Kvadratsætninger er færdige algebraiske identiteter, der gør det muligt at hæve parenteser og faktorisere udtryk uden langvarig multiplikation. På denne side finder du en tabel over alle syv formler: kvadratet på en sum og differens, konjugatreglen, kubik af en sum og differens, samt sum og differens af kubik. Vi gennemgår hver formel med udledning og eksempler, og til sidst er der en interaktiv træner, hvor du kan øve dig i at bruge dem med det samme.
Hvad er kvadratsætninger
Kvadratsætninger er identiteter, som man får, hvis man én gang ganger polynomier korrekt sammen og husker resultatet. Derefter behøver man ikke at gange parenteser ud hver gang: det er nok at genkende "skabelonen" og indsætte sine egne tal eller bogstaver.
I 7. klasses pensum i algebra bruges kvadratsætninger i to retninger:
- fra venstre mod højre — for hurtigt at hæve parenteser og opløfte et udtryk i anden eller tredje potens;
- fra højre mod venstre — for at faktorisere et polynomium (dette er nødvendigt for at forkorte brøker og løse ligninger).
Man lærer i alt syv formler. Nedenfor er en husketabel, og derefter en gennemgang af hver formel for sig.
Tabel over kvadratsætninger
Det er praktisk at have alle syv kvadratsætninger lige ved hånden i én tabel. Bogstaverne \(a\) og \(b\) her er vilkårlige udtryk: et tal, en variabel eller et helt led som \(2x\).
| Formel | Udtryk |
|---|---|
| Kvadratet på en sum | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kvadratet på en differens | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Konjugatreglen | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kubik af en sum | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kubik af en differens | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Sum af kubik | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Differens af kubik | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kvadratet på en sum og kvadratet på en differens
Kvadratet på en sum fås ved at gange \((a+b)\) med sig selv:
Med ord: kvadratet på en sum er lig med kvadratet på det første led plus det dobbelte produkt af det første og det andet led plus kvadratet på det andet led. På samme måde udledes kvadratet på en differens — tegnet ved det midterste led bliver minus:
Det vigtigste er ikke at glemme det midterste led \(2ab\): det er netop på grund af det, at \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Kvadratet på en sum og kvadratet på en differens adskiller sig kun ved tegnet foran \(2ab\), mens de yderste led \(a^2\) og \(b^2\) altid har et plus-tegn.
Eksempel. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kvadratet på en sum har en visuel geometrisk betydning: det er arealet af et stort kvadrat med sidelængden \((a+b)\).
Konjugatreglen
Hvis man ganger summen og differensen af de samme udtryk, går de midterste led ud med hinanden:
Dette giver formlen for konjugatreglen: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Dette er den mest nyttige kvadratsætning til faktorisering: så snart du ser en differens af to kvadrater, skal du straks faktorisere den til et produkt.
Eksempel (hæv parenteser). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Eksempel (faktorisering). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Vigtigt: en sum af kvadrater \(a^2 + b^2\) kan ikke faktoriseres med denne formel — det er kun differensen, der virker.
Kubik af en sum, kubik af en differens, sum og differens af kubik
Kubik af en sum og kubik af en differens indeholder allerede fire led:
I kubik af en differens skifter tegnene: \(+\,-\,+\,-\). Og igen en almindelig fælde: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — man kan ikke bare "fordele" potensen, de midterste led \(3a^2b\) og \(3ab^2\) må ikke glemmes.
Eksempel. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Separat har vi sum og differens af kubik — de faktoriserer derimod udtrykket:
Den anden faktor kaldes et ufuldstændigt kvadrat af en sum eller differens. Tegnet i det midterste led er altid modsat tegnet i den første parentes: ved sum af kubik er det \(-ab\), ved differens af kubik er det \(+ab\).
Eksempel. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Eksempler på brug af kvadratsætninger
Eksempel 1. Hæv parentesen: kvadratet på en sum
Opgave. Opløft \((2x+5)^2\) i anden potens.
Trin 1. Vi genkender formlen for kvadratet på en sum: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), hvor \(a = 2x\), \(b = 5\).
Trin 2. Vi beregner hvert led:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Svar. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Eksempel 2. Brug konjugatreglen
Opgave. Find produktet \((3x-4)(3x+4)\).
Trin 1. Vi har produktet af en differens og en sum af de samme udtryk — dette er konjugatreglen \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), hvor \(a = 3x\), \(b = 4\).
Trin 2. Vi opløfter hvert udtryk i anden potens: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Svar. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Eksempel 3. Faktorisering
Opgave. Faktorisér \(x^2 - 36\) og \(x^3 + 27\).
Konjugatreglen. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Sum af kubik. Vi bemærker, at \(27 = 3^3\), hvilket betyder \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Vi bruger formlen \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) hvor \(a = x\), \(b = 3\):
Læg mærke til tegnet \(-3x\) i det ufuldstændige kvadrat — ved sum af kubik har det midterste led et minus-tegn.
Eksempel 4. Kubik af en sum
Opgave. Hæv parentesen \((x+2)^3\).
Trin 1. Formlen for kubik af en sum: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), hvor \(a = x\), \(b = 2\).
Trin 2. Vi beregner leddene i rækkefølge:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Svar. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Almindelige fejl ved brug af kvadratsætninger
-
Man glemmer det dobbelte produkt: man skriver $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
I kvadratet på en sum og en differens er der altid et midterste led \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Det er let at tjekke — gang \((a+b)(a+b)\) ud i kolonner, så dukker det midterste led op af sig selv.
-
Man bytter rundt på tegnene i kvadratet på en differens og i konjugatreglen.
I kvadratet på en differens står minus kun ved det midterste led: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (de yderste har plus). Og i konjugatreglen står minus mellem selve kvadraterne: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Det er forskellige formler.
-
Man "fordeler" potensen ved en kubik: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Det må man ikke. Kubik af en sum indeholder fire led: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formlen \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) er noget helt andet (sum af kubik), den handler om faktorisering.
-
I det ufuldstændige kvadrat ved sum/differens af kubik sætter man det dobbelte produkt $2ab$.
Et ufuldstændigt kvadrat er \(a^2 \pm ab + b^2\), uden et total foran \(ab\). Tegnet er modsat tegnet i den første parentes: sum af kubik \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), differens af kubik \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Man forsøger at faktorisere en sum af kvadrater $a^2 + b^2$.
Det er kun en differens af kvadrater \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), der kan faktoriseres. En sum af kvadrater \(a^2 + b^2\) kan ikke faktoriseres i skolepensum.
Spørgsmål og svar
Hvor mange kvadratsætninger findes der i alt?
Syv: kvadratet på en sum, kvadratet på en differens, konjugatreglen, kubik af en sum, kubik af en differens, sum af kubik og differens af kubik. De er alle samlet i tabellen ovenfor.
Hvad er kvadratet på en sum lig med?
Kvadratet på det første led plus det dobbelte produkt af det første og det andet led plus kvadratet på det andet led: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ved kvadratet på en differens har det midterste led et minus-tegn: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Hvordan faktoriserer man en differens af kvadrater?
Ved hjælp af formlen \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). For eksempel \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Det er nok at se, at begge led er fuldstændige kvadrater, og at der står et minus imellem dem.
Hvorfor er $(a+b)^2$ ikke lig med $a^2 + b^2$?
Fordi når man ganger \((a+b)(a+b)\) ud, opstår der to ekstra identiske led \(ab\), som giver det midterste led \(2ab\). Det må man ikke glemme: det korrekte er \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Hvad er forskellen på kubik af en sum og sum af kubik?
Kubik af en sum \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) er en måde at hæve parenteser på. Sum af kubik \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) er derimod faktorisering af et udtryk. Det er forskellige formler, så pas på ikke at forveksle dem.
I hvilken klasse lærer man kvadratsætninger?
Typisk i 7. klasse i algebra: først kvadratet på en sum og differens, konjugatreglen, derefter formlerne for kubik. De bruges aktivt senere til at forenkle udtryk, forkorte brøker og løse ligninger.
