν ορίζεται — δεν ταιριάζει.
Παράδειγμα 3. Ρίζα άρτιας πολλαπλότητας και απομονωμένο σημείο
Λύση \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Βήμα 1. ΟΔΖ. \(x \neq 9\).
Βήμα 2. Ρίζες και πολλαπλότητες. \(x = 2\) — πολλαπλότητα 2 (άρτια), \(x = -6\) — πολλαπλότητα 1, \(x = 9\) — πολλαπλότητα 1 στον παρονομαστή.
Βήμα 3. Σημεία. \(x = 2\) και \(x = -6\) γεμίζονται (ρίζες αριθμητή με μη αυστηρό πρόσημο), \(x = 9\) σημειώνεται κενό.
Βήμα 4. Πρόσημα. Δοκιμαστική τιμή \(x = 10\): αριθμητής θετικός, παρονομαστής ίσος με 1 — συν. Πηγαίνουμε αριστερά. Μέσω του 9 (περιττή πολλαπλότητα) το πρόσημο αλλάζει: στο \((2; 9)\) μείον. Μέσω του 2 (άρτια πολλαπλότητα) το πρόσημο δεν αλλάζει: στο \((-6; 2)\) επίσης μείον. Μέσω του \(-6\) (περιττή πολλαπλότητα) το πρόσημο αλλάζει: στο \((-\infty; -6)\) συν.
Βήμα 5. Απάντηση. Παίρνουμε τα διαστήματα με πρόσημο «συν» συν όλα τα σημεία όπου η παράσταση ισούται με μηδέν. Το σημείο \(x = 2\) βρίσκεται μέσα στο διάστημα με το μείον, αλλά η ίδια η παράσταση εκεί ισούται με μηδέν, άρα περιλαμβάνεται στην απάντηση ξεχωριστά:
Ένα τέτοιο «μοναχικό» σημείο στην απάντηση — είναι σίγουρο σημάδι ρίζας άρτιας πολλαπλότητας με μη αυστηρό πρόσημο.
Παράδειγμα 4. Απλοποίηση κλάσματος: παγίδα με την ΟΔΖ
Λύση \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Βήμα 1. Παραγοντοποιούμε. Ο αριθμητής είναι τέλειο τετράγωνο: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Για τον παρονομαστή υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: \(D = 81 + 40 = 121\), ρίζες \(x_1 = \frac{1}{5}\) και \(x_2 = -2\), άρα \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Βήμα 2. ΟΔΖ — πριν από οποιαδήποτε απλοποίηση. \(5x - 1 \neq 0\) και \(x + 2 \neq 0\), δηλαδή \(x \neq \frac{1}{5}\) και \(x \neq -2\).
Βήμα 3. Απλοποιούμε. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), αλλά μόνο για \(x \neq \frac{1}{5}\) — η απλοποίηση δεν επαναφέρει το κενό σημείο.
Βήμα 4. Λύνουμε την \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Ρίζες: \(\frac{1}{5}\) και \(-2\). Για \(x = 1\) το κλάσμα είναι \(\frac{4}{3} > 0\). Άρα στο \((\frac{1}{5}; +\infty)\) συν, στο \((-2; \frac{1}{5})\) μείον, στο \((-\infty; -2)\) συν.
Βήμα 5. Επαναφέρουμε την ΟΔΖ. Το διάστημα \((-2; \frac{1}{5}]\) θα ταίριαζε με βάση το πρόσημο, αλλά το σημείο \(\frac{1}{5}\) είναι κενό: στην αρχική ανίσωση ο παρονομαστής \(5x^2+9x-2\) για \(x = \frac{1}{5}\) μηδενίζεται, το κλάσμα εκεί απλώς δεν υπάρχει.
Απάντηση: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — και οι δύο παρενθέσεις είναι στρογγυλές.
Παράδειγμα 5. Τετραγωνικό τριώνυμο στον αριθμητή
Λύση \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Βήμα 1. Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, το άθροισμα των ριζών είναι 7, το γινόμενο 10, άρα \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Η ανίσωση παίρνει τη μορφή \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Βήμα 2. ΟΔΖ. \(x \neq -4\).
Βήμα 3. Σημεία. Και τα τρία σημεία σημειώνονται κενά: \(-4\) — ρίζα παρονομαστή, \(2\) και \(5\) — ρίζες αριθμητή με αυστηρό πρόσημο.
Βήμα 4. Πρόσημα. Δοκιμαστική τιμή \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Όλες οι παρενθέσεις είναι στην πρώτη δύναμη, επομένως τα πρόσημα εναλλάσσονται: στο \((5; +\infty)\) συν, στο \((2; 5)\) μείον, στο \((-4; 2)\) συν, στο \((-\infty; -4)\) μείον.
Βήμα 5. Απάντηση. Απαιτείται αυστηρό μείον: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Έλεγχος με αντικατάσταση: για \(x = -5\) παίρνουμε \(\frac{70}{-1} < 0\), για \(x = 3\) παίρνουμε \(\frac{-2}{7} < 0\) — και τα δύο διαστήματα ταιριάζουν.
Συχνά λάθη κατά την επίλυση ρητών ανισώσεων
-
Πολλαπλασιάζουν και τα δύο μέλη με τον παρονομαστή: από $\frac{3}{x-8} > 1$ κάνουν $3 > x - 8$ και γράφουν $x < 11$.
Το πρόσημο της παράστασης \(x - 8\) είναι άγνωστο εκ των προτέρων, ενώ κατά τον πολλαπλασιασμό με αρνητικό το πρόσημο της ανίσωσης αντιστρέφεται. Έλεγχος: \(x = 0\) δίνει \(\frac{3}{-8} < 1\) — το μηδέν δεν είναι λύση, παρόλο που περιλαμβάνεται στην απάντηση \(x < 11\). Σωστά: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), δηλαδή \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), από όπου \(x \in (8; 11)\).
-
Γεμίζουν τη ρίζα του παρονομαστή, επειδή το πρόσημο είναι μη αυστηρό: για την $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ γράφουν απάντηση με τετράγωνη παρένθεση στο επτά.
Η ρίζα του παρονομαστή σημειώνεται κενή πάντα, με οποιοδήποτε πρόσημο: σε αυτό το σημείο το κλάσμα απλώς δεν ορίζεται. Σωστή απάντηση: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — στο ένα η παρένθεση είναι τετράγωνη, στο επτά στρογγυλή.
-
Απλοποιούν το κλάσμα και χάνουν την ΟΔΖ: από $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ παίρνουν $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ και περιλαμβάνουν στην απάντηση το σημείο $x = -3$.
Η ΟΔΖ καταγράφεται πριν την απλοποίηση, με βάση τον αρχικό παρονομαστή: \(x \neq -3\) και \(x \neq 5\). Το απλοποιημένο κλάσμα \(\frac{x+3}{x-5}\) είναι μη θετικό στο \([-3; 5)\) — για \(x = 0\) είναι ίσο με \(-0{,}6\), που απαιτείται για το πρόσημο \(\le\). Αλλά το σημείο \(-3\) είναι κενό λόγω ΟΔΖ, επομένως η απάντηση είναι \((-3; 5)\), όχι \([-3; 5)\).
-
Θεωρούν ότι τα πρόσημα στα διαστήματα εναλλάσσονται πάντα, και για την $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ βάζουν μείον δεξιά του ένα.
Η εναλλαγή είναι σωστή μόνο με παρενθέσεις στην πρώτη δύναμη. Η ρίζα \(x = 1\) έχει πολλαπλότητα 2, άρα το πρόσημο μέσω αυτής δεν αλλάζει. Η παράσταση είναι θετική σε ολόκληρο το \((-4; +\infty)\), εκτός από το ίδιο το ένα, όπου είναι μηδέν. Απάντηση: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Αλλάζουν το πρόσημο της ανίσωσης κατά τη μεταφορά όρου: από $\frac{x}{x-2} \le 3$ κάνουν $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Η μεταφορά ενός όρου από τη μία πλευρά στην άλλη δεν αλλάζει το πρόσημο της ανίσωσης — αλλάζει μόνο το πρόσημο του ίδιου του όρου. Το πρόσημο αντιστρέφεται μόνο κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο μελών με αρνητικό αριθμό. Σωστά: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), στη συνέχεια \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), δηλαδή \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Σημειώνουν στην ευθεία μόνο τις ρίζες του αριθμητή, και τον παρονομαστή τον ελέγχουν «μετά»: για την $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ βάζουν ένα σημείο $-11$.
Στην ευθεία σημειώνονται όλες οι ρίζες αμέσως — και του αριθμητή, και του παρονομαστή, αλλιώς τα διαστήματα θα βγουν λανθασμένα. Εδώ \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), επομένως υπάρχουν τρία σημεία: \(-11\), \(-4\) και \(4\), όχι ένα. Όλα είναι κενά (αυστηρό πρόσημο), απάντηση: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Τι είναι η ρητή ανίσωση;
Είναι μια ανίσωση, της οποίας και τα δύο μέλη είναι ρητές παραστάσεις (πολυώνυμα και κλάσματα πολυωνύμων). Μετά τη μεταφορά όλων στο αριστερό μέλος, ανάγεται στη μορφή \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), όπου \(P(x)\) και \(Q(x)\) είναι πολυώνυμα, και αντί του \(>\) μπορεί να υπάρχει \(<\), \(\le\) ή \(\ge\).
Πώς λύνονται οι ρητές ανισώσεις;
Με τη μέθοδο διαστημάτων σε έξι βήματα: μεταφέρετε τα πάντα αριστερά, ώστε στα δεξιά να παραμείνει μηδέν· αναγάγετε σε ένα κλάσμα και παραγοντοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή· καταγράψτε την ΟΔΖ (\(Q(x) \neq 0\)); σημειώστε στην αριθμητική ευθεία τις ρίζες του αριθμητή και του παρονομαστή· τοποθετήστε τα πρόσημα στα διαστήματα με βάση μια δοκιμαστική τιμή και την πολλαπλότητα των ριζών· καταγράψτε στην απάντηση τα διαστήματα με το ζητούμενο πρόσημο.
Ποια η διαφορά μεταξύ κλασματικής ρητής και ακέραιας ρητής ανίσωσης;
Στην ακέραια ρητή η μεταβλητή βρίσκεται μόνο στον αριθμητή, π.χ. \((x-1)(x+4) > 0\), και η ΟΔΖ είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. Στην κλασματική ρητή η μεταβλητή υπάρχει στον παρονομαστή, π.χ. \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), και εμφανίζεται ο περιορισμός \(x \neq -4\). Ο αλγόριθμος είναι ο ίδιος — αλλάζουν μόνο τα κενά σημεία.
Πώς λύνονται οι ανισώσεις με κλάσμα;
Όπως και κάθε ρητή: πρώτα μεταφέρετε τα πάντα στο αριστερό μέλος και αναγάγετε σε ένα κλάσμα, αντί να απαλλαγείτε από τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, η \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) μετατρέπεται σε \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), δηλαδή \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Ο αριθμητής είναι σταθερός και αρνητικός, άρα το κλάσμα είναι μη αρνητικό μόνο όταν ο παρονομαστής είναι αρνητικός: \(x + 2 < 0\). Απάντηση: \(x \in (-\infty; -2)\).
Γιατί δεν επιτρέπεται ο πολλαπλασιασμός και των δύο μελών της ανίσωσης με τον παρονομαστή;
Επειδή το πρόσημο του παρονομαστή εξαρτάται από το \(x\): κατά τον πολλαπλασιασμό με θετική παράσταση το πρόσημο της ανίσωσης διατηρείται, ενώ κατά τον πολλαπλασιασμό με αρνητική — αντιστρέφεται. Άγνωστο εκ των προτέρων ποια περίπτωση έχουμε, γι' αυτό μέρος των λύσεων χάνεται, και μέρος προστίθεται λανθασμένα. Η μεταφορά όρων επιτρέπεται πάντα — η μεταφορά δεν αλλάζει το πρόσημο της ανίσωσης.
Πώς βρίσκουμε την ΟΔΖ σε μια ανίσωση;
Για ρητή ανίσωση, η ΟΔΖ είναι όλες οι τιμές του \(x\) για τις οποίες ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται. Εξισώστε τον παρονομαστή με το μηδέν, λύστε την εξίσωση και εξαιρέστε τις τιμές που βρήκατε. Η ΟΔΖ καταγράφεται με βάση τον αρχικό παρονομαστή, πριν την απλοποίηση του κλάσματος — αλλιώς θα χαθούν τα κενά σημεία.
Ποια σημεία είναι κενά, και ποια γεμισμένα;
Οι ρίζες του παρονομαστή σημειώνονται κενές πάντα, με οποιοδήποτε πρόσημο ανίσωσης. Οι ρίζες του αριθμητή γεμίζονται με μη αυστηρό πρόσημο (\(\le\) ή \(\ge\)) και σημειώνονται κενές με αυστηρό (\(<\) ή \(>\)). Στην καταγραφή της απάντησης σε ένα κενό σημείο αντιστοιχεί στρογγυλή παρένθεση, σε ένα γεμισμένο — τετράγωνη.
Τι είναι η πολλαπλότητα ρίζας και γιατί είναι χρήσιμη στη μέθοδο διαστημάτων;
Η πολλαπλότητα είναι ο εκθέτης δύναμης με τον οποίο εμφανίζεται μια παρένθεση στην παραγοντοποίηση. Κατά τη μετάβαση μέσω μιας ρίζας περιττής πολλαπλότητας, το πρόσημο της παράστασης αλλάζει, κατά τη μετάβαση μέσω μιας ρίζας άρτιας πολλαπλότητας — διατηρείται. Γι' αυτό τα πρόσημα δεν εναλλάσσονται πάντα απλώς: για την \((x-9)^2(x+3)\) στο σημείο 9 το πρόσημο παραμένει το ίδιο.
Σε ποια τάξη διδάσκονται οι ρητές ανισώσεις;
Στην 9η τάξη στα μαθήματα Άλγεβρας, μετά τις τετραγωνικές ανισώσεις και την παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Η μέθοδος διαστημάτων χρησιμοποιείται στη συνέχεια για εκθετικές, λογαριθμικές και άρρητες ανισώσεις, καθώς και σε ασκήσεις των εξετάσεων OGE και του προφίλ του Ενιαίου Κρατικού Εξετάσεων (ΕGE).
