En ulighed er to udtryk forbundet med et tegn <, >, ≤ eller ≥. At løse en ulighed betyder at finde alle værdier af variablen, for hvilke den bliver en sand numerisk ulighed. Svaret vil ikke være et enkelt tal, men en hel mængde: et interval på den numeriske akse eller en forening af intervaller. Denne side samler en database, der er fælles for alle typer af uligheder: hvordan man læser tegnene, hvilke transformationer der er tilladt, hvorfor tegnet vendes ved division med et negativt tal, og hvordan man korrekt skriver svaret. Og derefter - en oversigt over alle typer af uligheder med links til detaljerede forklaringer og en træner til at teste dig selv.
Hvad betyder det at løse en ulighed
Løsningen af en ulighed er enhver værdi af variablen, der gør uligheden til en sand numerisk ulighed. Og at løse en ulighed betyder at finde alle sådanne værdier og skrive dem som en mængde.
Sammenlign med en ligning. For ligningen \(2x = 8\) er svaret et enkelt tal \(x = 4\). For uligheden \(2x < 8\) er svaret uendeligt mange tal: \(3\), \(0\), \(-100\) og \(3{,}999\) vil alle passe. Det er umuligt at skrive dem én efter én, så svaret gives som et interval: \(x < 4\), dvs. \((-\infty;\ 4)\).
Det er nemt at kontrollere, om et bestemt tal er en løsning: indsæt det i stedet for variablen og se, om du får en sand ulighed.
- \(x = 1\) i uligheden \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — sandt, så \(1\) er en løsning.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — falsk, så \(5\) er ikke en løsning.
To uligheder kaldes ækvivalente, hvis de har de samme løsningsmængder. Hele løsningen af en ulighed er en kæde af overgange til en enklere ækvivalent ulighed, indtil der kun står et ensomt \(x\) tilbage.
Ulighedstegn: strenge og ikke-strenge
Der er fire tegn, og afhængigt af hvilket der bruges, afhænger svaret og formatet. Strenge tegn \(<\) og \(>\) inkluderer ikke selve grænsepunktet i svaret, ikke-strenge \(\le\) og \(\ge\) — gør det.
Denne forskel fortsætter gennem hele løsningen: et strengt tegn giver et udhulet (tomt) punkt på aksen og en rund parentes i svaret, et ikke-strengt tegn — et udfyldt punkt og en firkantet parentes.
| Tegn | Hvordan det læses og hvad det giver i svaret |
|---|---|
| < | mindre endstrengtpunktet er udhulet, parentesen er rund |
| > | større endstrengtpunktet er udhulet, parentesen er rund |
| ≤ | mindre end eller lig medikke-strengtpunktet er udfyldt, parentesen er firkantet |
| ≥ | større end eller lig medikke-strengtpunktet er udfyldt, parentesen er firkantet |
Ækvivalente transformationer: hvad man må gøre med en ulighed
Man må gøre næsten det samme med en ulighed som med en ligning, men med én vigtig ændring. Man kan frit lægge til og trække fra: hvis man lægger det samme til eller trækker det samme fra begge sider, ændres løsningsmængden ikke. Det er sådan, led "flyttes" over tegnet ved at ændre deres plus til minus.
Men multiplikation og division afhænger af fortegnet på faktoren. Ved multiplikation eller division af begge sider med et negativt tal ændres ulighedstegnet til det modsatte: \(<\) bliver \(>\), \(\le\) bliver \(\ge\) og omvendt. Årsagen kan ses med tal: fra den sande \(3 < 5\) får man efter multiplikation med \(-1\) \(-3\) og \(-5\), og \(-3 > -5\) — tallenes rækkefølge er vendt om.
Det samme sker, hvis man bytter om på venstre og højre side: fra \(7 < y\) får man \(y > 7\).
| Hvad vi gør med begge sider | Hvad med tegnet |
|---|---|
| Lægger til eller trækker det samme tal eller udtryk fra | tegnet bevares |
| Multiplicerer eller dividerer med et positivt tal | tegnet bevares |
| Multiplicerer eller dividerer med et negativt tal | tegnet ændres |
| Bytter venstre og højre side | tegnet ændres |
| Multiplicerer eller dividerer med et udtryk med en variabel (x − 2) | det er ikke tilladt |
Hvordan man skriver svaret: den numeriske akse og intervaller
Når variablen står alene, er løsningen næsten klar - det er bare at formatere den. Det er mest praktisk først at markere svaret på den numeriske akse og derefter beregne intervallet ud fra aksen.
Der er kun tre regler for skrivning, og de ændres ikke af ulighedstypen:
- rund parentes — punktet er ikke inkluderet i svaret (strengt tegn, udhulet punkt);
- firkantet parentes — punktet er inkluderet (ikke-strengt tegn, udfyldt punkt);
- ved uendelighed er parentesen altid rund: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — der findes ingen notation som \([-\infty;\ 4]\), uendelighed er ikke et tal og kan ikke nås.
Hvis løsningen viser sig at være to stykker af aksen, forbindes de med foreningssymbolet \(\cup\): for eksempel \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Typer af uligheder og metoder til at løse dem
Uligheder skelnes efter, hvordan variablen indgår — om den står i første potens, under kvadratet, i nævneren eller under absolut værdi. Det er netop dette, der bestemmer løsningsmetoden, så det første skridt i enhver løsning er at identificere typen af ulighed. Den generelle logik er den samme: at bringe uligheden til formen "udtryk sammenlignes med nul", og derefter anvende den passende metode til denne type. En oversigt over typer og metoder findes i tabellen nedenfor.
Særskilt skal man huske, hvordan man opløser absolut værdi — tabellen indeholder ikke dette. Ved \(a > 0\) er uligheden \(|f(x)| < a\) ækvivalent med den dobbelte ulighed \(-a < f(x) < a\) (det giver et system), og \(|f(x)| > a\) — en samling af \(f(x) < -a\) eller \(f(x) > a\) (det giver en forening af intervaller). Hvis \(a < 0\), behøver man slet ikke tænke: absolut værdi er ikke-negativ, så \(|f(x)| < a\) har ingen løsninger, og \(|f(x)| > a\) er sand for alle tilladte \(x\).
Irrationelle (med rod) og eksponentielle uligheder behandles i gymnasiet: til de almindelige transformationer tilføjes arbejde med definitionsmængden.
Detaljerede forklaringer af individuelle typer: lineære uligheder, rationelle uligheder og intervalmetoden, og rødderne af et kvadratisk treleddet polynomium kan nemt findes ved hjælp af Vieta's sætning.
| Type | Hvordan det ser ud og hvordan man løser det |
|---|---|
| Lineær | ax + b > 0flyt led og divider med koefficienten for x |
| Kvadratisk | ax2 + bx + c > 0find rødderne af treleddet polynomium og se på parablen |
| Brøk-rationel | P(x) / Q(x) ≥ 0intervalmetoden, nævnerens nuller udhules |
| Med absolut værdi | | f(x) | < aopløs den absolutte værdi efter definition |
| System | to uligheder i en krøllet parentesløs hver især, tag snittet |
Systemer og samlinger af uligheder
Ofte falder en ulighed fra hinanden i to, og så er det vigtigt ikke at forveksle, hvad man skal gøre med de opnåede mængder.
Et system (krøllet parentes) betyder "både det ene og det andet samtidigt". Løs hver ulighed separat, marker begge svar på samme akse og tag snittet — den fælles del. Hvis der ikke er nogen fælles del, har systemet ingen løsninger.
En samling (firkantet parentes) betyder "enten det ene eller det andet". Her tager man foreningen — alt, hvad der er markeret af mindst ét af svarene. En samling opstår f.eks. ved opløsning af en absolut værdi med tegnet "større end".
Særskilt er den dobbelte ulighed af typen \(-3 < 2x + 1 \le 7\): det er en kort notation for et system. Transformationer udføres straks på alle tre dele — man trækker fra, dividerer, og ved division med et negativt tal vendes begge tegn.
Eksempler på løsning af uligheder
Eksempel 1. Kontroller, om et tal er en løsning
Opgave. Er \(x = -1\) en løsning til uligheden \(3x + 5 \ge 1\)?
Trin 1. Indsæt \(-1\) i stedet for \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Trin 2. Sammenlign med højre side: \(2 \ge 1\) — en sand numerisk ulighed.
Svar. Ja, \(-1\) er en af løsningerne. Men at løse en ulighed betyder at finde alle sådanne tal, ikke kun ét: her er svaret \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Eksempel 2. Lineær ulighed med fortegnsskift
Opgave. Løs \(7 - 3x < 1\).
Trin 1. Flyt \(7\) til højre (dvs. træk \(7\) fra begge sider — ulighedstegnet ændres ikke): \(-3x < 1 - 7\), dvs. \(-3x < -6\).
Trin 2. Divider begge sider med \(-3\). Da divisoren er negativ, vendes tegnet: \(x > 2\).
Trin 3. Marker på aksen: et udhulet punkt ved \(2\), farv alt til højre.
Svar. \(x > 2\), dvs. \(x \in (2;\ +\infty)\).
Eksempel 3. Kvadratisk ulighed
Opgave. Løs \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Trin 1. Find rødderne af treleddet polynomium: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), hvorfra \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Trin 2. Koefficienten for \(x^2\) er positiv, så parablens grene vender opad: mellem rødderne er treleddet polynomium negativt, og uden for rødderne — positivt.
Trin 3. Vi ønsker tegnet \(\le 0\), dvs. negative værdier og selve rødderne (tegnet er ikke-strengt) — tag intervallet mellem rødderne inklusive endepunkterne.
Svar. \(x \in [-1;\ 5]\).
Eksempel 4. Ulighed med absolut værdi
Opgave. Løs \(|x + 1| > 4\).
Trin 1. Absolut værdi er større end et positivt tal — det betyder, at udtrykket under den absolutte værdi enten er større end \(4\) eller mindre end \(-4\). Vi får en samling: \(x + 1 > 4\) eller \(x + 1 < -4\).
Trin 2. Løs hver især: fra den første \(x > 3\), fra den anden \(x < -5\).
Trin 3. Dette er en samling, så vi tager foreningen af intervallerne, ikke snittet.
Svar. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Eksempel 5. System af uligheder
Opgave. Løs systemet \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Trin 1. Første ulighed: \(2x > -4\), divider med positiv \(2\) — tegnet bevares, \(x > -2\).
Trin 2. Anden ulighed: \(x \le 4\).
Trin 3. Marker begge svar på samme akse og tag snittet — området, der er markeret to gange. Venstre grænse er ikke inkluderet (strengt tegn), højre grænse er inkluderet (ikke-strengt).
Svar. \(x \in (-2;\ 4]\).
Almindelige fejl ved løsning af uligheder
-
Divideret med et negativt tal og beholdt det samme tegn.
Ved multiplikation og division af begge sider med et negativt tal ændres tegnet obligatorisk til det modsatte. Fra \(-5x \ge 10\) får man \(x \le -2\), ikke \(x \ge -2\). Man kan kontrollere sig selv ved indsættelse: \(x = -3\) giver \(15 \ge 10\) — sandt, så det korrekte svar er faktisk "mindre end eller lig med".
-
Skriver firkantet parentes ved uendelighed: $[-\infty;\ 7]$.
Uendelighed er ikke et tal, det kan ikke "nås", så parentesen ved \(\infty\) er altid rund: \((-\infty;\ 7]\). Firkantet parentes bruges kun ved en endelig grænse, der er inkluderet i svaret.
-
Forveksler parentestypen og punkttypen: strengt tegn skrives med firkantet parentes.
Strengt tegn (\(<\), \(>\)) — grænsen er ikke inkluderet: udhulet punkt og rund parentes. Ikke-strengt (\(\le\), \(\ge\)) — grænsen er inkluderet: udfyldt punkt og firkantet parentes. Kontrollen er enkel: indsæt selve grænsepunktet i den oprindelige ulighed og se, om det blev sandt.
-
Multiplicerer begge sider med et udtryk med en variabel for at "slippe af med brøken".
Fortegnet på et sådant udtryk er ukendt, så det er uklart, om man skal vende ulighedstegnet eller ej — transformationen er ikke ækvivalent. I stedet flyttes alt til én side, bringes til en fælles brøk, og intervalmetoden anvendes.
-
Skriver et enkelt tal som svar: "$x = 3$" i stedet for en mængde.
Løsningen af en ulighed er en mængde af værdier. Skriv den som et interval: \(x > 3\), dvs. \((3;\ +\infty)\). Et enkelt tal kan kun være et element af svaret, men ikke selve svaret.
-
Tager foreningen for et system og snittet for en samling.
For et system (krøllet parentes, "og") — snit, den fælles del af intervallerne. For en samling (firkantet parentes, "eller") — forening via tegnet \(\cup\). Og desuden: notationen "\(-2 < x > 5\)" giver ingen mening — et sådant svar formateres som en forening af to intervaller.
Spørgsmål og svar
Hvad betyder det at løse en ulighed?
At løse en ulighed betyder at finde alle værdier af variablen, for hvilke den bliver en sand numerisk ulighed, og skrive dem som en mængde. Svaret vil være et interval eller en forening af intervaller, ikke et enkelt tal.
Hvilke typer uligheder findes der?
Afhængigt af udtrykkets form med variablen skelnes der mellem lineære (\(ax + b > 0\)), kvadratiske (\(ax^2 + bx + c > 0\)), brøk-rationelle (variablen i nævneren), med absolut værdi, irrationelle og eksponentielle. Særskilt fremhæves systemer og samlinger af uligheder. Efter ulighedstegnet opdeles de i strenge (\(<\), \(>\)) og ikke-strenge (\(\le\), \(\ge\)).
Hvornår ændres ulighedstegnet til det modsatte?
I to tilfælde: når begge sider multipliceres eller divideres med et negativt tal, og når venstre og højre side byttes om. Ved addition, subtraktion og division med et positivt tal forbliver tegnet det samme.
Hvornår er parentesen rund, og hvornår er den firkantet?
Rund — hvis grænsepunktet ikke er inkluderet i svaret (strengt tegn, udhulet punkt på aksen). Firkantet — hvis det er inkluderet (ikke-strengt tegn, udfyldt punkt). Ved \(+\infty\) og \(-\infty\) er parentesen altid rund. Firkantet parentes bruges kun ved en endelig grænse, der er inkluderet i svaret.
Hvordan adskiller løsningen af en ulighed sig fra løsningen af en ligning?
Transformationerne er næsten de samme, men for en ligning består svaret normalt af enkelte tal, mens for en ulighed — af hele intervaller. Desuden har en ulighed en regel om fortegnsskift ved multiplikation og division med et negativt tal, hvilket ikke findes i ligninger.
Hvilken ulighed betragtes som brøklig, og hvor behandles den?
En brøklig (brøk-rationel) ulighed kaldes en ulighed, hvor variablen står i nævneren, — f.eks. \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); på grund af nævneren har den en definitionsmængde, og den kan ikke løses ved almindelig division. En trinvis algoritme med eksempler findes i et separat materiale rationelle uligheder og intervalmetoden.
I hvilket klassetrin studeres løsning af uligheder?
Lineære uligheder og numeriske intervaller behandles i 8. klasse (i Merzlyak — i 9.), kvadratiske og brøk-rationelle uligheder med intervalmetoden — i 8.-9. klasser, og irrationelle og eksponentielle — i gymnasiet.
