ترتيب العمليات الحسابية هو مجموعة القواعد التي تخبرك بأي جزء من التعبير الرياضي يجب حسابه أولاً. الطريقة الأكثر شيوعًا لتذكرها هي PEMDAS: Parentheses (الأقواس)، Exponents (الأسس)، Multiplication (الضرب) و Division (القسمة)، Addition (الجمع) و Subtraction (الطرح). اتبع هذا الترتيب وسيكون لكل تعبير إجابة صحيحة واحدة فقط. ستجد في هذه الصفحة شرحًا لقاعدة PEMDAS خطوة بخطوة، وأمثلة محلولة تتضمن أقواسًا وأسسًا، والأخطاء التي يقع فيها الطلاب غالبًا، واختبارًا تفاعليًا للتدريب فورًا.
ماذا يعني PEMDAS: ترتيب العمليات الحسابية
PEMDAS هو اختصار للترتيب الذي يتم به تنفيذ العمليات. يتذكره العديد من الطلاب من خلال العبارة "Please Excuse My Dear Aunt Sally." (من فضلك اعذر عمتي العزيزة سالي). اعمل نزولاً على السلم من الأعلى إلى الأسفل:
- P — الأقواس (Parentheses). قم بحل كل ما بداخل رموز التجميع أولاً: ( )، [ ]، { }.
- E — الأسس (Exponents). ثم القوى والجذور، مثل 3² أو √9.
- M و D — الضرب والقسمة (Multiplication and Division). لهما نفس الأولوية. قم بحلهما معًا، بالعمل من اليسار إلى اليمين.
- A و S — الجمع والطرح (Addition and Subtraction). لهما أيضًا نفس الأولوية. قم بحلهما أخيرًا، مرة أخرى من اليسار إلى اليمين.
الفكرة الأهم هي التي يغفل عنها معظم الطلاب: PEMDAS ليست ست خطوات منفصلة. الضرب لا يأتي دائمًا قبل القسمة، والجمع لا يأتي دائمًا قبل الطرح. كل زوج من هذه العمليات يقع في مستوى واحد، وضمن المستوى الواحد، ببساطة انتقل من اليسار إلى اليمين.
قاعدة من اليسار إلى اليمين (الضرب/القسمة والجمع/الطرح متساويان)
نظرًا لأن الضرب والقسمة يقعان في نفس المستوى، فأنت تتعامل معهما بالترتيب الذي يظهران به، عند القراءة من اليسار إلى اليمين — وليس "كل الضرب، ثم كل القسمة". وينطبق الشيء نفسه على الجمع والطرح.
فخ كلاسيكي هو 20 ÷ 4 × 5. إذا قمت بالضرب أولاً (4 × 5 = 20)، ستحصل على 20 ÷ 20 = 1 — وهو خطأ. بما أن القسمة على اليسار، قم بها أولاً: 20 ÷ 4 = 5، ثم 5 × 5 = 25. ينطبق نفس المنطق على 10 − 6 + 2: اعمل من اليسار إلى اليمين لتحصل على 4 + 2 = 6، وليس 10 − 8 = 2.
PEMDAS مقابل BODMAS: نفس القاعدة، اسم مختلف
في المملكة المتحدة وأستراليا والعديد من البلدان الأخرى، يتم تدريس نفس القاعدة باسم BODMAS (أحيانًا BIDMAS أو BEDMAS). تبدو الحروف مختلفة، لكن الترتيب متطابق — فقط المفردات تتغير.
- B — الأقواس (Brackets) هي نفس P — الأقواس (Parentheses).
- O — الأوامر (Orders) (أو I — المؤشرات (Indices)، E — الأسس (Exponents)) تعني القوى والجذور.
- DM و MD هما نفس زوج الأولوية المتساوية، ويتم حلهما من اليسار إلى اليمين.
- AS هي الجمع والطرح، ويتم حلهما من اليسار إلى اليمين.
لذا فإن PEMDAS وBODMAS يعطيان دائمًا نفس الإجابة. المقارنة أدناه تضعهما جنبًا إلى جنب حرفًا بحرف.
| الخطوة | PEMDAS | BODMAS | ماذا تفعل |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | داخل رموز التجميع أولاً |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | القوى والجذور |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | أولوية متساوية، يسار ← يمين |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | أولوية متساوية، يسار ← يمين |
أمثلة على ترتيب العمليات الحسابية (خطوة بخطوة)
مثال 1. الضرب قبل الجمع
التعبير: 3 + 4 × 2
الخطوة 1 — الأقواس / الأسس: لا يوجد هنا، لذا انتقل.
الخطوة 2 — الضرب / القسمة: 4 × 2 = 8. التعبير الآن هو 3 + 8.
الخطوة 3 — الجمع / الطرح: 3 + 8 = 11.
إجابة خاطئة شائعة هي 14، والتي تأتي من جمع 3 + 4 أولاً. يجب أن يحدث الضرب قبل الجمع.
مثال 2. الأقواس، الأسس، ثم من اليسار إلى اليمين
التعبير: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
الخطوة 1 — الأقواس: 6 + 2 = 8. الآن: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
الخطوة 2 — الأسس: 3² = 9. الآن: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
الخطوة 3 — الضرب / القسمة (من اليسار إلى اليمين): 8 × 9 = 72، ثم 72 ÷ 4 = 18. الآن: 18 − 5.
الخطوة 4 — الجمع / الطرح: 18 − 5 = 13.
مثال 3. فخ اليسار إلى اليمين
التعبير: 20 ÷ 4 × 5
لا توجد أقواس أو أسس، لذا ننتقل مباشرة إلى الضرب والقسمة. لهما نفس الأولوية، لذا نقرأ من اليسار إلى اليمين.
الخطوة 1: 20 ÷ 4 = 5 (القسمة هي الأبعد لليسار). الآن: 5 × 5.
الخطوة 2: 5 × 5 = 25.
لو قمت بالضرب أولاً (4 × 5 = 20)، ستحصل على 20 ÷ 20 = 1 — خطأ كلاسيكي. ترتيب الحروف M-ثم-D لا يعني أن الضرب يفوز؛ بل الترتيب من اليسار إلى اليمين هو الذي يحكم.
أخطاء PEMDAS الشائعة
-
الاعتقاد بأن الضرب يأتي دائمًا قبل القسمة (أو الجمع قبل الطرح) بسبب ترتيب الحروف M-D و A-S.
الضرب والقسمة متساويان، وكذلك الجمع والطرح. ضمن كل زوج، اعمل من اليسار إلى اليمين. في 20 ÷ 4 × 5 تقسم أولاً لأنها على اليسار، مما يعطي 25 — وليس 1.
-
تجاهل قاعدة اليسار إلى اليمين للطرح، لذا يتم قراءة 10 − 6 + 2 على أنها 10 − 8 = 2.
انتقل من اليسار إلى اليمين: 10 − 6 = 4، ثم 4 + 2 = 6. الجمع لا "يتخطى الدور" أمام الطرح الذي على يساره.
-
تخطي الأقواس أو حلها أخيرًا لأنها تظهر في منتصف التعبير.
رموز التجميع دائمًا أولاً، بغض النظر عن مكان وجودها. في 2 × (3 + 4)، تحسب 3 + 4 = 7 قبل الضرب، مما يعطي 14 — وليس 2 × 3 + 4 = 10.
-
إساءة قراءة نطاق الأس، ومعاملة −3² و (−3)² كشيء واحد.
الأس ينطبق فقط على الرقم الموجود تحته مباشرة. −3² تعني −(3²) = −9، بينما (−3)² تعني (−3)(−3) = 9. استخدم الأقواس عندما تريد تضمين الإشارة.
-
حل الأقواس المتداخلة من الخارج إلى الداخل.
ابدأ بأعمق مجموعة واعمل للخارج. في 2 × [3 + (4 − 1)]، قم بـ 4 − 1 = 3 أولاً، ثم 3 + 3 = 6، ثم 2 × 6 = 12.
أسئلة شائعة
ماذا يعني اختصار PEMDAS؟
PEMDAS تعني الأقواس، الأسس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح. إنه الترتيب الذي تقيم به التعبير الرياضي. يتذكره العديد من الطلاب بعبارة "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
ما الفرق بين PEMDAS وBODMAS؟
لا يوجد فرق في الرياضيات — فقط في الأسماء. يتم تدريس BODMAS (الأقواس، الأوامر، القسمة، الضرب، الجمع، الطرح) في المملكة المتحدة والعديد من البلدان الأخرى، بينما يُستخدم PEMDAS في الولايات المتحدة. الأقواس هي نفسها، والأوامر (أو المؤشرات) هي نفسها الأسس. كلاهما يعطي نفس الإجابة لكل تعبير.
هل يأتي الضرب دائمًا قبل القسمة في PEMDAS؟
لا. الضرب والقسمة لهما نفس الأولوية. تقوم بأيهما يظهر أولاً عند القراءة من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، في 20 ÷ 4 × 5 تقسم أولاً لأنها على اليسار، ثم تضرب، مما يعطي 25.
لماذا نحتاج إلى ترتيب للعمليات الحسابية؟
بدون ترتيب متفق عليه، يمكن أن يعطي نفس التعبير إجابات مختلفة لأشخاص مختلفين. على سبيل المثال، 3 + 4 × 2 ستكون 11 إذا ضربت أولاً أو 14 إذا جمعت أولاً. PEMDAS تضمن أن كل تعبير له نتيجة صحيحة واحدة فقط.
كيف تتعامل مع الأسس والإشارات السالبة معًا؟
الأس ينطبق فقط على القيمة الموجودة تحته مباشرة. لذا −3² تساوي −(3 × 3) = −9، لأن الأس يرتبط بـ 3 قبل تطبيق الإشارة السالبة. إذا كنت تريد تضمين السالب، اكتب (−3)²، والتي تساوي 9. الأقواس تتحكم فيما يغطيه الأس.
ماذا تفعل مع الأقواس المتداخلة؟
اعمل من المجموعة الأعمق إلى الخارج. في 2 × [3 + (4 − 1)]، أولاً قم بـ 4 − 1 = 3، ثم 3 + 3 = 6، ثم 2 × 6 = 12. يتم حل كل طبقة من التجميع قبل الطبقة التي تحيط بها.
