المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل \(ax^2 + bx + c = 0\) حيث \(a \neq 0\). عدد جذورها يحدده المميز \(D = b^2 - 4ac\)، والجذور نفسها تُحسب بالصيغة \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). هذه الصفحة تجمع كل ما يتعلق بالموضوع: الصيغة القياسية والمعاملات، ثلاثة أنواع من المعادلات غير الكاملة، المميز وثلاث حالات، صيغة الجذور وصيغتها "الزوجية"، المعادلة المختزلة ونظرية فييتا، التحليل إلى عوامل والمعادلات ثنائية التربيع - مع أمثلة خطوة بخطوة، تحليل الأخطاء الشائعة ومدرب تفاعلي.
ما هي المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل
حيث \(x\) هو المجهول، و \(a\) و \(b\) و \(c\) هي أعداد (معاملات)، بشرط أن يكون \(a \neq 0\). هذا الشكل يسمى الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية: الحدود مرتبة تنازليًا حسب الأس في الطرف الأيسر، والطرف الأيمن يساوي صفرًا.
الشرط \(a \neq 0\) ليس شكليًا. الحد \(ax^2\) هو الذي يجعل المعادلة تربيعية: إذا كان \(a = 0\)، يتبقى \(bx + c = 0\)، وهي معادلة خطية عادية بجذر واحد. لذلك، في المسائل التي تحتوي على معامل متغير، يتم التحقق أولاً مما إذا كان المعامل الرئيسي يساوي صفرًا.
يمكن تحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية في معظم الحالات: فك الأقواس، نقل جميع الحدود إلى الطرف الأيسر وتجميع الحدود المتشابهة. على سبيل المثال، \(5x^2 = 3x - 2\) بعد النقل تصبح \(5x^2 - 3x + 2 = 0\)، ومنها \(a = 5\)، \(b = -3\)، \(c = 2\). مصطلح "معادلة تربيعية" يعني نفس الشيء تمامًا - إنه مجرد اسم آخر.
المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة
إذا كانت المعاملات الثلاثة غير صفرية، تسمى المعادلة كاملة. إذا كان \(b\) أو \(c\) (أو كلاهما) يساوي صفرًا - فهي غير كاملة. هناك ثلاثة أنواع بالضبط من المعادلات غير الكاملة، ولا يتطلب أي منها المميز: كل منها يُحل في سطر أو سطرين، وهذا أسرع طريقة لتوفير الوقت في الاختبار.
الفكرة الأساسية للمعادلة \(ax^2 + bx = 0\) هي استخراج العامل المشترك. حاصل الضرب \(x(ax + b)\) يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العاملين يساوي صفرًا، ومن هنا نحصل على جذرين مباشرة. بالنسبة للمعادلة \(ax^2 + c = 0\)، الفكرة مختلفة: نعزل \(x^2\) وننظر إلى إشارة العدد الناتج - مربع العدد الحقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا.
| شكل المعادلة | كيفية الحل |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | انقل c إلى الطرف الأيمن واقسم على a: x2 = −c/a. خذ الجذر التربيعي، مع الانتباه للإشارة الثانية.x = 5 و x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | أخرج x كعامل مشترك: x(ax + b) = 0. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العاملين صفرًا.x = 0 و x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | اقسم على a وخذ الجذر التربيعي للصفر. الجذر دائمًا واحد فقط.x = 0 |
المميز: كيفية حسابه وعدد الجذور
المميز هو عدد يُحسب من معاملات المعادلة الكاملة:
الكلمة نفسها تعني "الفارق": المميز لا يحل شيئًا، بل يفرق بين ثلاث حالات - جذران، جذر واحد، أو لا توجد جذور على الإطلاق. لذلك، يتم حل سؤال "كم عدد جذور المعادلة" دون حساب الجذور نفسها.
احسب \(D\) بدقة: \(b^2\) دائمًا موجب، حتى لو كان \(b\) نفسه سالبًا، وإشارات \(a\) و \(c\) تدخل في حاصل الضرب \(4ac\) كما هي. لنأخذ المعادلة \(x^2 + 4x - 5 = 0\): هنا \(a = 1\)، \(b = 4\)، \(c = -5\)، لذا \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). المميز موجب، وسيكون هناك جذران.
صيغة جذور المعادلة التربيعية
عندما يكون \(D \ge 0\)، تُحسب الجذور بالصيغة الرئيسية للموضوع:
العلامة \(\pm\) تعني عمليتين حسابيتين: مرة بالجمع، ومرة بالطرح. عند \(D = 0\)، تعطي العمليتان نفس العدد \(x = -\dfrac{b}{2a}\) - وهذا الجذر يسمى مضاعفًا.
هناك مكانان يكثر فيهما الخطأ: في البسط يوجد ناقص \(b\) (لـ \(b = -7\) يكون \(+7\))، وفي المقام يوجد \(2a\) وليس فقط \(2\). عند \(a = 1\) لا يظهر الفرق، لذلك يظهر الخطأ تحديدًا عندما يختلف المعامل الرئيسي عن الواحد.
لنحل المعادلة \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)، \(\sqrt{D} = 11\)، لذا \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) و \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0.5\).
المعامل الثاني الزوجي: صيغة مع D₁
إذا كان \(b\) عددًا زوجيًا، فمن المناسب كتابته على الصورة \(b = 2k\) وحساب المميز "المصغر":
الأعداد في الحسابات تصبح أصغر بأربع مرات (\(D = 4D_1\))، وإشارة \(D_1\) هي نفسها إشارة \(D\) - مما يعني أن الاستنتاج حول عدد الجذور لا يتغير.
مثال: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). هنا \(b = 8\)، أي \(k = 4\)، و \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\)، \(\sqrt{D_1} = 5\). إذن \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) و \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). بالصيغة العادية كان يجب التعامل مع \(D = 100\) - النتيجة هي نفسها، لكن الحسابات أكثر.
المعادلة المختزلة ونظرية فييتا
تسمى المعادلة التي معاملها الرئيسي \(a = 1\) مختزلة وتُكتب على الصورة \(x^2 + px + q = 0\). يمكن تحويل أي معادلة تربيعية إلى هذا الشكل بقسمتها على \(a\): على سبيل المثال، \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) بعد القسمة على 4 تصبح \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
الشكل المختزل قيّم لأنه يعمل فيه نظرية فييتا: مجموع الجذرين يساوي \(-p\)، وحاصل ضربهما يساوي \(q\). بالنسبة للمعادلة \(x^2 - 7x + 10 = 0\)، نحتاج إلى عددين مجموعهما 7 وحاصل ضربهما 10 - وهما 2 و 5، ولم نضطر لحساب المميز.
الاختيار حسب فييتا مفيد عندما تكون الجذور أعدادًا صحيحة وصغيرة، كما أنه يتحقق مجانًا من الإجابة التي تم الحصول عليها باستخدام المميز: يجب أن يعطي المجموع \(-p\)، وحاصل الضرب \(q\). الصيغ للشكل العام، النظرية العكسية، وخوارزمية الاختيار مفصلة في مادة منفصلة - نظرية فييتا.
تحليل ثلاثي الحدود التربيعي إلى عوامل
إذا تم إيجاد الجذرين \(x_1\) و \(x_2\)، فإن ثلاثي الحدود التربيعي يُحلل إلى عوامل:
لا يجب نسيان العامل \(a\) - بدونه لا تكون المساواة صحيحة. التحقق من التحليل سهل دائمًا: فك الأقواس وقارنها بثلاثي الحدود الأصلي. على سبيل المثال، جذور \(x^2 + 2x - 8\) هي 2 و -4، لذا \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
الطريقة العكسية تعمل أيضًا: إذا تمكنت من تحليل ثلاثي الحدود ذهنيًا، فإن الجذور تكون واضحة على الفور ولا يلزم المميز. هنا تساعد صيغ الضرب المختصر - على سبيل المثال، \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) تعطي الجذور 4 و -4 فورًا.
الطريقة الثالثة لتجنب صيغة الجذور هي إكمال المربع. في المعادلة \(x^2 + 6x + 5 = 0\)، الحدين الأولين يكملان مربع المجموع: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\)، أي \((x + 3)^2 = 4\)، ومنها \(x + 3 = \pm 2\) و \(x = -1\) أو \(x = -5\). هذه هي الطريقة التي تُشتق بها صيغة الجذور في الشكل العام.
المعادلات التي يمكن تحويلها إلى تربيعية: المعادلات ثنائية التربيع
المعادلة ثنائية التربيع لها الشكل \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): الأسس كلها زوجية. تُحل عن طريق التعويض \(t = x^2\)، مع شرط \(t \ge 0\) - مربع العدد الحقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا.
بعد التعويض، نحصل على معادلة تربيعية عادية \(at^2 + bt + c = 0\). تُحل باستخدام المميز، ثم لكل جذر غير سالب \(t\)، نعود إلى \(x = \pm\sqrt{t}\). ومن هنا يأتي عدد الجذور: حتى أربعة.
على سبيل المثال، \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) بعد التعويض تعطي \(t^2 - 5t + 4 = 0\) بجذور \(t = 1\) و \(t = 4\). كلاهما موجب، لذا \(x = \pm 1\) و \(x = \pm 2\) - أربعة جذور إجمالاً. إذا كان أحد قيم \(t\) سالبًا، فسيتم تجاهله ببساطة.
بنفس الطريقة تُحل المعادلات الكسرية (بعد توحيد المقامات وحذف القيم الممنوعة) والمعادلات التي تحتوي على تعويض من الشكل \(t = x^2 + 3x\).
أمثلة على حل المعادلات التربيعية
مثال 1. معادلة كاملة، D > 0
حل المعادلة \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
الخطوة 1. المعادلة بالفعل بالصيغة القياسية: \(a = 3\)، \(b = -7\)، \(c = 2\).
الخطوة 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) - يوجد جذران.
الخطوة 3. \(\sqrt{D} = 5\)، لذا \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\)، \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
الخطوة 4. التحقق بالتعويض. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\)؛ \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
الإجابة: \(x_1 = 2\)، \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
مثال 2. المميز يساوي صفرًا
حل المعادلة \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
الخطوة 1. \(a = 4\)، \(b = -12\)، \(c = 9\).
الخطوة 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) - يوجد جذر واحد.
الخطوة 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1.5\).
الخطوة 4. التحقق. \(4 \cdot 1.5^2 - 12 \cdot 1.5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
الإجابة: \(x = 1.5\). لاحظ: الطرف الأيسر هو مربع كامل \((2x - 3)^2\)، لذا كان الجذر واحدًا.
مثال 3. المميز سالب
حل المعادلة \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
الخطوة 1. \(a = 2\)، \(b = 3\)، \(c = 5\).
الخطوة 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
الخطوة 3. المميز سالب، لذا لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لـ \(D\) ضمن الأعداد الحقيقية. لا حاجة لتطبيق صيغة الجذور - ينتهي الحل هنا.
الإجابة: لا توجد جذور حقيقية. هذه إجابة كاملة وليست علامة على خطأ: الرسم البياني للدالة \(y = 2x^2 + 3x + 5\) ببساطة لا يتقاطع مع المحور السيني.
مثال 4. معادلة غير كاملة من الشكل ax² + c = 0
حل المعادلة \(3x^2 - 27 = 0\).
الخطوة 1. ننقل الحد الثابت: \(3x^2 = 27\).
الخطوة 2. نقسم على 3: \(x^2 = 9\).
الخطوة 3. مربع العددين 3 و -3 يساوي 9: \(x = 3\) و \(x = -3\). الإشارة الثانية تُفقد غالبًا.
الخطوة 4. التحقق. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\)؛ \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
الإجابة: \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -3\). قارنها بالمعادلة \(2x^2 + 8 = 0\): هناك \(x^2 = -4\)، ولا توجد جذور حقيقية.
مثال 5. معادلة غير كاملة من الشكل ax² + bx = 0
حل المعادلة \(5x^2 - 15x = 0\).
الخطوة 1. نستخرج العامل المشترك: \(5x(x - 3) = 0\).
الخطوة 2. حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يساوي أحد العاملين صفرًا: \(5x = 0\) أو \(x - 3 = 0\).
الخطوة 3. من هنا \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\).
الخطوة 4. التحقق. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\)؛ \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
الإجابة: \(x_1 = 0\)، \(x_2 = 3\). إذا اختصرت المعادلة الأصلية على \(x\)، سيبقى فقط \(x = 3\) - وسيضيع الجذر \(x = 0\). لا يمكن القسمة على تعبير يحتوي على مجهول.
مثال 6. المعامل الثاني زوجي
حل المعادلة \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
الخطوة 1. \(b = -22\) زوجي، لذا \(k = -11\)، و \(a = 5\)، \(c = 8\).
الخطوة 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\)، \(\sqrt{D_1} = 9\).
الخطوة 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0.4\).
الخطوة 4. التحقق. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\)؛ \(5 \cdot 0.4^2 - 22 \cdot 0.4 + 8 = 0.8 - 8.8 + 8 = 0\).
الإجابة: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = 0.4\). المميز العادي كان سيعطي \(D = 324\) - نفس النتيجة، لكن الحسابات كانت أطول.
مثال 7. أولاً، التحويل إلى الصيغة القياسية
حل المعادلة \((x - 3)(x + 5) = 9\).
الخطوة 1. نفك الأقواس: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\)، أي \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
الخطوة 2. ننقل التسعة إلى اليسار: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). فقط الآن يمكننا كتابة المعاملات: \(a = 1\)، \(b = 2\)، \(c = -24\).
الخطوة 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)، \(\sqrt{D} = 10\)، \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\).
الخطوة 4. التحقق في المعادلة الأصلية. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\)؛ \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
الإجابة: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -6\). خطأ شائع هنا هو مساواة كل قوس بـ 9: قاعدة "حاصل الضرب يساوي صفر" تعمل فقط مع الصفر.
مثال 8. تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل
حلل ثلاثي الحدود \(2x^2 - 5x - 3\) إلى عوامل.
الخطوة 1. نساوي ثلاثي الحدود بالصفر ونجد الجذور: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)، \(\sqrt{D} = 7\)، \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\)، \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
الخطوة 2. نعوض في الصيغة \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
الخطوة 3. من المناسب إدخال الرقم 2 في القوس الثاني: \((x - 3)(2x + 1)\).
الخطوة 4. التحقق بفك الأقواس. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
الإجابة: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
مثال 9. معادلة ثنائية التربيع
حل المعادلة \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
الخطوة 1. التعويض \(t = x^2\)، حيث \(t \ge 0\). تتحول المعادلة إلى \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
الخطوة 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)، \(\sqrt{D} = 5\)، \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\)، \(t_2 = 4\).
الخطوة 3. كلا القيمتين غير سالبتين، لذا نعود إلى \(x\): من \(x^2 = 9\) نحصل على \(x = \pm 3\)، ومن \(x^2 = 4\) نحصل على \(x = \pm 2\).
الخطوة 4. التحقق. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\)؛ \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). الأسس الزوجية تعطي نفس الأعداد للقيم السالبة.
الإجابة: \(x = \pm 2\) و \(x = \pm 3\) - أربعة جذور.
أخطاء شائعة عند حل المعادلات التربيعية
-
حساب المميز دون تحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية: بالنسبة للمعادلة $2x^2 + 3x = x^2 + 5$، يتم أخذ $a = 2$، $b = 3$، $c = 0$ مباشرة.
أولاً، ننقل كل شيء إلى اليسار ونجمع المتشابه: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\)، أي \(x^2 + 3x - 5 = 0\). فقط من هنا \(a = 1\)، \(b = 3\)، \(c = -5\). صيغة الجذور تعمل حصريًا مع الصيغة القياسية.
-
فقدان الإشارة عند تربيع $b$: بالنسبة للمعادلة $x^2 - 9x + 14 = 0$، يكتبون $D = -81 - 56$.
مربع أي عدد غير سالب: \((-9)^2 = 81\)، وليس \(-81\). الصحيح هو \(D = 81 - 56 = 25\)، والجذور \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\)، أي 7 و 2. التحقق: \(49 - 63 + 14 = 0\) و \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
ترك $b$ بدلاً من $-b$ في البسط: بالنسبة للمعادلة $x^2 + 5x - 6 = 0$، يحسبون $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
في الصيغة يوجد \(-b\)، لذا عند \(b = 5\) في البسط سيكون \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\)، ومنها \(x_1 = 1\)، \(x_2 = -6\). التعويض يؤكد: \(1 + 5 - 6 = 0\) و \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
عند $D = 0$ يكتبون "لا توجد جذور": المعادلة $x^2 + 14x + 49 = 0$ لها مميز صفري، ويتوقف الحل.
لا توجد جذور إلا عند \(D < 0\). عند \(D = 0\) يوجد جذر واحد بالضبط: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). التحقق: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
اختصار المعادلة $4x^2 - 9x = 0$ على $x$ والحصول على الجذر الوحيد $x = 2.25$.
لا يمكن القسمة على تعبير يحتوي على مجهول: \(x\) يمكن أن يكون صفرًا، والجذر \(x = 0\) يُفقد. الصحيح هو استخراج العامل المشترك: \(x(4x - 9) = 0\)، ومنها \(x_1 = 0\) و \(x_2 = 2.25\). التحقق: \(4 \cdot 2.25^2 - 9 \cdot 2.25 = 20.25 - 20.25 = 0\).
-
في المعادلة $x^2 = 16$ يكتبون فقط $x = 4$.
مربع العدد 16 هو أيضًا للعدد \(-4\). يجب كتابة كلا الجذرين: \(x = \pm 4\). الحل الأكثر موثوقية هو عبر الصيغة القياسية \(x^2 - 16 = 0\)، أي \((x - 4)(x + 4) = 0\) - عندها يكون كلا العاملين واضحين فورًا.
-
عدم التحقق من الشرط $a \neq 0$ في معادلة تحتوي على معامل متغير: في المعادلة $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$، يتم حساب المميز مباشرة.
عند \(m = 2\) يصبح المعامل الرئيسي صفرًا، وتصبح المعادلة خطية \(3x - 1 = 0\) بجذر وحيد \(x = \dfrac{1}{3}\). يتم تحليل الحالة \(m = 2\) بشكل منفصل، وتُطبق صيغة الجذور فقط عندما \(m \neq 2\).
أسئلة وأجوبة
ما هي المعادلة التربيعية؟
هي معادلة من الشكل \(ax^2 + bx + c = 0\)، حيث \(a\) و \(b\) و \(c\) أعداد و \(a \neq 0\). المجهول يدخل فيها بالدرجة الثانية، لذا يمكن أن يكون هناك جذران، جذر واحد، أو لا جذور على الإطلاق.
كيف تبدو الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية؟
الصيغة القياسية (العامة) هي \(ax^2 + bx + c = 0\): جميع الحدود مجمعة في الطرف الأيسر بترتيب تنازلي للأسس، والطرف الأيمن صفر. يتم تحويل أي معادلة تربيعية إلى هذه الصيغة قبل حساب المميز.
كيف نحسب المميز؟
باستخدام الصيغة \(D = b^2 - 4ac\)، مع تعويض المعاملات بما في ذلك إشاراتها. على سبيل المثال، للمعادلة \(x^2 + 3x - 10 = 0\) نحصل على \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)، والجذور تساوي \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\)، أي 2 و -5.
ما هي صيغة جذور المعادلة التربيعية؟
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)، أو اختصارًا \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). تُطبق عندما \(D \ge 0\)؛ في المقام يوجد \(2a\) بالضبط، وليس فقط \(2\).
كم عدد الجذور التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة التربيعية؟
لا يزيد عن جذرين. عند \(D > 0\) يوجد جذران، عند \(D = 0\) - جذر واحد (مضاعف)، عند \(D < 0\) لا توجد جذور حقيقية.
ما هي المعادلة التربيعية غير الكاملة؟
هي معادلة يكون فيها \(b = 0\)، أو \(c = 0\)، أو كلاهما: \(ax^2 + c = 0\)، \(ax^2 + bx = 0\)، \(ax^2 = 0\). تُحل الأنواع الثلاثة بدون المميز - بنقل الحد أو باستخراج \(x\) كعامل مشترك.
كيف نحل المعادلات التربيعية بدون المميز؟
هناك ثلاث طرق: اختيار الجذور حسب نظرية فييتا للمعادلة المختزلة، التحليل إلى عوامل، وإكمال المربع. أسرع طريقة هي الاختيار عندما تكون الجذور أعدادًا صحيحة صغيرة.
ماذا نفعل إذا كان المميز سالبًا؟
نكتب أنه لا توجد جذور حقيقية، وننهي الحل. المميز السالب هو إجابة طبيعية: الرسم البياني للدالة المكافئة لا يتقاطع مع المحور السيني. الجذور في هذه الحالة توجد فقط ضمن الأعداد المركبة، والتي تُدرس لاحقًا.
كيف نتحقق من الجذور التي وجدناها؟
نعوض بكل جذر في المعادلة الأصلية - يجب أن نحصل على مساواة صحيحة. بالنسبة للمعادلة المختزلة، هناك أيضًا تحقق سريع حسب نظرية فييتا: مجموع الجذور يساوي \(-p\)، وحاصل ضربهما يساوي \(q\).
هل المعادلة التربيعية والمعادلة التربيعية (بمعنى الدالة) نفس الشيء؟
نعم، هما اسمان لنفس الشيء \(ax^2 + bx + c = 0\). لا تخلط بينها وبين الدالة التربيعية \(y = ax^2 + bx + c\): جذور المعادلة هي بالضبط إحداثيات x لنقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور السيني.
في أي صف تُدرس المعادلات التربيعية؟
في الصف الثامن في الجبر: أولاً المعادلات غير الكاملة، ثم المميز، صيغة الجذور، ونظرية فييتا. لاحقًا، يظهر الموضوع في الدالة التربيعية، المتباينات، مسائل OGE و ЕГЭ.
