Rationel ulighed er en ulighed af formen \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), hvor \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomier, og tegnet \(>\) kan erstattes af \(<\), \(\ge\) eller \(\le\). Disse uligheder løses ved hjælp af intervalmetoden: alt flyttes til venstre side, faktorisering udføres, rødderne af tælleren og nævneren markeres på tallinjen, og fortegnene placeres. Nedenfor følger definitionen, den fulde algoritme, reglen om udeladte punkter, rodens multiplicitet, løste eksempler og en træner med kontrol.
Hvad er en rationel ulighed?
Rationel ulighed er en ulighed, hvor begge sider er udtrykt ved rationelle udtryk, dvs. polynomier og brøker af polynomier. Efter at have flyttet alt til den ene side, reduceres den altid til formen
hvor \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomier, og \(\vee\) står for et af tegnene \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Der skal være nul på højre side - dette er en betingelse, uden hvilken intervalmetoden ikke virker.
Rationelle uligheder er af to typer. Hvis variablen kun forekommer i tælleren, kaldes uligheden helt rationel: der er intet at dividere med, og enhver værdi af \(x\) er gyldig. Hvis variablen er i nævneren, er uligheden brøkrationel (også kaldet brøkulighed eller ulighed med brøk) - og så opstår der straks en begrænsning \(Q(x) \neq 0\).
Hvorfor må man ikke gange begge sider med nævneren?
Den største fristelse ved at løse en ulighed med en brøk er at "slippe af med nævneren" ved at gange med den på begge sider. Med ligninger kan man gøre det, med uligheder - nej. Årsagen er simpel: ved multiplikation med et negativt tal vendes ulighedstegnet, og fortegnet for udtrykket \(Q(x)\) er ukendt på forhånd - det afhænger af \(x\).
Lad os se på uligheden \(\frac{5}{x-3} < 1\). Gang begge sider med \(x - 3\), som om det var et positivt tal: det giver \(5 < x - 3\), dvs. \(x > 8\). Lad os kontrollere svaret ved at indsætte \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - uligheden er sand, så nul er også en løsning, men den indgår ikke i svaret \(x > 8\). Svaret er gået tabt.
Den korrekte vej er at flytte alt til venstre og reducere til en enkelt brøk:
I det sidste trin gangde vi begge sider med \(-1\) og vendte tegnet - det er lovligt, fordi \(-1\) altid er negativt. Derefter virker intervalmetoden, og svaret bliver \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) - det indeholder også det tabte nul.
Det er nemmest at huske sådan: man må ikke gange begge sider med et udtryk med en variabel, man må altid flytte led. Flytning ændrer ikke ulighedstegnet.
Intervalmetoden: algoritme til løsning trin for trin
Intervalmetoden bygger på én egenskab: mellem to på hinanden følgende rødder af et rationelt udtryk er dets fortegn konstant. Det betyder, at det er tilstrækkeligt at finde alle punkter, hvor tælleren eller nævneren bliver nul, opdele tallinjen med dem og bestemme fortegnet på hvert interval - ved hjælp af et enkelt prøvepunkt eller ved rodens multiplicitet.
Udeladte og udfyldte punkter: D.O.F. og ulighedens fortegn
En fejl i én parentes gør en korrekt løsning til et forkert svar, så reglen om punkter bør læres separat. Kun to overvejelser gælder.
Første - definitionsmængden. Nullet af nævneren udelades altid, uanset ulighedstegnet. I dette punkt eksisterer brøken simpelthen ikke: division med nul er ikke tilladt, så tallet kan ikke være en løsning, selvom tegnet ikke er strengt.
Anden - strengt eller ikke-strengt tegn. Nullet af tælleren gør brøken lig med nul. Ved et ikke-strengt tegn (\(\le\) eller \(\ge\)) er lighed med nul acceptabel, så punktet udfyldes og indgår i svaret med en firkantet parentes. Ved et strengt tegn (\(<\) eller \(>\) ) er nul ikke acceptabelt, og punktet udelades.
For eksempel, i uligheden \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) udfyldes punktet \(x = 6\) (nul af tælleren, ikke-strengt tegn), mens punktet \(x = -1\) udelades (nul af nævneren).
Svar: \(x \in (-1; 6]\).
| Hvilket punkt | Hvordan markeres det |
|---|---|
| Nul af nævneren, Q(x) = 0 | udeladt altid, uanset fortegn - punktet er ikke i D.O.F. |
| Nul af tælleren, strengt tegn < eller > | udeladt brøken er nul, men et strengt andet fortegn er påkrævet |
| Nul af tælleren, ikke-strengt tegn ≤ eller ≥ | udfyldt lighed med nul er acceptabel, punktet indgår i svaret |
Rodens multiplicitet: hvor fortegnet ændres, og hvor det ikke gør
Fortegnene på intervallerne behøver ikke blot at skifte - det er den mest almindelige misforståelse i emnet. Skift fungerer kun, når alle parenteser er i første potens. Reglen lyder mere præcist gennem rodens multiplicitet - potensen af den tilsvarende parentes.
Ved overgang gennem en rod af ulige multiplicitet (potens 1, 3, 5) ændres udtrykkets fortegn. Ved overgang gennem en rod af lige multiplicitet (potens 2, 4) ændres fortegnet ikke: parentesen i lige potens er ikke-negativ og ødelægger ikke udtrykkets fortegn. Multipliciteten beregnes ens for både tæller og nævner.
Lad os tage \((x-9)^2(x+3) > 0\). Rødder: \(x = 9\) med multiplicitet 2 og \(x = -3\) med multiplicitet 1. Til højre for ni ændres udtrykket til positivt. Ved overgang gennem 9 - multipliciteten er lige, fortegnet bevares, på intervallet \((-3; 9)\) også plus. Ved overgang gennem -3 - multipliciteten er ulige, fortegnet ændres til minus. Svaret for den strenge ulighed: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punktet 9 er udeladt, fordi udtrykket er nul der. Men for den ikke-strenge \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) er svaret anderledes: \(x \in [-3; +\infty)\) - ni udfyldes og "limer" to intervaller sammen.
| Rodens multiplicitet | Fortegn ved overgang |
|---|---|
| Ulige: (x − a), (x − a)3 | ændres |
| Lige: (x − a)2, (x − a)4 | ændres ikke |
Tallinje på et eksempel: placering af fortegn
Lad os samle det hele på uligheden \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nul af tælleren: \(x = -7\). Nul af nævneren: \(x = 2\) og \(x = 5\), som også definerer D.O.F. Alle tre parenteser er i første potens, så fortegnene skifter. Prøvepunktet \(x = 10\) i det højreste interval giver \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) - vi starter med plus og går til venstre, idet vi ændrer fortegn ved hvert punkt.
Eksempler på løsning af rationelle uligheder
Eksempel 1. Simpel brøkulighed
Løs \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Trin 1. Der er allerede nul på højre side, brøken er allerede én - der er intet at flytte eller reducere.
Trin 2. D.O.F. \(x + 5 \neq 0\), dvs. \(x \neq -5\).
Trin 3. Nul. Tælleren er nul ved \(x = 3\), nævneren - ved \(x = -5\).
Trin 4. Punkter på aksen. \(x = 3\) udfyldes (nul af tælleren, ikke-strengt tegn), \(x = -5\) udelades (nul af nævneren).
Trin 5. Fortegn. Prøvepunkt \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - plus til højre. Begge parenteser er i første potens, så fortegnene skifter: på \((-5; 3)\) minus, på \((-\infty; -5)\) plus. Lad os kontrollere: ved \(x = -6\) får vi \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) - det stemmer.
Trin 6. Svar. Vi ønsker fortegnet "plus eller nul": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Eksempel 2. Ikke nul på højre side - flyt
Løs \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Trin 1. Flyt 1 til venstre. Man må ikke gange med \(x - 4\), fortegnet for dette udtryk er ukendt:
Trin 2. Reducer til én brøk.
Trin 3. D.O.F. \(x \neq 4\).
Trin 4. Punkter. \(x = -5\) - nul af tælleren, ikke-strengt tegn, udfyldes. \(x = 4\) - nul af nævneren, udelades.
Trin 5. Fortegn. Ved \(x = 5\) er brøken \(\frac{10}{1} > 0\). Så på \((4; +\infty)\) er der plus, på \((-5; 4)\) er der minus, på \((-\infty; -5)\) er der plus.
Trin 6. Svar. \(x \in [-5; 4)\). Kontrol af grænsepunkter: ved \(x = -5\) er brøken nul - passer til \(\le\); ved \(x = 4\) er der ingen brøk - passer ikke.
Eksempel 3. Rod med lige multiplicitet og isoleret punkt
Løs \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Trin 1. D.O.F. \(x \neq 9\).
Trin 2. Nul og multipliciteter. \(x = 2\) - multiplicitet 2 (lige), \(x = -6\) - multiplicitet 1, \(x = 9\) - multiplicitet 1 i nævneren.
Trin 3. Punkter. \(x = 2\) og \(x = -6\) udfyldes (nul af tælleren ved ikke-strengt tegn), \(x = 9\) udelades.
Trin 4. Fortegn. Prøvepunkt \(x = 10\): tælleren er positiv, nævneren er 1 - plus. Gå til venstre. Gennem 9 (ulige multiplicitet) ændres fortegnet: på \((2; 9)\) minus. Gennem 2 (multiplicitet lige) ændres fortegnet ikke: på \((-6; 2)\) også minus. Gennem -6 (ulige multiplicitet) ændres fortegnet: på \((-\infty; -6)\) plus.
Trin 5. Svar. Vi tager intervallerne med "plus" plus alle punkter, hvor udtrykket er nul. Punktet \(x = 2\) ligger inden for et minus-interval, men selve udtrykket er nul der, så det indgår i svaret separat:
Et sådant "ensomt" punkt i svaret er et sikkert tegn på en rod med lige multiplicitet ved et ikke-strengt tegn.
Eksempel 4. Forkortelse af brøk: D.O.F. fælde
Løs \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Trin 1. Faktoriser. Tælleren er et fuldstændigt kvadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). For nævneren beregner vi diskriminanten: \(D = 81 + 40 = 121\), rødder \(x_1 = \frac{1}{5}\) og \(x_2 = -2\), derfor \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Trin 2. D.O.F. - før enhver forkortelse. \(5x - 1 \neq 0\) og \(x + 2 \neq 0\), dvs. \(x \neq \frac{1}{5}\) og \(x \neq -2\).
Trin 3. Forkort. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), men kun for \(x \neq \frac{1}{5}\) - forkortelsen genindsætter ikke det udeladte punkt.
Trin 4. Løs \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nul: \(\frac{1}{5}\) og \(-2\). Ved \(x = 1\) er brøken \(\frac{4}{3} > 0\). Så på \((\frac{1}{5}; +\infty)\) er der plus, på \((-2; \frac{1}{5})\) er der minus, på \((-\infty; -2)\) er der plus.
Trin 5. Genindsæt D.O.F. Intervallet \((-2; \frac{1}{5}]\) ville passe med fortegnet, men punktet \(\frac{1}{5}\) er udeladt: i den oprindelige ulighed bliver nævneren \(5x^2+9x-2\) nul ved \(x = \frac{1}{5}\), brøken eksisterer ikke der.
Svar: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - begge parenteser er runde.
Eksempel 5. Kvadratisk trinomium i tælleren
Løs \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Trin 1. Faktoriser tælleren. Ifølge Vieta's sætning er summen af rødderne 7, produktet 10, dvs. \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Uligheden antager formen \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Trin 2. D.O.F. \(x \neq -4\).
Trin 3. Punkter. Alle tre punkter er udeladte: \(-4\) - nul af nævneren, \(2\) og \(5\) - nul af tælleren ved strengt tegn.
Trin 4. Fortegn. Prøvepunkt \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Alle parenteser er i første potens, så fortegnene skifter: på \((5; +\infty)\) plus, på \((2; 5)\) minus, på \((-4; 2)\) plus, på \((-\infty; -4)\) minus.
Trin 5. Svar. Vi ønsker et strengt minus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrol ved indsættelse: ved \(x = -5\) får vi \(\frac{70}{-1} < 0\), ved \(x = 3\) får vi \(\frac{-2}{7} < 0\) - begge intervaller passer.
Hyppige fejl ved løsning af rationelle uligheder
-
Man ganger begge sider med nævneren: fra $\frac{3}{x-8} > 1$ laver man $3 > x - 8$ og skriver $x < 11$.
Fortegnet for udtrykket \(x - 8\) er ukendt på forhånd, og ved multiplikation med et negativt tal vendes uligheden. Kontrol: \(x = 0\) giver \(\frac{3}{-8} < 1\) - nul er ikke en løsning, selvom det faldt inden for svaret \(x < 11\). Korrekt: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), dvs. \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), hvorfra \(x \in (8; 11)\).
-
Man udfylder nullet af nævneren, fordi tegnet er ikke-strengt: for $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ skriver man svaret med en firkantet parentes ved syvtallet.
Nullet af nævneren udelades altid, uanset fortegn: i dette punkt eksisterer brøken simpelthen ikke. Korrekt svar: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - ved et-tallet er parentesen firkantet, ved syvtallet rund.
-
Man forkorter brøken og mister D.O.F.: fra $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ får man $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ og inkluderer punktet $x = -3$ i svaret.
D.O.F. angives før forkortelse, baseret på den oprindelige nævner: \(x \neq -3\) og \(x \neq 5\). Den forkortede brøk \(\frac{x+3}{x-5}\) er ikke-positiv på \([-3; 5)\) - ved \(x = 0\) er den \(-0{,}6\), hvilket er påkrævet for tegnet \(\le\). Men punktet \(-3\) er udeladt ifølge D.O.F., så svaret er \((-3; 5)\), ikke \([-3; 5)\).
-
Man antager, at fortegnene på intervallerne altid skifter, og for $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ sætter man minus til højre for et-tallet.
Skift er kun korrekt for parenteser i første potens. Roden \(x = 1\) har multiplicitet 2, så fortegnet ændres ikke ved overgang. Udtrykket er positivt på hele \((-4; +\infty)\), undtagen selve et-tallet, hvor det er nul. Svar: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Man ændrer ulighedstegnet ved flytning af et led: fra $\frac{x}{x-2} \le 3$ laver man $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Flytning af et led fra den ene side til den anden ændrer ikke ulighedstegnet - kun fortegnet for selve leddet ændres. Tegnet vendes kun ved multiplikation eller division af begge sider med et negativt tal. Korrekt: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), derefter \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), dvs. \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Man markerer kun nul af tælleren på aksen, og nævneren kontrolleres "senere": for $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ sætter man ét punkt -11.
På aksen markeres alle nulpunkter straks - både tællerens og nævnerens, ellers bliver intervallerne forkerte. Her er \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), så der er tre punkter: \(-11\), \(-4\) og \(4\), ikke ét. Alle er udeladte (strengt tegn), svar: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Spørgsmål og svar
Hvad er en rationel ulighed?
Det er en ulighed, hvor begge sider er rationelle udtryk (polynomier og brøker af polynomier). Efter at have flyttet alt til venstre side, reduceres den til formen \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), hvor \(P(x)\) og \(Q(x)\) er polynomier, og \(>\) kan erstattes af \(<\), \(\le\) eller \(\ge\).
Hvordan løser man rationelle uligheder?
Ved hjælp af intervalmetoden i seks trin: flyt alt til venstre, så der er nul på højre side; reducer til én brøk og faktoriser tæller og nævner; angiv D.O.F. (\(Q(x) \neq 0\)); marker nul af tæller og nævner på tallinjen; placer fortegn på intervallerne ved hjælp af et prøvepunkt og rodens multiplicitet; angiv i svaret intervallerne med det ønskede fortegn.
Hvad er forskellen på en brøkrationel ulighed og en helt rationel ulighed?
I en helt rationel ulighed er variablen kun i tælleren, f.eks. \((x-1)(x+4) > 0\), og D.O.F. er alle reelle tal. I en brøkrationel ulighed er variablen i nævneren, f.eks. \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), og der opstår en begrænsning \(x \neq -4\). Algoritmen er den samme - kun de udeladte punkter ændres.
Hvordan løser man uligheder med brøker?
På samme måde som enhver rationel ulighed: først flyt alt til venstre side og reducer til én brøk, og undlad at slippe af med nævneren. For eksempel bliver \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) til \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), dvs. \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Tælleren er konstant og negativ, så brøken er ikke-negativ kun når nævneren er negativ: \(x + 2 < 0\). Svar: \(x \in (-\infty; -2)\).
Hvorfor må man ikke gange begge sider af en ulighed med nævneren?
Fordi nævnerens fortegn afhænger af \(x\): ved multiplikation med et positivt udtryk bevares ulighedstegnet, og ved multiplikation med et negativt vendes det. Man ved ikke på forhånd, hvilken situation der er tale om, så en del af løsningerne går tabt, og en del tilføjes forkert. Man kan altid flytte led - flytning ændrer ikke ulighedstegnet.
Hvordan finder man D.O.F. i en ulighed?
For en rationel ulighed er D.O.F. alle værdier af \(x\), hvor nævneren ikke bliver nul. Sæt nævneren lig med nul, løs ligningen og udeluk de fundne tal. Angiv D.O.F. baseret på den oprindelige nævner, før forkortelse af brøken - ellers går de udeladte punkter tabt.
Hvilke punkter er udeladte, og hvilke er udfyldte?
Nul af nævneren udelades altid, uanset ulighedstegn. Nul af tælleren udfyldes ved ikke-strengt tegn (\(\le\) eller \(\ge\)) og udelades ved strengt tegn (\(<\) eller \(>\)). I svaret svarer et udeladt punkt til en rund parentes, et udfyldt punkt til en firkantet parentes.
Hvad er rodens multiplicitet, og hvorfor er den nødvendig i intervalmetoden?
Multiplicitet er den potens, hvormed parentesen indgår i faktoriseringen. Ved overgang gennem en rod af ulige multiplicitet ændres udtrykkets fortegn, ved overgang gennem en rod af lige multiplicitet - bevares det. Det er derfor, fortegnene ikke altid blot skifter: for \((x-9)^2(x+3)\) forbliver fortegnet uændret ved punktet 9.
I hvilken klasse undervises der i rationelle uligheder?
I 9. klasse i matematikundervisningen, efter kvadratiske uligheder og faktorisering af polynomier. Intervalmetoden bruges derefter til eksponentielle, logaritmiske og irrationelle uligheder, samt i opgaver til OGE og den faglige niveau i ЕГЭ.
