التناسب هو تساوي نسبتين، على سبيل المثال \(2:3 = 8:12\). لحل التناسب، تحتاج إلى أداة واحدة فقط — الخاصية الأساسية للتناسب: حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين. في المدرسة، يُطلق عليها قاعدة «الضرب التبادلي». أدناه — ما هي النسبة والتناسب، وكيفية إيجاد الحد المجهول، وما الفرق بين التناسب الطردي والعكسي، وتحليل مسائل الوصفات، والقياس، والسعر، والوصول إلى النسب المئوية وجهاز محاكاة من 10 مسائل.
ما هي النسبة والتناسب
النسبة بين عددين هي حاصل قسمتهما. النسبة \(2:3\) (تُقرأ «اثنان إلى ثلاثة») توضح كم مرة يزيد أحد العددين عن الآخر أو ما هو الجزء الذي يشكله أحدهما من الآخر. يمكن كتابتها بطريقتين: \(2:3\) أو ككسر \(\frac{2}{3}\) — كلاهما يعني نفس الشيء.
التناسب هو تساوي نسبتين:
في التناسب يوجد أربعة أعداد، ولكل منها اسم. الأعداد الموجودة على الأطراف هي الحدود القصوى، والأعداد الموجودة في المنتصف هي الحدود الوسطى. يكون التناسب صحيحًا عندما تتساوى النسبتان مع نفس العدد.
الخاصية الأساسية للتناسب: قاعدة «الضرب التبادلي»
الخاصية الأساسية للتناسب: حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين.
لماذا يحدث هذا؟ نضرب طرفي المعادلة \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) في \(b \cdot d\). سيتم اختصار \(b\) في الطرف الأيسر، و \(d\) في الطرف الأيمن، وسيتبقى بالضبط \(a \cdot d = c \cdot b\). لا يوجد سحر هنا — إنها خاصية عادية للمعادلات.
هذا بالضبط ما يسميه الطلاب «حل التناسب بالضرب التبادلي»: يتم ضرب الأعداد قطريًا، تبادليًا. الخاصية تعمل أيضًا في الاتجاه المعاكس: إذا كان لعددين (ليس أي منهما صفرًا) يتحقق \(a \cdot d = b \cdot c\)، فيمكن تكوين تناسب صحيح منهما.
من هذا نستنتج مهارتين فوريتين: التحقق مما إذا كان التناسب صحيحًا، وإيجاد العدد المجهول فيه.
كيفية إيجاد الحد المجهول في التناسب
من الخاصية الأساسية، نحصل على قاعدتين قصيرتين:
- الحد المجهول (طرفي) = حاصل ضرب الوسطين : الحد المعلوم (الطرفي);
- الحد المجهول (وسطي) = حاصل ضرب الطرفين : الحد المعلوم (الوسطي).
ليس من الضروري حفظهما عن ظهر قلب. يكفي اتباع طريقة واحدة عالمية: اضرب تبادليًا، احصل على معادلة من الشكل «عدد \(\cdot\, x\) = عدد» ثم اقسم. سنوضح ذلك خطوة بخطوة على التناسب \(x : 7 = 12 : 21\).
الخطوة الأخيرة — التحقق — تستغرق خمس ثوانٍ وتكتشف أي خطأ حسابي تقريبًا، لذلك لا ينبغي تخطيها.
التناسب الطردي والعكسي
نسمي كميتين متناسبتين طرديًا إذا زادت إحداهما عدة مرات، زادت الأخرى بنفس العدد من المرات. اشترينا ضعف عدد الدفاتر — دفعنا ضعف المبلغ. هذه الكميات لها نسبة ثابتة.
الكميات متناسبة عكسيًا إذا زادت إحداها عدة مرات، نقصت الأخرى بنفس العدد من المرات. ضعف عدد العمال — نصف الوقت اللازم لنفس العمل. هذه الكميات لها حاصل ضرب ثابت.
الفرق الرئيسي يظهر عند كتابة التناسب. للارتباط الطردي، يتم تكوينه «كما هو»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). أما للارتباط العكسي، يتم قلب النسبة الثانية: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
لماذا؟ في الارتباط العكسي، حاصل الضرب ثابت: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). نقسم طرفي المعادلة على \(a_2 \cdot b_1\) — وسنحصل بالضبط على \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). لذا فإن «القلب» ليس تعويذة يجب تذكرها، بل هو نتيجة لكون حاصل الضرب ثابتًا، وليس النسبة.
| المعيار | طردي | عكسي |
|---|---|---|
| العلاقة | أكبر → أكبر | أكبر → أصغر |
| ثابت | النسبة a : b | حاصل الضرب a × b |
| الكتابة | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| مثال | 3 أقلام — 90 ج.م، 5 أقلام — 150 ج.م | 4 عمال — 9 أيام، 6 عمال — 6 أيام |
كيفية تكوين تناسب للمسألة: وصفة، قياس، سعر
المسائل النصية «على التناسب» تُحل بنفس السيناريو:
- اكتب المعطيات في عمودين بحيث تكون الكميات المتشابهة تحت بعضها (حصة تحت حصة، جرام تحت جرام).
- عيّن المطلوب بالرمز \(x\).
- حدد نوع الارتباط: فكر في زيادة الكمية الأولى وانظر هل الكمية الثانية تزيد أم تنقص.
- كوّن التناسب — في حالة الارتباط العكسي، اقلب النسبة الثانية.
- حل بالضرب التبادلي وتحقق مما إذا كانت الإجابة منطقية.
سنوضح ذلك بمثال وصفة. لـ 4 حصص من البان كيك، نحتاج 300 جرام دقيق — كم جرام دقيق نحتاج لـ 6 حصص؟ عدد الحصص أكبر، لذا كمية الدقيق أكبر: الارتباط طردي، يتم تكوين التناسب «كما هو»:
لـ 6 حصص نحتاج 450 جرام دقيق. الإجابة منطقية: عدد الحصص زاد بمقدار مرة ونصف، وكمية الدقيق المطلوبة زادت بمقدار مرة ونصف.
بنفس الطريقة تُحل مسائل القياس (المسافة على الخريطة نسبة إلى المسافة على الطبيعة بنفس نسبة 1 إلى رقم القياس) ومسائل السعر (كمية السلعة نسبة إلى الكمية بنفس نسبة التكلفة إلى التكلفة). التحليلات الكاملة — في الأمثلة أدناه.
النسب المئوية عبر التناسب
النسبة المئوية هي جزء من مائة، لذلك تتحول أي مسألة بسيطة عن النسب المئوية إلى تناسب:
حيث يكون أحد الأعداد الأربعة مجهولًا — وهو ما نبحث عنه بالضرب التبادلي.
إيجاد الجزء. كم سيكون 15% من 240؟ نكوّن \(x : 240 = 15 : 100\)، مما يعني \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) و \(x = 36\).
إيجاد الكل. العدد 21 يمثل 35% من عدد ما. نكوّن \(21 : x = 35 : 100\)، مما يعني \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) و \(x = 60\).
إيجاد النسبة المئوية. كم نسبة 18 من 45؟ نكوّن \(18 : 45 = p : 100\)، مما يعني \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) و \(p = 40\)، أي 40%.
طريقة واحدة — ثلاثة أنواع مختلفة من المسائل، لا حاجة لحفظ أي شيء إضافي. ما يستحق الذكر بشكل منفصل هو سؤال «بكم بالمئة زادت أو نقصت الكمية»: هنا نجد أولاً التغيير، ثم نقسمه على القيمة الأصلية — هذه هي صيغة التغيير النسبي المئوي، وليست تناسبًا بسيطًا.
أمثلة لحل التناسب مع شرح خطوة بخطوة
مثال 1. الحد الوسطي المجهول
المسألة. أوجد الحد المجهول في التناسب \(15 : x = 45 : 24\).
الخطوة 1. نحدد أي حد هو أي. الطرفان هما 15 و 24، والوسطان هما \(x\) و 45.
الخطوة 2. نطبق الخاصية الأساسية: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\)، أي \(360 = 45x\).
الخطوة 3. نقسم: \(x = 360 : 45 = 8\).
التحقق. \(15 : 8 = 1.875\) و \(45 : 24 = 1.875\) — النسبتان متساويتان.
الإجابة: \(x = 8\).
مثال 2. التناسب الطردي: السعر والكمية
المسألة. ستة دفاتر تكلف 210 ج.م. كم تكلف 10 دفاتر من نفس النوع؟
الخطوة 1. عدد الدفاتر أكبر — التكلفة أكبر، لذا الارتباط طردي.
الخطوة 2. نكتب المعطيات بحيث تكون الكميات المتشابهة بجانب بعضها، ونكوّن التناسب «كما هو»:
الخطوة 3. بالضرب التبادلي: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\)، إذن \(x = 2100 : 6 = 350\).
التحقق. الدفتر الواحد يكلف \(210 : 6 = 35\) ج.م، وعشرة دفاتر تكلف \(35 \cdot 10 = 350\) ج.م. يتطابق.
الإجابة: 350 ج.م.
مثال 3. التناسب العكسي: العمال والأيام
المسألة. ثمانية عمال ينجزون طلبية في 15 يومًا. في كم يوم تنجز 12 عاملًا نفس الطلبية إذا كانوا يعملون بنفس السرعة؟
الخطوة 1. عدد العمال زاد — الأيام المطلوبة ستقل. الارتباط عكسي.
الخطوة 2. نكوّن التناسب، مع قلب النسبة الثانية:
هنا \(x\) هو عدد الأيام لـ 12 عاملًا، و 15 هو عدد الأيام لـ 8 عمال: لقد تبادلا الأماكن لأن الارتباط عكسي.
الخطوة 3. بالضرب التبادلي: \(8 \cdot 15 = 12x\)، أي \(120 = 12x\) و \(x = 10\).
التحقق. حاصل الضرب ثابت: \(8 \cdot 15 = 120\) و \(12 \cdot 10 = 120\). يتطابق، والإجابة منطقية — عدد الأيام قل.
الإجابة: 10 أيام.
مثال 4. مقياس الخريطة
المسألة. مقياس الخريطة \(1 : 200\,000\). المسافة بين قريتين على الخريطة 7 سم. ما هي المسافة بينهما على الطبيعة؟
الخطوة 1. المقياس \(1 : 200\,000\) يعني: 1 سم على الخريطة يقابل 200 000 سم على الطبيعة. هذه نسبة جاهزة.
الخطوة 2. نكوّن التناسب:
الخطوة 3. بالضرب التبادلي: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\)، أي \(x = 1\,400\,000\) سم.
الخطوة 4. نحول إلى وحدات مناسبة: في الكيلومتر الواحد 100 000 سم، لذا \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) كم.
الإجابة: 14 كم.
مثال 5. النسب المئوية عبر التناسب
المسألة. في الفصل 25 طالبًا، ذهب 60% منهم في رحلة. كم شخصًا ذهب في الرحلة؟
الخطوة 1. الكل هو 25 طالبًا، وهو ما يمثل 100%. الجزء المطلوب هو \(x\) شخصًا، وهو ما يمثل 60%.
الخطوة 2. نكوّن التناسب «الجزء : الكل = النسبة المئوية : 100»:
الخطوة 3. بالضرب التبادلي: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\)، إذن \(x = 15\).
التحقق. 15 شخصًا من 25 هو \(15 : 25 = 0.6\)، أي 60% بالضبط.
الإجابة: 15 شخصًا.
أخطاء شائعة عند حل التناسب
-
ضرب الأعداد «على طول» وليس تبادليًا: في التناسب 5 : 2 = 20 : 8 يحسبون 5 · 2 و 20 · 8.
الخاصية الأساسية تربط الطرفين بالوسطين، أي الأعداد قطريًا: 5 · 8 = 40 و 2 · 20 = 40. حاصل الضرب متساوٍ — التناسب صحيح. أما 5 · 2 و 20 · 8 غير متساويين ولا يعنيان شيئًا.
-
في مسألة الارتباط العكسي، يتم تكوين تناسب «طردي». ست مضخات تملأ خزانًا في 10 ساعات؛ الكتابة 6 : 15 = 10 : x تعطي 25 ساعة لـ 15 مضخة.
عدد المضخات زاد — الوقت يجب أن يقل، لكنه زاد: هذا يعني أن التناسب لم يُكوّن بشكل صحيح. يجب قلب النسبة الثانية: 6 : 15 = x : 10، إذن 15x = 60 و x = 4 ساعات. تحقق دائمًا من منطقية الإجابة.
-
بعد «الضرب التبادلي» يتم القسمة بالعكس: من المعادلة 8x = 96 يحصلون على x = 8 : 96.
لإيجاد x، نقسم حاصل الضرب على المعامل الذي بجوار x: x = 96 : 8 = 12. عادة جيدة هي تعويض العدد الذي تم إيجاده مرة أخرى: 8 · 12 = 96، كل شيء صحيح.
-
عدم تطابق وحدات القياس. في مسألة المقياس 1 : 50 000 مع 3 سم على الخريطة، يكتبون الإجابة «1.5» بدون وحدات أو يسمونها أمتارًا.
أولاً نحسب بنفس الوحدات التي يُعطى بها المقياس: 3 · 50 000 = 150 000 سم. وفقط بعد ذلك نحول: 150 000 سم = 1500 م = 1.5 كم. الوحدات في الإجابة مهمة بنفس قدر العدد نفسه.
-
الخلط بين النسبة والتناسب: عند طلب تكوين تناسب، يكتبون نسبة واحدة «12 : 4».
النسبة هي حاصل قسمة عددين، مثل 12 : 4. التناسب هو تساوي نسبتين، ويحتوي بالضرورة على أربعة أعداد وعلامة يساوي: 12 : 4 = 30 : 10 (نتحقق: 12 · 10 = 120 و 4 · 30 = 120).
أسئلة وأجوبة
ما الفرق بين النسبة والتناسب؟
النسبة هي حاصل قسمة عددين، مثل 12 : 4. التناسب هو تساوي نسبتين، ويحتوي على أربعة أعداد: 12 : 4 = 30 : 10. النسبة تجيب على سؤال «كم مرة»، بينما يؤكد التناسب أن مقارنتين كهاتين تعطيان نفس النتيجة.
ما هي الحدود القصوى والوسطى للتناسب؟
في الكتابة a : b = c : d، الحدود القصوى هي تلك الموجودة على الأطراف، أي a و d. الحدود الوسطى هي تلك الموجودة في المنتصف، أي b و c. إذا كُتب التناسب ككسور، فإن الحدود القصوى هي بسط الكسر الأول ومقام الكسر الثاني، والحدود الوسطى هي مقام الكسر الأول وبسط الكسر الثاني.
كيف أتحقق من صحة التناسب؟
اضرب تبادليًا وقارن حاصل الضرب. على سبيل المثال، للتناسب 9 : 12 = 15 : 20 نحسب 9 · 20 = 180 و 12 · 15 = 180 — الأعداد تطابقت، لذا التناسب صحيح. إذا كانت حاصل الضرب مختلفًا، فالتناسب غير صحيح.
هل يمكن تبديل أماكن حدود التناسب؟
نعم، إذا تم ذلك وفقًا للقواعد. في التناسب الصحيح، يمكن تبديل أماكن الحدود القصوى، ويمكن تبديل أماكن الحدود الوسطى، ويمكن قلب كلا الطرفين دفعة واحدة — سيظل التناسب صحيحًا. من 4 : 6 = 10 : 15 نحصل على 4 : 10 = 6 : 15 أو 6 : 4 = 15 : 10 — حاصل الضرب قطريًا يساوي 60 في كل مرة. لكن لا يمكن تبديل مكان عدد واحد فقط.
ماذا يعني «حل التناسب بالضرب التبادلي»؟
هذا هو الاسم الشائع للخاصية الأساسية للتناسب. يتم ضرب الأعداد قطريًا، تبادليًا: الحد الأقصى في الحد الأقصى والحد الأوسط في الحد الأوسط. ينتج عن ذلك معادلة بمتغير واحد تُحل بقسمة واحدة. لا توجد «طريقة الضرب التبادلي» منفصلة بخلاف الخاصية الأساسية.
كيف أفهم إذا كان الارتباط في المسألة طرديًا أم عكسيًا؟
فكر في مضاعفة الكمية الأولى مرتين وانظر إلى الكمية الثانية. إذا تضاعفت هي الأخرى مرتين — فالارتباط طردي، ويتم تكوين التناسب «كما هو». إذا نقصت إلى النصف — فالارتباط عكسي، ويجب قلب النسبة الثانية. علامة أخرى: في الارتباط الطردي يكون حاصل قسمة الكميتين ثابتًا، وفي الارتباط العكسي يكون حاصل ضربهما ثابتًا.
كيف أحل مسائل النسب المئوية عبر التناسب؟
كوّن التناسب «الجزء : الكل = النسبة المئوية : 100» وأوجد المجهول بالضرب التبادلي. على سبيل المثال، 12% من 350: نحصل على x : 350 = 12 : 100، مما يعني 100x = 4200 و x = 42. بنفس الطريقة نوجد الكل بمعرفة الجزء، ونوجد النسبة المئوية نفسها.
