Regneregler er regler, der gør det muligt at finde ud af, om et tal er deleligt med et andet tal uden at udføre divisionen: det er nok at se på de sidste cifre eller lægge alle cifrene i tallet sammen. Denne side samler en tabel over regneregler for 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 og 25, en visuel forklaring af reglerne for 3 og 9 via ciffer-sum, eksempler med løsninger, almindelige fejl og en interaktiv træner, hvor du straks kan teste dig selv.
Hvad er en regneregel
En regneregel er en regel, der gør det muligt at finde ud af, om et tal er deleligt med et andet tal uden at udføre selve divisionen. Det er nok at se på de sidste cifre eller lægge alle cifrene i tallet sammen.
Regneregler er nyttige overalt, hvor du hurtigt skal forstå et tals 'struktur':
- ved forkortelse af brøker — det er straks tydeligt, hvad tæller og nævner kan forkortes med;
- ved primtalsfaktorisering af et tal;
- ved søgning efter fælles divisor og fælles multiplum;
- ved hurtig kontrol af svar i opgaver og problemer.
Det er vigtigt ikke at forveksle to forskellige spørgsmål. 'Er 3726 deleligt med 9?' — det er, hvad regnereglen besvarer: ciffer-summen 3 + 7 + 2 + 6 = 18 er delelig med 9, så ja. Og 'hvad bliver resultatet?' — det er selve divisionen: 3726 : 9 = 414. Reglen giver kun svaret 'ja' eller 'nej', men det er øjeblikkeligt og i hovedet.
Tabel over regneregler
Alle skolede regneregler er praktiske at have for øje i én tabel. Farven indikerer, hvor man skal kigge: på det sidste ciffer, på ciffer-summen, på 'halen' af to-tre sidste cifre eller straks på to regler.
| Hvad | Regneregel | Eksempel |
|---|---|---|
| 2 | sidste ciffer er 0, 2, 4, 6 eller 8 | 3726 → 6 |
| 3 | ciffer-summen er delelig med 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | de sidste to cifre danner et tal, der er deleligt med 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | sidste ciffer er 0 eller 5 | 1435 → 5 |
| 6 | delelig med både 2 og 3 samtidigt | 5124 → 4 og 12 |
| 8 | de sidste tre cifre danner et tal, der er deleligt med 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | ciffer-summen er delelig med 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | sidste ciffer er 0 | 2340 → 0 |
| 11 | cifre fra højre med skiftende + og −; summen er delelig med 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | de sidste to cifre er 00, 25, 50 eller 75 | 1875 → 75 |
Regneregler for 2, 5 og 10
Den nemmeste gruppe: vi kigger kun på sidste ciffer, resten er irrelevant.
- tal delelige med 2 er alle lige tal — dem, der ender på 0, 2, 4, 6 eller 8;
- tal delelige med 5 — tal, der ender på 0 eller 5;
- tal delelige med 10 — tal, der ender på 0.
Tallets længde betyder ikke noget: 987.654.320 er deleligt med både 2, 5 og 10, fordi det ender på nul. Og 1435 er deleligt med 5 (sidste ciffer 5), men ikke deleligt med hverken 2 eller 10 — tallet er ulige.
Heraf følger en nyttig konklusion: de tal, der er delelige med 10, er præcis dem, der er delelige både med 2 og med 5 samtidigt.
Regneregler for 3 og 9: ciffer-sum
Her betyder sidste ciffer intet — summen af alle cifrene i tallet er afgørende:
- et tal er deleligt med 3, hvis summen af dets cifre er delelig med 3;
- et tal er deleligt med 9, hvis summen af dets cifre er delelig med 9.
Hvis summen bliver stor, kan reglen anvendes igen: for tallet 899.991 er ciffer-summen 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, og for 45 er summen 4 + 5 = 9 — det betyder, at det oprindelige tal er deleligt med både 9 og 3.
Reglerne ligner hinanden, men erstatter ikke hinanden. Ethvert tal, der er deleligt med 9, er også deleligt med 3 — da ni selv er delelig med tre. Det omvendte er ikke sandt: ciffer-summen kan være delelig med 3 og samtidig ikke delelig med 9, og så opfylder tallet kun én af de to regler. Begge tilfælde er forklaret nedenfor.
Regneregler for 4, 8 og 25: kig på tallets 'hale'
Et enkelt sidste ciffer er ikke nok her — der skal bruges en 'hale' af flere sidste cifre:
- et tal er deleligt med 4, hvis de sidste to cifre danner et tal, der er deleligt med 4;
- et tal er deleligt med 8 — hvis de sidste tre cifre danner et tal, der er deleligt med 8;
- et tal er deleligt med 25 — hvis de sidste to cifre danner 00, 25, 50 eller 75.
Hvorfor halen er nok: 100 er deleligt med både 4 og 25, og 1000 er deleligt med 8. Derfor er alt, hvad der står til venstre, allerede deleligt med det ønskede tal og påvirker ikke resultatet.
Heraf følger en vigtig konklusion: ligehed er ikke nok for fire og otte. Et tal kan være lige, men hvis dets hale af to eller tre cifre ikke er delelig, så er hele tallet heller ikke deleligt. Forklaring af halerne — i boksen nedenfor.
Reglen for 6
Sekseren har ingen selvstændig regel: 6 = 2 · 3, og faktorerne er indbyrdes primiske. Derfor er reglen sammensat — et tal er deleligt med 6, hvis det er deleligt med både 2 og 3.
Lad os tjekke 5124: sidste ciffer er 4 — tallet er lige, så det er deleligt med 2; ciffer-summen 5 + 1 + 2 + 4 = 12 er delelig med 3. Begge betingelser er opfyldt → 5124 : 6 = 854.
Lighed alene er ikke nok: 1000 er lige, men dets ciffer-sum er 1 og ikke delelig med 3, så tallet er ikke deleligt med 6. Den omvendte halvdel virker heller ikke: for 4521 er ciffer-summen 12 delelig med 3, men tallet selv er ulige — det er heller ikke deleligt med 6.
På samme måde samles andre sammensatte regler: for 12 — delelig med 3 og 4, for 15 — med 3 og 5, for 18 — med 2 og 9, for 45 — med 5 og 9.
Reglen for 11
Reglen for 11 bruger en alternerende ciffer-sum. Cifrene lægges sammen, startende fra det sidste, med skiftende fortegn: plus, minus, plus, minus. Hvis resultatet er deleligt med 11 (inklusive nul), så er hele tallet også deleligt med 11.
Den samme regel formuleres ofte anderledes: forskellen mellem summen af cifrene på ulige pladser og summen af cifrene på lige pladser skal være delelig med 11. Det er den samme regel.
Eksempler på regneregler
Eksempel 1. Hvilke tal er 7254 deleligt med?
Opgave. Bestem, hvilke af tallene 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 der er deleligt med 7254.
Trin 1. For 2. Sidste ciffer er 4 — lige. Deleligt: 7254 : 2 = 3627.
Trin 2. For 5 og 10. Tallet ender på 4, ikke på 0 eller 5. Ikke deleligt med hverken 5 eller 10.
Trin 3. For 3 og 9. Ciffer-sum: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Den er delelig med både 3 og 9. Derfor er 7254 : 3 = 2418 og 7254 : 9 = 806.
Trin 4. For 6. Tallet er deleligt med både 2 og 3 — derfor er det deleligt med 6: 7254 : 6 = 1209.
Trin 5. For 4. De sidste to cifre giver 54, og 54 er ikke deleligt med 4. Ikke deleligt.
Svar. 7254 er deleligt med 2, 3, 6 og 9.
Eksempel 2. Er 4715 deleligt med 3 og 9?
Opgave. Tjek divisibiliteten af tallet 4715 med 3 og 9.
Trin 1. Læg cifrene sammen: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Trin 2. For 3. 17 er ikke deleligt med 3 (nærmeste multipla er 15 og 18). Derfor er 4715 heller ikke deleligt med 3.
Trin 3. For 9. 17 er slet ikke deleligt med 9. Derfor er 4715 heller ikke deleligt med 9.
Hvad tallet kan. Sidste ciffer er 5 → tallet er deleligt med 5: 4715 : 5 = 943. Ikke deleligt med 2 og 10 — det er ulige.
Svar. Tallet 4715 er hverken deleligt med 3 eller 9.
Eksempel 3. Divisibilitet med 4 og 8: tallet 6248
Opgave. Tjek, om 6248 er deleligt med 4 og 8.
Trin 1. For 4. Tag de sidste to cifre: 48. Tallet 48 er deleligt med 4 (48 : 4 = 12), så 6248 er også deleligt: 6248 : 4 = 1562.
Trin 2. For 8. Tag de sidste tre cifre: 248. Divider: 248 : 8 = 31 — det er deleligt. Derfor er 6248 : 8 = 781.
Vær forsigtig med omvendt ræsonnement. Fra divisibilitet med 4 følger ikke nødvendigvis divisibilitet med 8: for tallet 6244 er halen 44 delelig med 4 (6244 : 4 = 1561), men de sidste tre cifre 244 er ikke delelige med 8 — tallet er ikke deleligt med 8.
Svar. 6248 er deleligt med både 4 og 8.
Eksempel 4. Reglen for 11: tallet 2926
Opgave. Tjek, om 2926 er deleligt med 11.
Trin 1. Skriv cifrene op og sæt fortegn fra højre: sidste ciffer med plus, derefter skiftevis minus og plus.
Trin 2. Beregn den alternerende sum: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Trin 3. Resultatet 11 er deleligt med 11 → hele tallet er også deleligt.
Kontrol ved division. 2926 : 11 = 266.
Svar. 2926 er deleligt med 11.
Eksempel 5. Forkort brøken ved hjælp af regneregler
Opgave. Forkort brøken 270/378.
Trin 1. Beregn ciffer-summerne: 2 + 7 + 0 = 9 og 3 + 7 + 8 = 18. Begge er delelige med 9 → både tæller og nævner er delelige med 9.
Trin 2. Forkort med 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Vi får 30/42.
Trin 3. Begge tal er lige → forkort med 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Vi får 15/21.
Trin 4. Ciffer-summerne 6 og 3 er delelige med 3 → forkort med 3.
Svar. 270/378 = 5/7.
Almindelige fejl ved regneregler
-
Divisibilitet med 6 tjekkes kun ved lige tal: da tallet er lige, er det deleligt med 6.
Begge betingelser skal være opfyldt samtidigt: både med 2 og med 3. Tallet 7124 er lige, men dets ciffer-sum 14 er ikke delelig med 3, så det er ikke deleligt med 6. Og omvendt: 3471 opfylder reglen for tre (sum 15, 3471 : 3 = 1157), men er ulige — det er heller ikke deleligt med 6.
-
For divisibilitet med 4 kigger man på ét sidste ciffer: '8 er deleligt med 4, så 9138 passer også'.
For 4 tager man TO sidste cifre. For 9138 er det 38, og 38 er ikke deleligt med 4. Korrekt eksempel: for 9136 er halen 36, 36 : 4 = 9, så 9136 : 4 = 2284. For 8 er halen endnu længere — tre cifre.
-
Reglen for 9 tjekkes ved sidste ciffer: man leder efter tal, der ender på 9 eller 0.
Sidste ciffer betyder intet for 9. Man beregner summen af alle cifrene: for 4563 er den 18, summen er delelig med 9 — og tallet er deleligt (4563 : 9 = 507), selvom det ender på 3.
-
Man tror, at hvis et tal er deleligt med 3, så er det også deleligt med 9.
Det gælder kun i én retning: delelig med 9 → delelig med 3. Det omvendte er ikke sandt. For 8241 er ciffer-summen 15: den er delelig med 3 (8241 : 3 = 2747), men ikke med 9.
-
For reglen for 11 lægger man bare alle cifrene sammen, som for 3 og 9.
For 11 er summen alternerende: cifrene lægges sammen fra højre, med skiftende fortegn. For 6479 er det 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → det er deleligt (6479 : 11 = 589). Den almindelige ciffer-sum her er 26 og siger intet.
-
Reglen for divisibilitet forveksles med selve divisionen: på spørgsmålet 'er 5391 deleligt med 9' svarer man 'ja, 18'.
18 er ciffer-summen, et mellemliggende resultat af reglen. Kvotienten beregnes separat: 5391 : 9 = 599. Reglen svarer kun 'deleligt / ikke deleligt'.
Spørgsmål og svar
Hvad er en regneregel forklaret med simple ord?
Det er en regel, der gør det muligt at finde ud af, om et tal er deleligt uden rest, uden at udføre selve divisionen. Normalt er det nok at se på tallets sidste cifre eller lægge alle dets cifre sammen.
Hvordan finder man ud af, om et tal er deleligt med 3?
Læg alle cifrene i tallet sammen. Hvis den resulterende sum er delelig med 3, så er tallet selv også deleligt med 3. For eksempel, for 2571 er ciffer-summen 2 + 5 + 7 + 1 = 15, og 15 er delelig med 3 → 2571 : 3 = 857.
Hvad er forskellen mellem reglen for 3 og reglen for 9?
Reglen er den samme — man beregner ciffer-summen, men tjekker den mod forskellige tal: for tre skal summen være delelig med 3, for ni — med 9. Derfor er ethvert tal, der er deleligt med 9, også deleligt med 3, men det omvendte er ikke altid sandt: for 9420 er ciffer-summen 15 delelig med 3 (9420 : 3 = 3140), men ikke med 9.
Hvad skal man gøre, hvis ciffer-summen bliver stor?
Anvend reglen igen — nu på summen. For tallet 777.771 er ciffer-summen 36, for 36 er summen 3 + 6 = 9. Ni er delelig med 9, så det oprindelige tal er også deleligt med 9 (og dermed også med 3): 777.771 : 9 = 86.419.
Findes der en regneregel for 7?
Der findes ingen simpel regel som ciffer-summen for syv, og den inkluderes ikke i tabellen over regneregler i skolen. Der findes en metode: fjern det sidste ciffer, fordobl det, og træk det fra det resterende tal. For eksempel, for 343: vi fjerner 3, fordobler det — 6, beregner 34 − 6 = 28. Tallet 28 er deleligt med 7, så 343 er også deleligt: 343 : 7 = 49.
Hvilke regneregler gælder for 12, 15 og 45?
De er sammensatte — tallet skal opfylde to regler samtidigt: for 12 — delelig med 3 og 4, for 15 — med 3 og 5, for 45 — med 5 og 9. Det er vigtigt, at faktorerne er indbyrdes primiske: nedbrydningen 12 = 2 · 6 er ikke gyldig, da 18 er delelig med både 2 og 6, men ikke med 12.
I hvilken klasse lærer man om regneregler?
I 6. klasse i matematik: først reglerne for 10, 5 og 2, derefter for 3 og 9. Reglerne for 4, 8, 11 og 25 gennemgås normalt yderligere — de vil være nyttige ved forkortelse af brøker og i konkurrencer.
