قواعد قابلية القسمة هي قواعد تسمح بمعرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة بشكل صحيح، دون إجراء عملية القسمة: يكفي النظر إلى الأرقام الأخيرة أو جمع كل أرقام العدد. تجمع هذه الصفحة جدول قواعد قابلية القسمة على 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 11 و 25، وتحليلًا واضحًا للقواعد على 3 و 9 عبر مجموع الأرقام، وأمثلة مع حلول، وأخطاء شائعة، ومدربًا تفاعليًا حيث يمكنك التحقق من نفسك على الفور.
ما هي قاعدة قابلية القسمة
قاعدة قابلية القسمة هي قاعدة تسمح بمعرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة بشكل صحيح على عدد آخر، دون إجراء عملية القسمة نفسها. يكفي النظر إلى الأرقام الأخيرة أو جمع كل أرقام العدد.
تساعد قواعد قابلية القسمة في كل مكان تحتاج فيه إلى فهم "بنية" العدد بسرعة:
- عند تبسيط الكسور - يمكنك رؤية العدد الذي يمكن قسمة البسط والمقام عليه على الفور.
- عند تحليل العدد إلى عوامله الأولية.
- عند البحث عن القاسم المشترك والمضاعف المشترك.
- عند التحقق السريع من الإجابة في الأمثلة والمسائل.
من المهم عدم الخلط بين سؤالين مختلفين. "هل 3726 يقبل القسمة على 9؟" - تجيب قاعدة قابلية القسمة على هذا: مجموع الأرقام 3 + 7 + 2 + 6 = 18 يقبل القسمة على 9، وبالتالي نعم. أما "كم سيكون الناتج؟" - فهذه هي عملية القسمة نفسها: 3726 : 9 = 414. القاعدة تعطي فقط إجابة "نعم" أو "لا"، ولكنها فورية وفي الذهن.
جدول قواعد قابلية القسمة
من المفيد الاحتفاظ بجميع قواعد قابلية القسمة المدرسية أمام عينيك في جدول واحد. اللون يشير إلى أين تنظر: إلى الرقم الأخير، إلى مجموع الأرقام، إلى "ذيل" من رقمين أو ثلاثة أرقام أخيرة، أو مباشرة إلى قاعدتين.
| على ماذا | قاعدة قابلية القسمة | مثال |
|---|---|---|
| 2 | الرقم الأخير هو 0، 2، 4، 6 أو 8 | 3726 → 6 |
| 3 | مجموع الأرقام يقبل القسمة على 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | الرقمين الأخيرين يقبلان القسمة على 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | الرقم الأخير هو 0 أو 5 | 1435 → 5 |
| 6 | يقبل القسمة على 2 وعلى 3 في نفس الوقت | 5124 → 4 و 12 |
| 8 | الأرقام الثلاثة الأخيرة تقبل القسمة على 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | الرقم الأخير هو 0 | 2340 → 0 |
| 11 | الأرقام من النهاية بالتناوب + و -؛ المجموع يقبل القسمة على 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | الرقمين الأخيرين هما 00، 25، 50 أو 75 | 1875 → 75 |
قواعد قابلية القسمة على 2 و 5 و 10
أبسط مجموعة: ننظر فقط إلى الرقم الأخير، والباقي غير مهم.
- على 2 تقبل جميع الأعداد الزوجية - تلك التي تنتهي بـ 0، 2، 4، 6 أو 8.
- على 5 - الأعداد التي تنتهي بـ 0 أو 5.
- على 10 - الأعداد التي تنتهي بـ 0.
طول العدد لا يهم: 987 654 320 يقبل القسمة على 2، وعلى 5، وعلى 10، لأنه ينتهي بصفر. أما 1435 فيقبل القسمة على 5 (الرقم الأخير 5)، ولكنه لا يقبل القسمة لا على 2 ولا على 10 - العدد فردي.
من هنا استنتاج مفيد: الأعداد التي تقبل القسمة على 10 هي بالضبط تلك التي تقبل القسمة على 2 وعلى 5 في نفس الوقت.
قواعد قابلية القسمة على 3 و 9: مجموع الأرقام
هنا الرقم الأخير لا يقرر شيئًا - يعمل مجموع كل أرقام العدد:
- العدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.
- العدد يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9.
إذا كان المجموع كبيرًا، يمكن تطبيق القاعدة عليه مرة أخرى: للعدد 899 991 مجموع الأرقام 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45، وللعدد 45 المجموع 4 + 5 = 9 - هذا يعني أن العدد الأصلي يقبل القسمة على 9 وعلى 3.
القاعدتان متشابهتان، لكنهما لا تحل إحداهما محل الأخرى. كل عدد يقبل القسمة على 9، يقبل القسمة أيضًا على 3 - لأن التسعة نفسها تقبل القسمة على الثلاثة. العكس ليس صحيحًا: مجموع الأرقام قد يقبل القسمة على 3 ولا يقبل القسمة على 9، وفي هذه الحالة يمر العدد بقاعدة واحدة فقط من القاعدتين. تم تحليل كلتا الحالتين أدناه.
قواعد قابلية القسمة على 4، 8 و 25: ننظر إلى ذيل العدد
الرقم الأخير وحده لا يكفي هنا - نحتاج إلى "ذيل" من عدة أرقام أخيرة:
- العدد يقبل القسمة على 4 إذا كان الرقمين الأخيرين يشكلان عددًا يقبل القسمة على 4.
- على 8 - إذا كانت الأرقام الثلاثة الأخيرة تشكل عددًا يقبل القسمة على 8.
- على 25 - إذا كان الرقمان الأخيران يشكلان 00، 25، 50 أو 75.
لماذا يكفي الذيل: 100 يقبل القسمة على 4 وعلى 25، و 1000 يقبل القسمة على 8. لذلك، كل ما هو على اليسار يقبل القسمة بالفعل على العدد المطلوب ولا يؤثر على النتيجة.
من هنا استنتاج مهم: الزوجية ليست كافية للعددين 4 و 8. قد يكون العدد زوجيًا، ولكن إذا كان ذيله المكون من رقمين أو ثلاثة أرقام لا يقبل القسمة بشكل صحيح، فإن العدد بأكمله لا يقبل القسمة. تحليل الذيول - في الملحق أدناه.
قاعدة قابلية القسمة على 6
ليس لديها قاعدة منفصلة خاصة بها: 6 = 2 · 3، والعوامل أولية فيما بينها. لذلك، القاعدة مركبة - العدد يقبل القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على 2 وعلى 3 في نفس الوقت.
لنتحقق من 5124: الرقم الأخير 4 - العدد زوجي، لذا يقبل القسمة على 2؛ مجموع الأرقام 5 + 1 + 2 + 4 = 12 يقبل القسمة على 3. كلا الشرطين متحققان → 5124 : 6 = 854.
الزوجية وحدها لا تكفي: 1000 - زوجي، لكن مجموع أرقامه يساوي 1 ولا يقبل القسمة على 3، لذلك لا يقبل العدد القسمة على 6. النصف العكسي لا يعمل أيضًا: لمجموع أرقام 4521 المجموع 12 يقبل القسمة على 3، لكن العدد نفسه فردي - لا يقبل القسمة على 6 أيضًا.
بنفس الطريقة يتم تجميع القواعد المركبة الأخرى: على 12 - يقبل القسمة على 3 وعلى 4، على 15 - على 3 وعلى 5، على 18 - على 2 وعلى 9، على 45 - على 5 وعلى 9.
قاعدة قابلية القسمة على 11
تستخدم قاعدة قابلية القسمة على 11 مجموع الأرقام المتناوب الإشارة. يتم جمع الأرقام، بدءًا من الأخير، مع تغيير الإشارة بالتناوب: زائد، ناقص، زائد، ناقص. إذا كان الناتج يقبل القسمة على 11 (بما في ذلك الصفر)، فإن العدد بأكمله يقبل القسمة على 11.
غالبًا ما تُصاغ نفس القاعدة بشكل مختلف: يجب أن تكون الفرق بين مجموع الأرقام الموجودة في المواقع الفردية ومجموع الأرقام في المواقع الزوجية قابلاً للقسمة على 11. هذه نفس القاعدة.
أمثلة على قواعد قابلية القسمة
مثال 1. على أي أعداد يقبل العدد 7254 القسمة
المسألة. تحديد على أي من الأعداد 2، 3، 4، 5، 6، 9، 10 يقبل العدد 7254 القسمة.
الخطوة 1. على 2. الرقم الأخير 4 - زوجي. يقبل القسمة: 7254 : 2 = 3627.
الخطوة 2. على 5 وعلى 10. العدد ينتهي بالرقم 4، وليس بالرقم 0 أو 5. لا يقبل القسمة لا على 5 ولا على 10.
الخطوة 3. على 3 وعلى 9. مجموع الأرقام: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. يقبل القسمة على 3 وعلى 9. لذا، 7254 : 3 = 2418 و 7254 : 9 = 806.
الخطوة 4. على 6. العدد يقبل القسمة على 2 وعلى 3 - لذا يقبل القسمة على 6: 7254 : 6 = 1209.
الخطوة 5. على 4. الرقمان الأخيران يعطيان 54، و 54 لا يقبل القسمة على 4. لا يقبل القسمة.
الإجابة. 7254 يقبل القسمة على 2، 3، 6 و 9.
مثال 2. هل يقبل العدد 4715 القسمة على 3 وعلى 9
المسألة. التحقق من قابلية قسمة العدد 4715 على 3 وعلى 9.
الخطوة 1. نجمع الأرقام: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
الخطوة 2. على 3. 17 لا يقبل القسمة على 3 (أقرب مضاعفات هي 15 و 18). لذا، فإن 4715 لا يقبل القسمة على 3.
الخطوة 3. على 9. 17 لا يقبل القسمة على 9 بالتأكيد. لذا، فإن 4715 لا يقبل القسمة على 9 أيضًا.
ما الذي يمكن للعدد فعله. الرقم الأخير 5 → العدد يقبل القسمة على 5: 4715 : 5 = 943. لا يقبل القسمة على 2 وعلى 10 - فهو عدد فردي.
الإجابة. لا يقبل العدد 4715 القسمة لا على 3 ولا على 9.
مثال 3. قابلية القسمة على 4 وعلى 8: العدد 6248
المسألة. التحقق مما إذا كان العدد 6248 يقبل القسمة على 4 وعلى 8.
الخطوة 1. على 4. نأخذ الرقمين الأخيرين: 48. العدد 48 يقبل القسمة على 4 (48 : 4 = 12)، لذا فإن 6248 يقبل القسمة: 6248 : 4 = 1562.
الخطوة 2. على 8. نأخذ الأرقام الثلاثة الأخيرة: 248. نقسم: 248 : 8 = 31 - يقبل القسمة. لذا، فإن 6248 : 8 = 781.
الحذر من الاستدلال العكسي. من قابلية القسمة على 4 لا تتبع قابلية القسمة على 8: للعدد 6244 ذيل 44 يقبل القسمة على 4 (6244 : 4 = 1561)، ولكن الأرقام الثلاثة الأخيرة 244 لا تقبل القسمة على 8 - العدد لا يقبل القسمة على 8.
الإجابة. 6248 يقبل القسمة على 4 وعلى 8.
مثال 4. قاعدة قابلية القسمة على 11: العدد 2926
المسألة. التحقق مما إذا كان العدد 2926 يقبل القسمة على 11.
الخطوة 1. نكتب الأرقام ونضع العلامات من النهاية: الرقم الأخير بعلامة زائد، ثم بالتناوب ناقص وزائد.
الخطوة 2. نحسب المجموع المتناوب الإشارة: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
الخطوة 3. الناتج 11 يقبل القسمة على 11 → العدد بأكمله يقبل القسمة.
التحقق بالقسمة. 2926 : 11 = 266.
الإجابة. 2926 يقبل القسمة على 11.
مثال 5. تبسيط الكسر باستخدام قواعد قابلية القسمة
المسألة. تبسيط الكسر 270/378.
الخطوة 1. نحسب مجموع الأرقام: 2 + 7 + 0 = 9 و 3 + 7 + 8 = 18. كلاهما يقبل القسمة على 9 → البسط والمقام يقبلان القسمة على 9.
الخطوة 2. نبسط على 9: 270 : 9 = 30، 378 : 9 = 42. نحصل على 30/42.
الخطوة 3. كلا العددين زوجيان → نبسط على 2: 30 : 2 = 15، 42 : 2 = 21. نحصل على 15/21.
الخطوة 4. مجموع الأرقام 6 و 3 يقبل القسمة على 3 → نبسط على 3.
الإجابة. 270/378 = 5/7.
أخطاء شائعة في قواعد قابلية القسمة
-
التحقق من قابلية القسمة على 6 فقط بالزوجية: بما أن العدد زوجي → فهو يقبل القسمة على 6.
نحتاج إلى كلا الشرطين معًا: على 2 وعلى 3. العدد 7124 زوجي، لكن مجموع أرقامه 14 لا يقبل القسمة على 3، لذا فهو لا يقبل القسمة على 6. والعكس صحيح: 3471 يمر بقاعدة الثلاثة (مجموع 15، 3471 : 3 = 1157)، ولكنه فردي - لا يقبل القسمة على 6 أيضًا.
-
بالنسبة لقابلية القسمة على 4، ننظر إلى الرقم الأخير وحده: "8 يقبل القسمة على 4، لذا فإن 9138 مناسب أيضًا".
بالنسبة للعدد 4، نأخذ الرقمين الأخيرين. للعدد 9138 هما 38، و 38 لا يقبل القسمة على 4. مثال صحيح: للعدد 9136 ذيل 36، 36 : 4 = 9، لذا 9136 : 4 = 2284. بالنسبة للعدد 8، الذيل أطول - ثلاثة أرقام.
-
التحقق من قاعدة قابلية القسمة على 9 بالرقم الأخير: البحث عن الأعداد التي تنتهي بـ 9 أو 0.
الرقم الأخير لا يعني شيئًا للتسعة. نحسب مجموع كل الأرقام: للعدد 4563 هو 18، المجموع يقبل القسمة على 9 - والعدد يقبل القسمة (4563 : 9 = 507)، على الرغم من أنه ينتهي بـ 3.
-
يعتقدون أن العدد إذا كان يقبل القسمة على 3، فإنه يقبل القسمة على 9.
يعمل فقط في اتجاه واحد: يقبل القسمة على 9 → يقبل القسمة على 3. العكس ليس صحيحًا. للعدد 8241 مجموع الأرقام 15: يقبل القسمة على 3 (8241 : 3 = 2747)، ولكنه لا يقبل القسمة على 9.
-
بالنسبة لقاعدة الـ 11، يتم ببساطة جمع كل الأرقام، كما هو الحال بالنسبة للـ 3 و 9.
مجموع الـ 11 متناوب الإشارة: يتم جمع الأرقام من النهاية، مع تغيير الإشارة كل رقمين. للعدد 6479 هو 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → يقبل القسمة (6479 : 11 = 589). مجموع الأرقام العادي هنا يساوي 26 ولا يعني شيئًا.
-
يتم الخلط بين قاعدة قابلية القسمة وعملية القسمة نفسها: على السؤال "هل يقبل العدد 5391 القسمة على 9" يجيبون "نعم، 18".
18 هو مجموع الأرقام، نتيجة وسيطة للقاعدة. يتم حساب الناتج بشكل منفصل: 5391 : 9 = 599. القاعدة تجيب فقط "يقبل القسمة / لا يقبل القسمة".
أسئلة وأجوبة
ما هي قاعدة قابلية القسمة بكلمات بسيطة؟
إنها قاعدة تسمح بمعرفة ما إذا كان العدد سيقبل القسمة بشكل صحيح، دون إجراء القسمة نفسها. عادةً ما يكفي النظر إلى الأرقام الأخيرة للعدد أو جمع كل أرقامه.
كيف تعرف ما إذا كان العدد يقبل القسمة على 3؟
اجمع كل أرقام العدد. إذا كان المجموع الناتج يقبل القسمة على 3، فإن العدد نفسه يقبل القسمة على 3. على سبيل المثال، للعدد 2571 مجموع الأرقام 2 + 5 + 7 + 1 = 15، و 15 يقبل القسمة على 3 → 2571 : 3 = 857.
ما الفرق بين قاعدة قابلية القسمة على 3 وقاعدة قابلية القسمة على 9؟
القاعدة متماثلة - نحسب مجموع الأرقام، ولكن نتحقق منها مقابل أرقام مختلفة: بالنسبة للثلاثة، يجب أن يقبل المجموع القسمة على 3، وبالنسبة للتسعة - على 9. لذلك، أي عدد يقبل القسمة على 9، يقبل القسمة أيضًا على 3، والعكس ليس صحيحًا دائمًا: للعدد 9420 مجموع الأرقام 15 يقبل القسمة على 3 (9420 : 3 = 3140)، ولكنه لا يقبل القسمة على 9.
ماذا تفعل إذا كان مجموع الأرقام كبيرًا؟
طبق القاعدة مرة أخرى - على المجموع نفسه. للعدد 777 771 مجموع الأرقام 36، وللعدد 36 المجموع 3 + 6 = 9. التسعة تقبل القسمة على 9، لذا فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 9 (وبالتالي على 3 أيضًا): 777 771 : 9 = 86 419.
هل توجد قاعدة لقابلية القسمة على 7؟
لا توجد قاعدة بسيطة مثل مجموع الأرقام للعدد 7، ولا يتم تضمينها في جدول القواعد المدرسي. توجد طريقة: تجاهل الرقم الأخير، ضاعفه واطرحه من العدد المتبقي. على سبيل المثال، للعدد 343: نتجاهل 3، نضاعف - 6، نحسب 34 - 6 = 28. العدد 28 يقبل القسمة على 7، لذا فإن 343 يقبل القسمة أيضًا: 343 : 7 = 49.
ما هي قواعد قابلية القسمة على 12، 15 و 45؟
إنها قواعد مركبة - يجب أن يمر العدد بقاعدتين في نفس الوقت: على 12 - يقبل القسمة على 3 وعلى 4، على 15 - على 3 وعلى 5، على 45 - على 5 وعلى 9. من المهم أن تكون العوامل أولية فيما بينها: تحليل 12 = 2 · 6 غير مناسب، لأن 18 يقبل القسمة على 2 وعلى 6، ولكنه لا يقبل القسمة على 12.
في أي صف يتم دراسة قواعد قابلية القسمة؟
في الصف السادس في دروس الرياضيات: أولاً قواعد القسمة على 10، 5 و 2، ثم على 3 و 9. عادةً ما يتم تحليل قواعد القسمة على 4، 8، 11 و 25 بشكل إضافي - ستكون مفيدة عند تبسيط الكسور وفي المسابقات.
