En aritmetisk kvadratrod af et tal \(a\) er et tal, hvis kvadrat er \(a\), og den aritmetiske kvadratrod kaldes kun dens ikke-negative værdi: \(\sqrt{25} = 5\). Man kan kun udtrække rødder af ikke-negative tal, men rodens egenskaber omdanner klodsede udtryk til korte. På denne side finder du definitionen og definitionsmængden, alle egenskaber ved kvadratroden med formler, en tabel over kvadratrødder fra 1 til 20, metoder til at udtrække rødder og bringe faktorer ud, gennemgåede eksempler, almindelige fejl og en interaktiv træner.
Hvad er en kvadratrod af et tal
En kvadratrod af et tal \(a\) er et tal, hvis kvadrat er \(a\). Rodudtrækning og kvadrering er gensidigt omvendte handlinger: fra \(7^2 = 49\) følger det straks, at kvadratroden af 49 er 7.
Men et positivt tal har præcis to kvadratrødder, og de adskiller sig kun ved fortegnet: \(5^2 = 25\) og \((-5)^2 = 25\), dvs. kvadratrødderne af 25 er både \(5\) og \(-5\). For at notationen \(\sqrt{25}\) skal betegne ét enkelt tal, er det aftalt: tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\) bruges kun til at angive den ikke-negative rod. Den kaldes den aritmetiske rod.
Notationerne har deres egne navne: tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\) er radikalet, og tallet eller udtrykket under det er udtrykket under rodtegnet.
Aritmetisk kvadratrod: definition og definitionsmængde
En aritmetisk kvadratrod af et ikke-negativt tal \(a\) kaldes et ikke-negativt tal, hvis kvadrat er \(a\). Den betegnes \(\sqrt{a}\) og læses "roden af a".
I definitionen er der to betingelser, og begge er lige vigtige:
- udtrykket under rodtegnet er ikke-negativt: \(a \ge 0\);
- rodens værdi er ikke-negativ: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Herfra får vi straks: \(\sqrt{25} = 5\), og ikke \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); og notationen \(\sqrt{-9}\) giver ingen mening i de reelle tal - der findes intet tal, hvis kvadrat er negativt.
Den første betingelse definerer definitionsmængden for et udtryk med en rod. For eksempel er \(\sqrt{x-7}\) meningsfuldt for \(x - 7 \ge 0\), dvs. for \(x \ge 7\): enhver mindre værdi af \(x\) placerer et negativt tal under roden.
Fra definitionen følger også ligheden \((\sqrt{a})^2 = a\) for \(a \ge 0\): at kvadrere roden giver det oprindelige tal under rodtegnet tilbage. Det virker, selv når vi ikke kan beregne selve roden præcist: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabel over kvadratrødder: kvadrattal fra 1 til 20
En rod udtrækkes præcist, når tallet under rodtegnet er et perfekt kvadrat. Derfor fungerer tabellen over kvadrattal også som en tabel over kvadratrødder: den læses begge veje - \(14^2 = 196\), så \(\sqrt{196} = 14\).
Tabellen hjælper ikke kun med hele tal:
- decimalbrøker: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), fordi \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- almindelige brøker: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - roden udtrækkes separat fra tælleren og separat fra nævneren;
- runde tal: \(\sqrt{2500} = 50\), da \(2500 = 25 \cdot 100\), og roden af hver faktor er kendt.
Egenskaber ved kvadratrod
Kvadratrodens egenskaber gør det muligt at beregne udtryk uden at udtrække hver rod separat og forenkle svaret.
Rod af et produkt er lig med produktet af rødderne: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) for \(a \ge 0\) og \(b \ge 0\). For eksempel er \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - det samme resultat som \(\sqrt{144}\).
Rod af en kvotient er lig med kvotienten af rødderne: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) for \(a \ge 0\) og \(b > 0\). For eksempel er \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Betingelsen \(b > 0\) er streng: man må ikke dividere med nul.
Rod af et kvadrat er lig med absolutværdien: \(\sqrt{a^2} = |a|\), og dette gælder for ethvert tal \(a\). Her er den vigtigste finte i hele emnet. Hvis \(a \ge 0\), ændres intet: \(\sqrt{7^2} = 7\). Men for negativ \(a\) "glattes" tegnet ud: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), og ikke \(-6\) - for en aritmetisk rod kan ikke være negativ.
Kvadratet af en rod giver tallet under rodtegnet tilbage: \((\sqrt{a})^2 = a\) for \(a \ge 0\).
Men for sum og differens findes der ingen lignende egenskaber: roden af en sum er ikke lig med summen af rødderne. Dette er den mest almindelige fejl i emnet, en gennemgang - nedenfor.
| Egenskab og betingelse | Eksempel |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bfor a ≥ 0 og b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bfor a ≥ 0 og b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|for ethvert a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = afor a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bfor b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Hvordan man udtrækker en kvadratrod af et tal
En lommeregner er ikke altid lige ved hånden, og skoleopgaver er næsten altid valgt, så roden kan udtrækkes. Handlingsforløbet er som følger.
- Tjek i tabellen over kvadrattal. Hvis tallet står i tabellen, er svaret klar: \(\sqrt{289} = 17\).
- Adskil runde faktorer. For tal med nuller er det praktisk at adskille \(100\), \(10\,000\) osv.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Faktoriser til primtal. Dette er en universel metode: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), vi dividerer eksponenterne med to og får \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Omdan decimalbrøker til almindelige brøker. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Samtidig forhindrer det tab af cifre.
- Hvis der ikke er et perfekt kvadrat - er roden irrationel. Så lader man den stå i svaret med symbol (man skriver: \(\sqrt{30}\)), eller man estimerer den mellem tilstødende kvadrater.
Kontrollen tager et sekund: man kvadrerer det opnåede tal og ser, om tallet under rodtegnet er vendt tilbage. \(24^2 = 576\) - korrekt.
Bring en faktor ud af rodtegnet
En rod efterlades sjældent "rå" - alt, der kan udtrækkes, bringes ud af den. Egenskaben \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) for \(b \ge 0\) virker: vi leder efter den største kvadratiske divisor af tallet under rodtegnet.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Den omvendte handling er at bringe en faktor ind under roden: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) for \(a \ge 0\). For eksempel er \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Med en negativ faktor skal man være forsigtig: minusset kommer ikke ind under roden og forbliver udenfor. Den korrekte notation er \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), og ikke \(\sqrt{12}\).
Hvorfor er det nødvendigt: efter at have bragt en faktor ud, bliver rødder med samme udtryk under rodtegnet til ens led, og de kan lægges sammen. Og at bringe en faktor ind under roden er den hurtigste måde at sammenligne to udtryk med rødder på.
Hvad er kvadratroden, der ikke kan udtrækkes
Hvis tallet under rodtegnet ikke er et perfekt kvadrat, er roden et irrationelt tal: dets decimaludvikling er uendelig og ikke-periodisk. For eksempel er \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), og den præcise værdi skrives kun med symbolet \(\sqrt{2}\). Et afrundet svar skrives kun, når det anmodes om i opgaven.
Man kan estimere en sådan rod uden lommeregner: find to tilstødende perfekte kvadrater, som tallet under rodtegnet ligger imellem. Reglen for sammenligning virker: for \(a \ge 0\) og \(b \ge 0\) følger det af \(a < b\), at \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - et større tal under rodtegnet svarer til en større rod.
Eksempler på beregninger med kvadratrødder
Eksempel 1. Værdi af et udtryk med rødder
Beregn \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Trin 1. \(\sqrt{121} = 11\), fordi \(11^2 = 121\).
Trin 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), fordi \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Trin 3. Roden af brøken udtrækkes fra tælleren og nævneren: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Trin 4. Vi lægger sammen: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Svar: 11.
Eksempel 2. Rod af et produkt
Beregn \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Trin 1. Hver for sig kan disse rødder ikke udtrækkes, så vi samler dem til én: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Trin 2. Vi beregner produktet under rodtegnet: \(8 \cdot 18 = 144\).
Trin 3. \(\sqrt{144} = 12\).
En anden vej - at bringe faktorer ud på forhånd: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) og \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), så \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Svarene stemte overens.
Svar: 12.
Eksempel 3. Udtrækning af rod ved faktorisering
Beregn \(\sqrt{576}\) og \(\sqrt{6400}\).
Trin 1. Tallet 576 er ikke i tabellen over kvadrattal, så vi faktoriserer det til primtal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Trin 2. Vi dividerer eksponenterne med to: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Trin 3. Kontrol. \(24^2 = 576\) - korrekt.
Trin 4. For tallet 6400 er det mere praktisk at adskille en rund faktor: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontrol: \(80^2 = 6400\).
Svar: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Eksempel 4. Bringning af faktor ud og reduktion af ens led
Forenkle \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Trin 1. Vi bringer faktorer ud af hver rod: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), så \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Trin 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Trin 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Trin 4. Vi kan kun lægge rødder med samme udtryk under rodtegnet sammen: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), og leddet med \(\sqrt{3}\) forbliver separat.
Svar: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Eksempel 5. Rod af et kvadrat med en variabel
Forenkle \(\sqrt{(x-4)^2}\) for \(x < 4\).
Trin 1. Ifølge egenskaben rod af et kvadrat \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - vi skriver straks absolutværdien, ikke \(x - 4\).
Trin 2. Vi fjerner absolutværdien ifølge betingelsen. Hvis \(x < 4\), er differensen \(x - 4\) negativ, og absolutværdien af et negativt tal er det modsatte tal: \(|x-4| = 4 - x\).
Trin 3. Kontrol. Lad os tage \(x = 1\): venstre side \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), højre side \(4 - 1 = 3\) - det passer.
Svar: \(4 - x\). Til sammenligning, for \(x \ge 4\) ville svaret være \(x - 4\).
Eksempel 6. Sammenligning af udtryk med rødder
Sammenlign \(3\sqrt{5}\) og \(5\sqrt{2}\).
Trin 1. Begge tal er positive, så vi bringer faktoren ind under roden: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Trin 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Trin 3. Vi sammenligner tallene under rodtegnet: \(45 < 50\), og et større tal under rodtegnet svarer til en større rod.
Svar: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Almindelige fejl ved arbejde med kvadratrod
-
Man skriver $\sqrt{a^2} = a$, idet man glemmer absolutværdien.
Den korrekte lighed er \(\sqrt{a^2} = |a|\). For et negativt tal er dette afgørende: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), og ikke \(-13\). En aritmetisk rod kan ikke være negativ, så tegnet under rodtegnet "glattes ud".
-
Man mener, at roden af en sum er lig med summen af rødderne: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Der findes ingen sådan egenskab. Først udfører vi operationen under rodtegnet: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), og ikke 7. Egenskaber findes kun for produkt og kvotient: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) og \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Man svarer, at $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - den aritmetiske rod er altid én og den er ikke-negativ. To værdier opstår i en anden opgave: ligningen \(x^2 = 49\) har rødderne \(x = 7\) og \(x = -7\). Man må ikke forveksle notationen for en rod med løsningen af en ligning.
-
Man skriver $\sqrt{-16} = -4$, idet man ræsonnerer "minus gange minus".
Et negativt tal kan ikke stå under rodtegnet: \((-4)^2 = 16\), og ikke \(-16\), så \(\sqrt{-16}\) giver ingen mening i de reelle tal. Men udtrykket \(-\sqrt{16} = -4\) er helt korrekt - minusset står foran roden, ikke under den.
-
Man bringer en negativ faktor ind under roden: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Reglen \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) gælder kun for \(a \ge 0\). Minusset forbliver udenfor: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Kontrol med tegn: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), og \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - tallene er modsatte.
-
Man mister et ciffer i decimalbrøken: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Tjek med omvendt kvadrering: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), det passer ikke. Korrekt er \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), da \(0{,}2^2 = 0{,}04\). En pålidelig metode er at gå over til en almindelig brøk: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Man er sikker på, at roden altid er mindre end selve tallet.
Dette gælder kun for tal større end et. På intervallet fra 0 til 1 er det omvendt: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), og \(0{,}5\) er større end \(0{,}25\). For 0 og 1 er roden lig med tallet selv.
Spørgsmål og svar
Hvad er en aritmetisk kvadratrod med simple ord?
Det er et ikke-negativt tal, som ved kvadrering giver tallet under rodtegnet. Man skriver \(\sqrt{a}\), hvor udtrykket under rodtegnet skal være ikke-negativt: \(a \ge 0\). For eksempel er \(\sqrt{64} = 8\), fordi \(8 \ge 0\) og \(8^2 = 64\).
Hvad er forskellen på en kvadratrod og en aritmetisk kvadratrod?
Et positivt tal har to kvadratrødder - modsatte i fortegn. Den aritmetiske kaldes kun den ikke-negative af dem, og det er den, som tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\) betegner. Derfor er \(\sqrt{25} = 5\), selvom ligningen \(x^2 = 25\) har to rødder: 5 og \(-5\).
Hvordan udtrækker man en kvadratrod af et tal uden lommeregner?
Tjek først tallet i tabellen over kvadrattal. Hvis det ikke er der - faktoriser det og adskil perfekte kvadrater: \(784 = 16 \cdot 49\), derfor er \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Tjek altid svaret med den omvendte handling: \(28^2 = 784\).
Kan man udtrække en kvadratrod af et negativt tal?
I de reelle tal - nej: kvadratet af ethvert tal er ikke-negativt, derfor giver udtrykket \(\sqrt{-9}\) ingen mening. Det er netop ud fra denne betingelse, man finder definitionsmængden: for eksempel eksisterer \(\sqrt{x-7}\) kun for \(x \ge 7\).
Hvad er kvadratroden af et tals kvadrat?
Absolutværdien af dette tal: \(\sqrt{a^2} = |a|\). For et ikke-negativt \(a\) får man tallet selv, for et negativt - det modsatte tal: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Hvordan bringer man en faktor ud af rodtegnet?
Find den største kvadratiske divisor af tallet under rodtegnet og anvend egenskaben \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). For eksempel er \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Den omvendte handling er at bringe en faktor ind under roden: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Hvad er kvadratroden af 2?
Tallet \(\sqrt{2}\) er irrationelt: dets decimaludvikling er uendelig og ikke-periodisk, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Der findes ingen præcis værdi som en brøk, derfor lader man det stå som symbolet \(\sqrt{2}\) i svarene, og man afrunder kun, hvis opgaven kræver det.
Hvordan sammenligner man to tal med rødder uden at beregne dem?
Bring faktorerne ind under roden og sammenlign tallene under rodtegnet: et større tal under rodtegnet svarer til en større rod. For eksempel \(\sqrt{17}\) og 4: da \(4 = \sqrt{16}\) og \(17 > 16\), er \(\sqrt{17} > 4\).
I hvilken klasse lærer man om kvadratrødder?
I 8. klasse i algebra: først definitionen af den aritmetiske kvadratrod og dens egenskaber, derefter transformationer af udtryk med rødder og løsning af ligninger af typen \(x^2 = a\). Derefter optræder rødder i diskriminantformlen og i opgaver til OGE og ЕГЭ.
