Ένας δεκαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός του οποίου το ακέραιο και το δεκαδικό μέρος χωρίζονται με υποδιαστολή: 3,25 ή 0,7. Όλες οι πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς — πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση — εκτελούνται σχεδόν όπως και με τους φυσικούς αριθμούς. Το σημαντικότερο είναι να προσέχουμε την υποδιαστολή. Σε αυτή τη σελίδα θα βρείτε όλους τους κανόνες με παραδείγματα κάθετης διάταξης, οδηγίες για τη μετακίνηση της υποδιαστολής, ανάλυση συχνών λαθών και ένα διαδραστικό τεστ για αυτοαξιολόγηση.
Δεκαδικά ψηφία
Κάθε ψηφίο μετά την υποδιαστολή έχει το όνομά του και την αξία του:
- η πρώτη θέση — δέκατα (0,1);
- η δεύτερη — εκατοστά (0,01);
- η τρίτη — χιλιοστά (0,001) και ούτω καθεξής.
Σημαντική ιδιότητα: αν προσθέσουμε μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους, ο αριθμός δεν αλλάζει: 5,7 = 5,70 = 5,700. Αυτή την ιδιότητα θα τη χρησιμοποιούμε συνεχώς — μας επιτρέπει να εξισώνουμε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή κατά την πρόσθεση, την αφαίρεση και τη σύγκριση.
Όλες οι πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς: σύντομη υπενθύμιση
Κάθε πράξη έχει τον δικό της βασικό κανόνα για την υποδιαστολή. Οι τέσσερις κάρτες παρακάτω περιέχουν την ουσία του θέματος, ενώ στη συνέχεια κάθε πράξη αναλύεται λεπτομερώς με παραδείγματα.
Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών με κάθετη διάταξη
Η πρόσθεση και η αφαίρεση εκτελούνται με τον ίδιο κανόνα:
- Γράφουμε τους αριθμούς κάθετα έτσι ώστε η υποδιαστολή να είναι ακριβώς κάτω από την υποδιαστολή — τότε οι ίδιες τάξεις θα βρεθούν η μία κάτω από την άλλη: δέκατα κάτω από δέκατα, εκατοστά κάτω από εκατοστά.
- Αν ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων είναι διαφορετικός, τα εξισώνουμε προσθέτοντας μηδενικά.
- Προσθέτουμε ή αφαιρούμε, χωρίς να προσέχουμε τις υποδιαστολές, όπως στους φυσικούς αριθμούς.
- Στο αποτέλεσμα βάζουμε την υποδιαστολή κάτω από τις υποδιαστολές των αρχικών αριθμών.
Ένας ακέραιος αριθμός μπορεί επίσης να γραφτεί ως δεκαδικός: 6 = 6,00 — αυτό βοηθάει σε παραδείγματα όπως 6 − 2,35.
Κανόνας πολλαπλασιασμού δεκαδικών αριθμών
Ο πολλαπλασιασμός είναι η μόνη πράξη όπου δεν χρειάζεται να ευθυγραμμίσουμε τις υποδιαστολές. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού δεκαδικών αριθμών αποτελείται από δύο βήματα:
- Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωρίς να προσέχουμε τις υποδιαστολές — όπως τους κανονικούς φυσικούς αριθμούς.
- Στο αποτέλεσμα χωρίζουμε με υποδιαστολή από τα δεξιά τόσα ψηφία όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και στους δύο παράγοντες μαζί.
Αν τα ψηφία στο γινόμενο είναι λιγότερα από όσα πρέπει να χωρίσουμε, προσθέτουμε μηδενικά στα αριστερά: 12 × 3 = 36, ενώ για το 0,12 × 0,3 πρέπει να χωρίσουμε τρία ψηφία, οπότε το αποτέλεσμα είναι 0,036.
Γρήγορος έλεγχος: κατά τον πολλαπλασιασμό με αριθμό μικρότερο της μονάδας, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μικρότερο από τον πρώτο παράγοντα. Αν βγει μεγαλύτερο, σημαίνει ότι η υποδιαστολή δεν είναι στη σωστή θέση.
Διαίρεση δεκαδικών αριθμών
Εδώ υπάρχουν δύο περιπτώσεις.
Διαίρεση με φυσικό αριθμό. Διαιρούμε κανονικά, και βάζουμε την υποδιαστολή στο πηλίκο τη στιγμή που τελειώνει το ακέραιο μέρος του διαιρετέου: 8,46 : 2 = 4,23.
Διαίρεση με δεκαδικό αριθμό. Πρώτα απαλλασσόμαστε από την υποδιαστολή στον διαιρέτη: μετακινούμε την υποδιαστολή και στον διαιρετέο και στον διαιρέτη προς τα δεξιά κατά τον ίδιο αριθμό θέσεων — δηλαδή πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς με 10, 100 ή 1000. Το πηλίκο δεν αλλάζει, και η διαίρεση ανάγεται στην πρώτη περίπτωση.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με 10, 100, 1000
Οι πιο γρήγορες πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς είναι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με τη δεκαδική μονάδα. Δεν χρειάζεται κάθετη διάταξη: αρκεί να μετακινήσουμε την υποδιαστολή κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά στον αριθμό 10, 100 ή 1000. Αν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία, προσθέτουμε μηδενικά.
Σύγκριση δεκαδικών αριθμών
Οι δεκαδικοί αριθμοί συγκρίνονται ψηφίο προς ψηφίο:
- Πρώτα τα ακέραια μέρη: όποιος αριθμός έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος, είναι και μεγαλύτερος.
- Αν τα ακέραια μέρη είναι ίσα — συγκρίνουμε τα δέκατα, μετά τα εκατοστά, μετά τα χιλιοστά, μέχρι να βρούμε διαφορά.
- Για να μην μπερδευτείτε, εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων με μηδενικά: είναι πιο εύκολο να συγκρίνετε το 5,7 και το 5,68 ως 5,70 και 5,68 — τα εβδομήντα εκατοστά είναι μεγαλύτερα από τα εξήντα οκτώ, άρα 5,7 > 5,68.
Το μήκος της γραφής δεν λέει τίποτα: το 0,5 είναι μεγαλύτερο από το 0,4999, παρόλο που έχει λιγότερα ψηφία.
Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς: παραδείγματα με λύσεις
Παράδειγμα 1. Πρόσθεση: 5,3 + 2,47
Βήμα 1. Εξισώνουμε τα δεκαδικά ψηφία: 5,3 = 5,30.
Βήμα 2. Γράφουμε κάθετα, υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή.
Βήμα 3. Προσθέτουμε όπως στους φυσικούς αριθμούς: 530 + 247 = 777.
Βήμα 4. Βάζουμε την υποδιαστολή κάτω από τις υποδιαστολές των προσθετέων: 7,77.
Παράδειγμα 2. Αφαίρεση από ακέραιο: 6 − 2,35
Βήμα 1. Γράφουμε το 6 ως δεκαδικό: 6 = 6,00.
Βήμα 2. Γράφουμε κάθετα: 6,00 − 2,35.
Βήμα 3. Αφαιρούμε με δανεισμό από τις μεγαλύτερες τάξεις: 3,65.
Έλεγχος. 3,65 + 2,35 = 6 — σωστό.
Παράδειγμα 3. Πολλαπλασιασμός: 2,5 × 0,04
Βήμα 1. Πολλαπλασιάζουμε χωρίς να προσέχουμε τις υποδιαστολές: 25 × 4 = 100.
Βήμα 2. Μετράμε τα δεκαδικά ψηφία: ένα στο 2,5 και δύο στο 0,04 — συνολικά τρία.
Βήμα 3. Χωρίζουμε τρία ψηφία από τα δεξιά: 0,100.
Βήμα 4. Παραλείπουμε τα μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους: 0,1.
Έλεγχος. Το 0,04 είναι μικρότερο της μονάδας, άρα το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μικρότερο από 2,5 — σωστό.
Παράδειγμα 4. Διαίρεση με δεκαδικό: 1,44 : 1,2
Βήμα 1. Κάνουμε τον διαιρέτη ακέραιο: μετακινούμε την υποδιαστολή μία θέση δεξιά και στους δύο αριθμούς — παίρνουμε 14,4 : 12.
Βήμα 2. Διαιρούμε το ακέραιο μέρος: 14 : 12 = 1, υπόλοιπο 2.
Βήμα 3. Το ακέραιο μέρος τελείωσε — βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και κατεβάζουμε το 4: 24 : 12 = 2.
Αποτέλεσμα: 1,2. Έλεγχος: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Συχνά λάθη στις πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς
-
Κατά την πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγραμμίζουν τους αριθμούς από τα δεξιά, όπως τους ακέραιους: 3,25 + 4,8 γράφουν κάθετα χωρίς να προσέχουν την υποδιαστολή και παίρνουν 3,73.
Ευθυγραμμίστε με βάση την υποδιαστολή, όχι το τελευταίο ψηφίο: 4,8 = 4,80, και τότε 3,25 + 4,80 = 8,05. Τα δέκατα πρέπει να είναι κάτω από τα δέκατα, τα εκατοστά κάτω από τα εκατοστά.
-
Στον πολλαπλασιασμό προσπαθούν να ευθυγραμμίσουν τις υποδιαστολές ή βάζουν την υποδιαστολή στο γινόμενο «κάτω από τις υποδιαστολές» των παραγόντων.
Στον πολλαπλασιασμό οι υποδιαστολές δεν ευθυγραμμίζονται καθόλου. Πολλαπλασιάστε ως ακέραιους και χωρίστε από τα δεξιά τόσα ψηφία όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία και στους δύο παράγοντες μαζί.
-
Αν στο γινόμενο τα ψηφία είναι λιγότερα από όσα πρέπει να χωρίσουμε, χάνουν μηδενικά: 0,12 × 0,3 = 0,36 αντί για 0,036.
12 × 3 = 36 — αυτά είναι μόνο δύο ψηφία, ενώ πρέπει να χωρίσουμε τρία. Προσθέστε τα μηδενικά που λείπουν στα αριστερά: 0,036.
-
Στη διαίρεση με δεκαδικό μετακινούν την υποδιαστολή μόνο στον διαιρέτη: 4,2 : 0,7 το μετατρέπουν σε 4,2 : 7 και παίρνουν 0,6.
Η υποδιαστολή μετακινείται και στους δύο αριθμούς κατά τον ίδιο αριθμό θέσεων: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Διαφορετικά το πηλίκο θα μειωθεί 10 φορές.
-
Συγκρίνουν τους αριθμούς με βάση τον αριθμό των ψηφίων: θεωρούν ότι το 5,68 είναι μεγαλύτερο από το 5,7, επειδή η γραφή είναι μεγαλύτερη.
Εξισώστε τα ψηφία με μηδενικά και συγκρίνετε ψηφίο προς ψηφίο: 5,70 και 5,68 — στα δέκατα 7 > 6, άρα 5,7 > 5,68.
-
Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση με 10, 100, 1000 μετακινούν την υποδιαστολή προς την λάθος κατεύθυνση.
Ο πολλαπλασιασμός αυξάνει τον αριθμό — η υποδιαστολή πάει δεξιά: 3,74 × 10 = 37,4. Η διαίρεση μειώνει — αριστερά: 3,74 : 10 = 0,374. Ο αριθμός των θέσεων ισούται με τον αριθμό των μηδενικών.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ποιες πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς διδάσκονται στο δημοτικό;
Στο δημοτικό διδάσκονται και οι τέσσερις πράξεις — πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών αριθμών, καθώς και η σύγκριση και η στρογγυλοποίηση. Συνήθως πρώτα διδάσκεται η πρόσθεση και η αφαίρεση κάθετα, μετά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με φυσικό αριθμό και στο τέλος — η διαίρεση με δεκαδικό αριθμό.
Αλλάζει ο δεκαδικός αριθμός αν προσθέσουμε μηδενικά στο τέλος;
Όχι: 5,7 = 5,70 = 5,700 — είναι ο ίδιος αριθμός. Η προσθήκη μηδενικών χρησιμοποιείται για να εξισωθεί ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή κατά την πρόσθεση, την αφαίρεση και τη σύγκριση. Όμως, δεν μπορείτε να βάλετε μηδέν ανάμεσα στα ψηφία ή να αφαιρέσετε μηδέν από τη μέση του αριθμού — ο αριθμός θα αλλάξει.
Πώς στρογγυλοποιούμε έναν δεκαδικό αριθμό;
Βρείτε την τάξη στην οποία θέλετε να στρογγυλοποιήσετε και κοιτάξτε το επόμενο ψηφίο: αν είναι μικρότερο από 5 — το ψηφίο στρογγυλοποίησης δεν αλλάζει (3,748 ≈ 3,7), αν είναι 5 ή μεγαλύτερο — αυξάνεται κατά μία μονάδα (2,85 ≈ 2,9). Όλα τα ψηφία στα δεξιά παραλείπονται.
Πώς μετατρέπουμε ένα κλάσμα σε δεκαδικό;
Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Δεν δίνουν όλα τα κλάσματα πεπερασμένη δεκαδική γραφή: για παράδειγμα, 1/3 = 0,333… — είναι ένας άπειρος περιοδικός δεκαδικός αριθμός. Πεπερασμένος δεκαδικός αριθμός προκύπτει όταν ο παρονομαστής αναλύεται μόνο σε παράγοντες 2 και 5.
Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε εκφράσεις με δεκαδικούς αριθμούς;
Η σειρά είναι η ίδια όπως και στους φυσικούς αριθμούς: πρώτα οι πράξεις στις παρενθέσεις, μετά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση από τα αριστερά προς τα δεξιά, μετά η πρόσθεση και η αφαίρεση από τα αριστερά προς τα δεξιά. Η δεκαδική γραφή των αριθμών δεν επηρεάζει τη σειρά των πράξεων.
Μπορούμε να διαιρέσουμε έναν μικρότερο δεκαδικό αριθμό με έναν μεγαλύτερο;
Ναι. Αν ο διαιρετέος είναι μικρότερος από τον διαιρέτη, το πηλίκο απλώς θα είναι μικρότερο της μονάδας: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. Στο ακέραιο μέρος του πηλίκου σε αυτή την περίπτωση γράφουμε 0 και συνεχίζουμε τη διαίρεση μετά την υποδιαστολή.
