Vieta's sætning forbinder rødderne af en kvadratisk ligning med dens koefficienter: for den reducerede ligning \(x^2 + px + q = 0\) er summen af rødderne lig med \(-p\), og produktet er lig med \(q\). Dette gør det muligt at finde rødderne mentalt – ved gætning, uden diskriminant. På denne side finder du præcise formler for den reducerede ligning og for den generelle form, den omvendte Vieta's sætning, en algoritme til rod-finding, gennemgåede eksempler og en interaktiv træner.
Hvad er Vieta's sætning
Vieta's sætning er en regel, der forbinder rødderne af en kvadratisk ligning med dens koefficienter. Den formuleres således: hvis \(x_1\) og \(x_2\) er rødderne af den reducerede kvadratiske ligning \(x^2 + px + q = 0\), så gælder:
Med ord: summen af rødderne er lig med den anden koefficient med modsat fortegn, og produktet af rødderne er lig med den konstante term. Minustegnet i summen er det vigtigste sted i hele emnet: man skriver netop \(-p\), ikke \(p\).
For en generel ligning \(ax^2 + bx + c = 0\) (hvor \(a \neq 0\)) fås formlerne ved at dividere med \(a\):
Sætningen virker kun, når der findes reelle rødder, dvs. når \(D \ge 0\). Hvis diskriminanten er negativ, er der intet at gætte på: der findes ingen reelle tal med en sådan sum og et sådant produkt.
Reduceret ligning og generel form: hvor skal man dividere med a
Reduceret kaldes en kvadratisk ligning, hvor koefficienten for \(x^2\) er lig med én: \(x^2 + px + q = 0\). Det er for den, at Vieta's sætning er kortest, så rod-finding starter altid med at reducere ligningen.
Hvis \(a \neq 1\), divideres ligningen først med \(a\) ledvist. For eksempel bliver \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) efter division med \(3\) til \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), dvs. \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Herfra er \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) og \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Den samme idé kan skrives direkte for den generelle form uden at reducere ligningen: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Den mest almindelige fejl er at anvende de 'korte' formler \(-p\) og \(q\) på en ikke-reduceret ligning og få summen 10 i stedet for \(\frac{10}{3}\).
Omvendt Vieta's sætning
Vieta's sætning har en omvendt form, og det er den, der tillader at løse ligninger ved gætning. Den lyder således: hvis tallene \(m\) og \(n\) er sådan, at
så er \(m\) og \(n\) rødderne af ligningen \(x^2 + px + q = 0\).
Forskellen er principiel. Direkte sætning går fra rødder til koefficienter: rødderne er allerede kendte, vi får relationer mellem dem. Omvendt går fra koefficienter til rødder: vi gætter et par tal med den ønskede sum og det ønskede produkt – og har fuld ret til at kalde dem rødder, uden at skulle bevise mere.
Herfra følger også en nyttig regel: hvis \(x_1\) og \(x_2\) er rødder, så kan polynomiet faktoriseres som \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). For eksempel er \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Rod-finding med Vieta's sætning: algoritme
Rod-finding er den vigtigste praktiske anvendelse af sætningen. Den virker hurtigere end diskriminanten, når rødderne er hele tal, og består af fem trin.
Tegn på rødder efter koefficienterne p og q
Allerede før gætning kan man se, hvilke fortegn rødderne vil have – det er nok at se på fortegnene for \(p\) og \(q\). Dette forkorter gætteriet betydeligt: man kan straks se, om man skal lede efter et par af to positive tal, to negative tal eller tal med forskellige fortegn.
| p og q | Rødder | Eksempel |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | begge > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | begge < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | forskellige fortegn | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 og −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Vieta's sætning eller diskriminant: hvad skal man vælge
Formlen for rødderne via diskriminanten \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) virker altid, men kræver udregninger. Vieta's sætning virker øjeblikkeligt, men kun hvis rødderne kan gættes – normalt er det små hele tal.
En praktisk regel er:
- ligningen er reduceret, og \(q\) kan faktoriseres i et par små faktorer → prøv gætning med Vieta, svaret fås mentalt;
- koefficienterne er store eller brøker, rødderne kan ikke gættes på 10–15 sekunder → beregn diskriminanten;
- kun antallet af rødder eller fortegnene på rødderne er nødvendigt, selve rødderne ikke → \(D\) og fortegnstabellen ovenfor er nok.
Det er også nyttigt at kombinere: beregn diskriminanten og find rødderne – tjek svaret med Vieta. Summen skal give \(-p\), produktet \(q\). En sådan kontrol tager et par sekunder og fanger næsten enhver aritmetisk fejl.
Eksempler på løsning med Vieta's sætning
Eksempel 1. Gætning af rødder: begge rødder er positive
Løs \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Trin 1. Ligningen er reduceret: \(p = -9\), \(q = 20\).
Trin 2. Vi kontrollerer diskriminanten: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – der er to rødder.
Trin 3. Vi skriver relationerne op: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Trin 4. Vi gennemgår faktoriseringerne af tallet 20: \(1\cdot 20\) (sum 21), \(2\cdot 10\) (sum 12), \(4\cdot 5\) (sum 9) – det sidste par passer. Begge faktorer er positive, fordi \(q > 0\), og \(p < 0\).
Trin 5. Kontrol ved indsættelse. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Svar: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Eksempel 2. Rødder med forskellige fortegn
Løs \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Trin 1. Ligningen er reduceret: \(p = 3\), \(q = -28\).
Trin 2. \(q < 0\), hvilket betyder, at rødderne har forskellige fortegn, og diskriminanten er garanteret positiv: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Trin 3. Relationer: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Trin 4. Faktoriseringer af 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Der skal være en forskel på 3 – parret 4 og 7 passer. Da summen er negativ, tager vi den rod med størst absolut værdi med minus: \(4\) og \(-7\).
Trin 5. Kontrol. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Svar: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Eksempel 3. Ligning med generel form (a ≠ 1)
Løs \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Trin 1. Koefficienten \(a = 3\), så de 'korte' formler \(-p\) og \(q\) kan ikke anvendes. Vi bruger den generelle form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Trin 2. Produktet er 1 – det betyder, at rødderne er gensidigt inverse: hvis den ene er \(t\), er den anden \(\tfrac{1}{t}\). Summen \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) antyder \(t = 3\), da \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Trin 3. Kontrol ved indsættelse. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Svar: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Eksempel 4. Opstil en ligning ud fra dens rødder
Opgave. Opstil en reduceret kvadratisk ligning, hvis rødder er \(-4\) og \(6\).
Trin 1. Vi beregner summen og produktet: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Trin 2. Ifølge den omvendte Vieta's sætning er koefficienterne \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) og \(q = x_1 x_2 = -24\). Her gemmer sig den største fælde: \(p\) er summen med modsat fortegn.
Trin 3. Vi opstiller ligningen: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Trin 4. Kontrol ved indsættelse. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Svar: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Samme resultat fås ved faktoriseringen \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Eksempel 5. Kontroller en andens svar med Vieta's sætning
Opgave. En elev har løst ligningen \(x^2 + 5x + 6 = 0\) og skrevet svaret: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Kontroller, om eleven har lavet fejl.
Trin 1. Med Vieta's sætning skal \(x_1 + x_2 = -p = -5\) og \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Trin 2. For det foreslåede svar passer produktet (\(2\cdot 3 = 6\)), men summen ikke: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Svaret er altså forkert: et fortegn er gået tabt.
Trin 3. Vi finder det korrekte par: der skal findes tal med produkt 6 og sum -5 – det er -2 og -3 (begge negative, fordi \(q > 0\) og \(p > 0\)).
Trin 4. Kontrol ved indsættelse. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Svar: de korrekte rødder er \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Almindelige fejl ved arbejde med Vieta's sætning
-
Man glemmer minustegnet i summen: man skriver $x_1 + x_2 = p$ i stedet for $x_1 + x_2 = -p$.
Minustegnet står kun ved summen, produktet tages med samme fortegn: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Tjek med den simple ligning \(x^2 - 5x + 6 = 0\): her er \(p = -5\), summen af rødderne er 5, og rødderne er faktisk 2 og 3.
-
Man anvender formlerne $-p$ og $q$ på en ikke-reduceret ligning: for $2x^2 - 9x + 4 = 0$ siger man 'sum 9, produkt 4'.
Så længe \(a \neq 1\), gælder formlerne for den generelle form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Rødderne her er 4 og \(\tfrac{1}{2}\), ikke 4 og 1. Eller man dividerer først hele ligningen med \(a\).
-
Man gætter rødder uden at have kontrolleret diskriminanten: for $x^2 + x + 1 = 0$ forsøger man at finde et par tal med sum -1 og produkt 1.
Først skal man sikre sig, at der findes rødder: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), der findes ingen reelle rødder, så gætning er umulig. Vieta's sætning virker kun ved \(D \ge 0\).
-
Man gætter et par kun ud fra produktet, uden at kontrollere summen: for $x^2 - 8x + 12 = 0$ tager man 3 og 4, fordi deres produkt er 12.
Man skal kontrollere begge relationer på én gang. For \(x^2 - 8x + 12 = 0\) giver produktet 12 parrene (1; 12), (2; 6), (3; 4), mens summen 8 kun gives af parret 2 og 6. Kontrol: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) og \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Når man opstiller en ligning ud fra rødderne, tager man $p$ lig med summen: for rødderne 2 og 5 skriver man $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Koefficienten \(p\) er lig med summen med modsat fortegn: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), dvs. \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Indsættelse bekræfter: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Man mener, at Vieta's sætning kun gælder for hele rødder, og anvender den ikke til at kontrollere svaret.
Relationerne \(x_1 + x_2 = -p\) og \(x_1 x_2 = q\) gælder for enhver reel rod – hel, brøk eller irrational. Kun gætning er praktisk for hele tal, mens for andre typer er sætningen stadig en hurtig måde at kontrollere et svar fundet med diskriminanten.
Spørgsmål og svar
Hvordan lyder Vieta's sætning med simple ord?
Hvis en reduceret kvadratisk ligning \(x^2 + px + q = 0\) har rødder, så er deres sum lig med den anden koefficient med modsat fortegn, og produktet er lig med den konstante term: \(x_1 + x_2 = -p\) og \(x_1 x_2 = q\).
Hvad er summen og produktet af rødderne for ligningen $ax^2 + bx + c = 0$?
For en ligning med generel form er summen af rødderne lig med \(-\dfrac{b}{a}\), og produktet \(\dfrac{c}{a}\). Disse formler fås fra den reducerede form ved at dividere hele ligningen med \(a\).
Hvordan adskiller den omvendte Vieta's sætning sig fra den direkte?
Den direkte sætning går fra rødder til koefficienter: når rødderne kendes, får vi summen \(-p\) og produktet \(q\). Den omvendte går den modsatte vej: hvis et par tal giver den ønskede sum og det ønskede produkt, så er disse tal rødderne af ligningen. Det er den omvendte sætning, der tillader at løse ligninger ved gætning.
Hvordan gætter man rødderne med Vieta's sætning?
Reducer ligningen til formen \(x^2 + px + q = 0\), sørg for at \(D \ge 0\), skriv \(x_1 + x_2 = -p\) og \(x_1 x_2 = q\), gennemgå faktoriseringerne af tallet \(q\) i par af faktorer, og vælg det par, hvis sum er lig med \(-p\). For eksempel, for \(x^2 + 6x + 8 = 0\) skal man finde tal med produkt 8 og sum -6 – det er -2 og -4.
Virker Vieta's sætning, hvis koefficienten for $x^2$ ikke er lig med én?
Ja, men i form af den generelle form: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). De korte formler \(-p\) og \(q\) gælder kun for den reducerede ligning, så ved \(a \neq 1\) divideres ligningen først med \(a\).
Hvad skal man gøre, hvis rødderne ikke kan gættes med Vieta's sætning?
Det betyder, at rødderne ikke er hele tal, eller at de slet ikke findes. Beregn diskriminanten: ved \(D < 0\) findes der ingen reelle rødder, og ved \(D \ge 0\) findes rødderne ved formlen \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), og derefter kan man kontrollere svaret med Vieta's sætning.
Hvordan bestemmer man røddernes fortegn uden at løse ligningen?
Ud fra fortegnene for \(p\) og \(q\) ved \(D \ge 0\): hvis \(q > 0\) og \(p < 0\) – begge rødder er positive; hvis \(q > 0\) og \(p > 0\) – begge rødder er negative; hvis \(q < 0\) – rødderne har forskellige fortegn; hvis \(q = 0\) – en af rødderne er nul.
I hvilken klasse undervises Vieta's sætning?
I 8. klasse i algebra, lige efter kvadratiske ligninger og diskriminanten. Senere bruges den til at faktorisere kvadratiske trinomier som \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), til at undersøge rødder med en parameter og i opgaver til OGE og EGE.
