En proportion er en lighed mellem to forhold, f.eks. \(2:3 = 8:12\). For at løse proportioner behøver du kun ét værktøj – den grundlæggende egenskab ved proportioner: produktet af de yderste led er lig med produktet af de midterste led. I skolen kaldes det "kryds-multiplikations"-reglen. Nedenfor finder du: hvad er et forhold og en proportion, hvordan man finder det ukendte led, hvordan direkte proportionalitet adskiller sig fra omvendt, en gennemgang af opgaver om opskrifter, skala og pris, en introduktion til procenter og en træner med 10 opgaver.
Hvad er et forhold og en proportion
Et forhold mellem to tal er deres kvotient. Forholdet \(2:3\) (læses "to til tre") viser, hvor mange gange det ene tal er større end det andet, eller hvilken brøkdel det ene udgør af det andet. Det kan skrives på to måder: \(2:3\) eller som brøken \(\frac{2}{3}\) – det er det samme.
En proportion er en lighed mellem to forhold:
Der er kun fire tal i en proportion, og de har navne. Tallene i yderkanterne af opstillingen er ydre led, tallene i midten er midterste led. En proportion er korrekt, når begge forhold er lig med det samme tal.
Den grundlæggende egenskab ved proportioner: "kryds-multiplikations"-reglen
Den grundlæggende egenskab ved proportioner: produktet af de yderste led er lig med produktet af de midterste led.
Hvorfor er det sådan? Lad os gange begge sider af ligheden \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) med \(b \cdot d\). På venstre side forkortes \(b\), på højre side forkortes \(d\), og der står præcis \(a \cdot d = c \cdot b\). Ingen magi – det er en almindelig egenskab ved ligheder.
Det er netop dette, skolebørn kalder "at løse proportioner med kryds-multiplikation": tallene ganges med hinanden diagonalt, kryds-multiplikation. Egenskaben virker også omvendt: hvis \(a \cdot d = b \cdot c\) gælder for fire tal (ingen af dem er nul), så kan der dannes en korrekt proportion af dem.
Dette giver straks to færdigheder: at kontrollere, om en proportion er korrekt, og at finde et ukendt tal i den.
Sådan finder du det ukendte led i en proportion
Fra den grundlæggende egenskab udledes to korte regler:
- ukendt ydre led = produkt af midterste led : kendt ydre led;
- ukendt midterste led = produkt af ydre led : kendt midterste led.
Det er ikke nødvendigt at huske dem udenad. En universel metode er tilstrækkelig: gang kryds-multiplikation, få en ligning af typen "tal \(\cdot\, x\) = tal" og divider. Lad os gennemgå dette trin for trin med proportionen \(x : 7 = 12 : 21\).
Det sidste trin – kontrol – tager fem sekunder og fanger næsten enhver aritmetisk fejl, så det bør ikke springes over.
Direkte og omvendt proportionalitet
To størrelser kaldes direkte proportionale, hvis den ene størrelse øges et antal gange, øges den anden med det samme antal gange. Købte dobbelt så mange notesbøger – betalte dobbelt så meget. For sådanne størrelser er deres forhold konstant.
Størrelser er omvendt proportionale, hvis den ene størrelse øges et antal gange, mindskes den anden med det samme antal gange. Dobbelt så mange arbejdere – dobbelt så få dage til det samme arbejde. For sådanne størrelser er deres produkt konstant.
Hovedforskellen ses, når vi opstiller proportionen. For direkte proportionalitet opstilles den "som den er": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). For omvendt proportionalitet vendes det andet forhold: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Hvorfor? For omvendt proportionalitet er produktet konstant: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Divider begge sider med \(a_2 \cdot b_1\) – og vi får netop \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Så "vendingen" er ikke en besværgelse, der skal huskes, men en konsekvens af, at det er produktet, der forbliver konstant, ikke forholdet.
| Karakteristik | Direkte | Omvendt |
|---|---|---|
| Sammenhæng | større → større | større → mindre |
| Konstant | forholdet a : b | produktet a × b |
| Opskrift | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Eksempel | 3 kuglepenne — 90 kr., 5 kuglepenne — 150 kr. | 4 malere — 9 dage, 6 malere — 6 dage |
Sådan opstiller du en proportion til en opgave: opskrift, skala, pris
Tekstopgaver "om proportioner" løses efter ét scenarie:
- Skriv betingelsen ned i to kolonner, så ens størrelser står under hinanden (portioner under portioner, gram under gram).
- Angiv det ukendte med \(x\).
- Bestem typen af proportionalitet: tænk dig at øge den første størrelse og se, om den anden vokser eller aftager.
- Opstil proportionen – for omvendt proportionalitet vendes det andet forhold.
- Løs med kryds-multiplikation og kontroller, om svaret er rimeligt.
Lad os vise det med en opskrift. Til 4 portioner pandekager skal der bruges 300 g mel – hvor meget mel skal der bruges til 6 portioner? Der er flere portioner, så der skal bruges mere mel: proportionaliteten er direkte, proportionen opstilles "som den er":
Til 6 portioner skal der bruges 450 g mel. Svaret er rimeligt: antallet af portioner er steget 1,5 gange, og mængden af mel er også steget 1,5 gange.
På samme måde løses opgaver om skala (afstand på kortet forholder sig til afstand i virkeligheden som 1 til skalanummeret) og om pris (mængde af vare forholder sig til mængde som pris til pris). Fuldstændige gennemgange findes i eksemplerne nedenfor.
Procenter via proportioner
En procent er en hundrededel af et tal, så enhver simpel opgave om procenter kan omdannes til en proportion:
Hvor et af de fire tal er ukendt – det finder vi med kryds-multiplikation.
Find delen. Hvor meget er 15% af 240? Vi opstiller \(x : 240 = 15 : 100\), hvilket betyder \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) og \(x = 36\).
Find helheden. Tallet 21 udgør 35% af et eller andet tal. Vi opstiller \(21 : x = 35 : 100\), hvilket betyder \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) og \(x = 60\).
Find procenten. Hvor mange procent udgør 18 af 45? Vi opstiller \(18 : 45 = p : 100\), hvilket betyder \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) og \(p = 40\), altså 40%.
Én metode – tre forskellige typer opgaver, intet ekstra skal huskes. Spørgsmålet "med hvor mange procent er størrelsen vokset eller faldet" er en undtagelse: her finder man først ændringen og dividerer den derefter med den oprindelige værdi – det er en formel for procentvis ændring, ikke en simpel proportion.
Eksempler på løsning af proportioner med trinvis forklaring
Eksempel 1. Ukendt midterste led
Opgave. Find det ukendte led i proportionen \(15 : x = 45 : 24\).
Trin 1. Vi bestemmer, hvilke led der er yderste og midterste. Yderste led er 15 og 24, midterste led er \(x\) og 45.
Trin 2. Vi anvender den grundlæggende egenskab: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), hvilket betyder \(360 = 45x\).
Trin 3. Vi dividerer: \(x = 360 : 45 = 8\).
Kontrol. \(15 : 8 = 1{,}875\) og \(45 : 24 = 1{,}875\) – forholdene er ens.
Svar: \(x = 8\).
Eksempel 2. Direkte proportionalitet: pris og mængde
Opgave. Seks notesbøger koster 210 kr. Hvad koster 10 af de samme notesbøger?
Trin 1. Flere notesbøger – højere pris, så proportionaliteten er direkte.
Trin 2. Vi opstiller betingelsen, så ens størrelser står ved siden af hinanden, og opstiller proportionen "som den er":
Trin 3. Kryds-multiplikation: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), så \(x = 2100 : 6 = 350\).
Kontrol. Én notesbog koster \(210 : 6 = 35\) kr, og ti koster \(35 \cdot 10 = 350\) kr. Det passer.
Svar: 350 kr.
Eksempel 3. Omvendt proportionalitet: arbejdere og dage
Opgave. Otte arbejdere udfører en ordre på 15 dage. Hvor mange dage vil 12 arbejdere bruge på at udføre den samme ordre, hvis de arbejder med samme hastighed?
Trin 1. Der er flere arbejdere – der skal bruges færre dage. Proportionaliteten er omvendt.
Trin 2. Vi opstiller proportionen ved at vende det andet forhold:
Her er \(x\) antal dage for 12 arbejdere, og 15 er dage for 8 arbejdere: de har byttet plads, fordi proportionaliteten er omvendt.
Trin 3. Kryds-multiplikation: \(8 \cdot 15 = 12x\), hvilket betyder \(120 = 12x\) og \(x = 10\).
Kontrol. Produktet er konstant: \(8 \cdot 15 = 120\) og \(12 \cdot 10 = 120\). Det passer, og svaret er rimeligt – der skal bruges færre dage.
Svar: 10 dage.
Eksempel 4. Kortets målestok
Opgave. Kortets målestok er \(1 : 200.000\). Afstanden mellem landsbyerne på kortet er 7 cm. Hvor langt er der mellem dem i virkeligheden?
Trin 1. Målestokken \(1 : 200.000\) betyder: 1 cm på kortet svarer til 200.000 cm i virkeligheden. Dette er et færdigt forhold.
Trin 2. Vi opstiller proportionen:
Trin 3. Kryds-multiplikation: \(1 \cdot x = 200.000 \cdot 7\), hvilket betyder \(x = 1.400.000\) cm.
Trin 4. Vi omregner til praktiske enheder: én kilometer er 100.000 cm, derfor er \(1.400.000 : 100.000 = 14\) km.
Svar: 14 km.
Eksempel 5. Procenter via proportioner
Opgave. I klassen er der 25 elever, 60% af dem tog med på tur. Hvor mange personer tog med på tur?
Trin 1. Helheden er alle 25 elever, de svarer til 100%. Den søgte del er \(x\) personer, de svarer til 60%.
Trin 2. Vi opstiller proportionen "del : helhed = procent : 100":
Trin 3. Kryds-multiplikation: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), så \(x = 15\).
Kontrol. 15 personer ud af 25 er \(15 : 25 = 0{,}6\), altså præcis 60%.
Svar: 15 personer.
Almindelige fejl ved løsning af proportioner
-
Man ganger tal "langs siden" i stedet for kryds-multiplikation: i proportionen 5 : 2 = 20 : 8 beregner man 5 · 2 og 20 · 8.
Den grundlæggende egenskab forbinder de yderste led med de midterste, altså tallene diagonalt: 5 · 8 = 40 og 2 · 20 = 40. Produkterne er ens – proportionen er korrekt. Men 5 · 2 og 20 · 8 er ikke ens og siger intet.
-
I en opgave med omvendt proportionalitet opstilles en "direkte" proportion. Seks pumper fylder en tank på 10 timer; opstillingen 6 : 15 = 10 : x giver 25 timer for 15 pumper.
Der er flere pumper – der skal bruges mindre tid, men resultatet er mere tid: proportionen er altså opstillet forkert. Det andet forhold skal vendes: 6 : 15 = x : 10, så 15x = 60 og x = 4 timer. Kontroller altid svaret for rimelighed.
-
Efter "kryds-multiplikation" divideres der omvendt: fra ligningen 8x = 96 får man x = 8 : 96.
For at finde x divideres produktet med den faktor, der står ved siden af x: x = 96 : 8 = 12. En god vane er at indsætte det fundne tal igen: 8 · 12 = 96, alt er korrekt.
-
Enhederne stemmer ikke overens. I en opgave med målestok 1 : 50.000 ved 3 cm på kortet angives svaret "1,5" uden enhed eller som meter.
Først beregner vi i de enheder, målestokken er givet i: 3 · 50.000 = 150.000 cm. Og først derefter omregner vi: 150.000 cm = 1500 m = 1,5 km. Enhederne i svaret er lige så vigtige som selve tallet.
-
Man forveksler forhold og proportion: på anmodning om at opstille en proportion skriver man ét forhold "12 : 4".
Et forhold er én kvotient: 12 : 4 = 3. En proportion er en lighed mellem to forhold, den indeholder altid fire tal og et lighedstegn: 12 : 4 = 30 : 10 (vi kontrollerer: 12 · 10 = 120 og 4 · 30 = 120).
Spørgsmål og svar
Hvordan adskiller et forhold sig fra en proportion?
Et forhold er kvotienten af to tal, f.eks. 12 : 4. En proportion er en lighed mellem to forhold, den indeholder fire tal: 12 : 4 = 30 : 10. Et forhold besvarer spørgsmålet "hvor mange gange", mens en proportion fastslår, at to sådanne sammenligninger giver samme resultat.
Hvad er de yderste og midterste led i en proportion?
I opstillingen a : b = c : d er de yderste led dem, der står i yderkanterne, altså a og d. De midterste led er dem, der står i midten, altså b og c. Hvis proportionen er skrevet som brøker, er de yderste led tælleren i den første brøk og nævneren i den anden, mens de midterste led er nævneren i den første og tælleren i den anden.
Hvordan kontrollerer man, om en proportion er korrekt?
Man ganger kryds-multiplikation og sammenligner produkterne. For eksempel, for 9 : 12 = 15 : 20 beregner vi 9 · 20 = 180 og 12 · 15 = 180 – tallene er ens, så proportionen er korrekt. Hvis produkterne er forskellige, er proportionen ukorrekt.
Kan man bytte om på led i en proportion?
Ja, hvis man gør det efter reglerne. I en korrekt proportion kan man bytte om på de yderste led, man kan bytte om på de midterste led, eller man kan vende begge sider på én gang – proportionen forbliver korrekt. Fra 4 : 6 = 10 : 15 får vi 4 : 10 = 6 : 15 eller 6 : 4 = 15 : 10 – produktet diagonalt er altid 60. Men man kan ikke bare flytte ét enkelt tal.
Hvad betyder "at løse en proportion med kryds-multiplikation"?
Det er en uformel betegnelse for den grundlæggende egenskab ved proportioner. Tallene ganges med hinanden diagonalt, kryds-multiplikation: yderste led med yderste led og midterste led med midterste led. Dette resulterer i en ligning med ét ukendt tal, som løses ved én division. Der findes ingen separat "kryds-metode" ud over den grundlæggende egenskab.
Hvordan forstår man, om proportionaliteten i en opgave er direkte eller omvendt?
Tænk dig at fordoble den første størrelse og se på den anden. Hvis den også fordobles – er proportionaliteten direkte, proportionen opstilles "som den er". Hvis den halveres – er proportionaliteten omvendt, det andet forhold skal vendes. Et andet tegn: ved direkte proportionalitet er forholdet mellem størrelserne konstant, ved omvendt proportionalitet er deres produkt konstant.
Hvordan løser man opgaver om procenter via proportioner?
Opstil proportionen "del : helhed = procent : 100" og find det ukendte med kryds-multiplikation. For eksempel, 12% af 350: vi får x : 350 = 12 : 100, hvilket betyder 100x = 4200 og x = 42. På samme måde finder man også helheden ud fra den kendte del, og selve procenten.
