تربط نظرية فييتا جذور المعادلة التربيعية بمعاملاتها: للمعادلة المختزلة \(x^2 + px + q = 0\)، مجموع الجذرين يساوي \(-p\)، وجداءهما يساوي \(q\). هذا يسمح بإيجاد الجذور شفهيًا - بالاختيار، دون الحاجة للمميز. في هذه الصفحة - الصيغ الدقيقة للمعادلة المختزلة وللشكل العام، النظرية العكسية لفينيتا، خوارزمية اختيار الجذور، أمثلة محلولة ومدرب تفاعلي.
ما هي نظرية فييتا
نظرية فييتا هي قاعدة تربط جذور المعادلة التربيعية بمعاملاتها. تُصاغ كالتالي: إذا كان \(x_1\) و \(x_2\) هما جذرا المعادلة التربيعية المختزلة \(x^2 + px + q = 0\)، فإن
بالكلمات: مجموع الجذرين يساوي المعامل الثاني بعكس إشارته، وجداء الجذرين يساوي الحد الثابت. علامة الناقص في المجموع هي أهم نقطة في الموضوع بأكمله: يجب كتابة \(-p\) وليس \(p\).
بالنسبة للمعادلة بالشكل العام \(ax^2 + bx + c = 0\) (حيث \(a \neq 0\))، تُشتق الصيغ بقسمة الطرفين على \(a\):
تعمل النظرية فقط عندما تكون هناك جذور حقيقية، أي عندما يكون \(D \ge 0\). إذا كان المميز سالبًا، فلا يوجد ما يمكن اختياره: لا توجد أعداد حقيقية بهذا المجموع وهذا الجداء.
المعادلة المختزلة والشكل العام: متى نقسم على a
تُسمى المعادلة التربيعية مختزلة إذا كان معامل \(x^2\) يساوي واحدًا: \(x^2 + px + q = 0\). بالتحديد لهذه المعادلة تكون نظرية فييتا أقصر، لذلك يبدأ اختيار الجذور دائمًا بالاختزال.
إذا كان \(a \neq 1\)، تُقسم المعادلة أولاً على \(a\) حدًا بحد. على سبيل المثال، \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) بعد القسمة على 3 تصبح \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\)، أي \(p = -\frac{10}{3}\)، \(q = 1\). ومن هنا \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) و \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
يمكن كتابة نفس الفكرة مباشرة للشكل العام دون اختزال المعادلة: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)، \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). الخطأ الأكثر شيوعًا هو تطبيق الصيغ «القصيرة» \(-p\) و \(q\) على معادلة غير مختزلة والحصول على مجموع 10 بدلاً من \(\frac{10}{3}\).
النظرية العكسية لفينيتا
لنظرية فييتا نظرية عكسية، وهي التي تسمح بحل المعادلات بالاختيار. تُصاغ كالتالي: إذا كان العددان \(m\) و \(n\) بحيث
فإن \(m\) و \(n\) هما جذرا المعادلة \(x^2 + px + q = 0\).
الفرق جوهري. النظرية المباشرة تذهب من الجذور إلى المعاملات: الجذور معروفة بالفعل، ونحصل على علاقات بينها. النظرية العكسية تذهب من المعاملات إلى الجذور: نخمن زوجًا من الأعداد بالمجموع والجداء المطلوبين - ولدينا الحق الكامل في تسميتهما بالجذور، ولا يلزم إثبات أي شيء آخر.
من هنا تنبع أيضًا قاعدة مفيدة: إذا كان \(x_1\) و \(x_2\) هما الجذران، فإن كثيرة الحدود تتحلل إلى عوامل \((x - x_1)(x - x_2)\). على سبيل المثال، \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
اختيار الجذور بنظرية فييتا: الخوارزمية
اختيار الجذور هو التطبيق العملي الرئيسي للنظرية. يعمل أسرع من المميز عندما تكون الجذور أعدادًا صحيحة، ويستغرق خمس خطوات.
إشارات الجذور حسب المعاملات p و q
حتى قبل الاختيار، يمكنك معرفة إشارات الجذور - يكفي النظر إلى إشارات \(p\) و \(q\). هذا يقلل من التجريب بشكل كبير: يتضح على الفور ما إذا كنت تبحث عن زوج من الأعداد الموجبة، أو زوج من الأعداد السالبة، أو أعداد ذات إشارات مختلفة.
| p و q | الجذور | مثال |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | كلاهما > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | كلاهما < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | إشارات مختلفة | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 و −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
نظرية فييتا أم المميز: أيهما تختار
صيغة الجذور عبر المميز \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) تعمل دائمًا، لكنها تتطلب حسابات. نظرية فييتا تعمل فورًا، ولكن فقط إذا كان يمكن تخمين الجذور - عادةً ما تكون أعدادًا صحيحة صغيرة.
القاعدة العملية هي كالتالي:
- المعادلة مختزلة، و \(q\) يمكن تحليله إلى زوج من العوامل الصغيرة → جرب الاختيار بنظرية فييتا، والجواب يُحصل عليه شفهيًا;
- المعاملات كبيرة أو كسورية، والجذور لا يمكن تخمينها في 10-15 ثانية → احسب المميز;
- تحتاج فقط إلى عدد الجذور أو إشارات الجذور، ولا تحتاج إلى الجذور نفسها → يكفي \(D\) وجدول الإشارات أعلاه.
من المفيد أيضًا الجمع بينهما: احسب المميز وأوجد الجذور - تحقق من الإجابة بنظرية فييتا. يجب أن يعطي المجموع \(-p\) والجداء \(q\). مثل هذا التحقق يستغرق بضع ثوانٍ ويكشف عن أي خطأ حسابي تقريبًا.
أمثلة على الحل بنظرية فييتا
مثال 1. اختيار الجذور: كلا الجذرين موجبين
حل \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
الخطوة 1. المعادلة مختزلة: \(p = -9\)، \(q = 20\).
الخطوة 2. نتحقق من المميز: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) - يوجد جذران.
الخطوة 3. نسجل العلاقات: \(x_1 + x_2 = -p = 9\)، \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
الخطوة 4. نجرب تحليلات العدد 20: \(1\cdot 20\) (المجموع 21)، \(2\cdot 10\) (المجموع 12)، \(4\cdot 5\) (المجموع 9) - الزوج الأخير مناسب. كلا العاملين موجبين لأن \(q > 0\) و \(p < 0\).
الخطوة 5. التحقق بالتعويض. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\)؛ \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
الجواب: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = 5\).
مثال 2. جذور ذات إشارات مختلفة
حل \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
الخطوة 1. المعادلة مختزلة: \(p = 3\)، \(q = -28\).
الخطوة 2. \(q < 0\)، مما يعني أن الجذرين ذوا إشارات مختلفة والمميز موجب بالتأكيد: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
الخطوة 3. العلاقات: \(x_1 + x_2 = -3\)، \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
الخطوة 4. تحليلات 28: \(1\cdot 28\)، \(2\cdot 14\)، \(4\cdot 7\). نحتاج إلى فرق 3 - الزوج 4 و 7 مناسب. بما أن المجموع سالب، نأخذ الجذر الأكبر بالقيمة المطلقة بإشارة سالبة: 4 و \(-7\).
الخطوة 5. التحقق. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\)؛ \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
الجواب: \(x_1 = 4\)، \(x_2 = -7\).
مثال 3. معادلة بالشكل العام (a ≠ 1)
حل \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
الخطوة 1. المعامل \(a = 3\)، لذلك لا يمكن تطبيق الصيغ «القصيرة» \(-p\) و \(q\). نستخدم الشكل العام: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\)، \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
الخطوة 2. الجداء يساوي 1 - هذا يعني أن الجذرين متعاكسان: إذا كان أحدهما \(t\)، فإن الآخر هو \(\tfrac{1}{t}\). المجموع \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) يشير إلى \(t = 3\)، لأن \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
الخطوة 3. التحقق بالتعويض. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\)؛ \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
الجواب: \(x_1 = 3\)، \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
مثال 4. تكوين معادلة من جذورها
المهمة. تكوين معادلة تربيعية مختزلة جذراها هما \(-4\) و \(6\).
الخطوة 1. نحسب المجموع والجداء: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\)، \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
الخطوة 2. وفقًا للنظرية العكسية لفينيتا، المعاملات هي \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) و \(q = x_1 x_2 = -24\). هنا يكمن الفخ الرئيسي: \(p\) هو المجموع بعكس إشارته.
الخطوة 3. نكتب المعادلة: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
الخطوة 4. التحقق بالتعويض. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\)؛ \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
الجواب: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). نفس النتيجة تعطيها التحليل \((x + 4)(x - 6) = 0\).
مثال 5. التحقق من إجابة شخص آخر بنظرية فييتا
المهمة. حل طالب المعادلة \(x^2 + 5x + 6 = 0\) وسجل الإجابة: \(x_1 = 2\)، \(x_2 = 3\). تحقق مما إذا كان قد أخطأ.
الخطوة 1. بنظرية فييتا يجب أن يكون \(x_1 + x_2 = -p = -5\) و \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
الخطوة 2. إجابة الطالب تحقق الجداء (\(2\cdot 3 = 6\))، لكن المجموع لا يتطابق: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). إذن، الإجابة غير صحيحة: فقدت علامة الناقص.
الخطوة 3. نبحث عن الزوج الصحيح: نحتاج إلى أعداد بجداء 6 ومجموع \(-5\) - وهما \(-2\) و \(-3\) (كلاهما سالبان لأن \(q > 0\) و \(p > 0\)).
الخطوة 4. التحقق بالتعويض. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)؛ \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
الجواب: الجذور الصحيحة هي \(x_1 = -2\)، \(x_2 = -3\).
أخطاء شائعة عند التعامل مع نظرية فييتا
-
فقدان علامة الناقص في المجموع: كتابة $x_1 + x_2 = p$ بدلاً من $x_1 + x_2 = -p$.
علامة الناقص توجد فقط في المجموع، والجداء يؤخذ بنفس الإشارة: \(x_1 + x_2 = -p\)، \(x_1 x_2 = q\). تحقق من المعادلة البسيطة \(x^2 - 5x + 6 = 0\): هنا \(p = -5\)، مجموع الجذرين يساوي 5، والجذران هما بالفعل 2 و 3.
-
تطبيق الصيغ $-p$ و $q$ على معادلة غير مختزلة: بالنسبة لـ $2x^2 - 9x + 4 = 0$ يقولون «المجموع 9، الجداء 4».
طالما أن \(a \neq 1\)، فإن صيغ الشكل العام تعمل: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\)، \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). جذور هذه المعادلة هي 4 و \(\tfrac{1}{2}\)، وليس 4 و 1. أو اقسم المعادلة كلها على \(a\) أولاً.
-
اختيار الجذور دون التحقق من المميز: المعادلة $x^2 + x + 1 = 0$ يحاولون إيجاد زوج من الأعداد بمجموع $-1$ وجداء 1.
تأكد أولاً من وجود الجذور: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\)، لا توجد جذور حقيقية، وبالتالي لا يمكن الاختيار. نظرية فييتا تعمل فقط عندما يكون \(D \ge 0\).
-
اختيار زوج فقط بناءً على الجداء دون التحقق من المجموع: بالنسبة لـ $x^2 - 8x + 12 = 0$ يأخذون 3 و 4، لأن جداؤهما يساوي 12.
يجب التحقق من كلا العلاقتين فورًا. بالنسبة لـ \(x^2 - 8x + 12 = 0\)، الجداء 12 تعطيه الأزواج (1؛ 12)، (2؛ 6)، (3؛ 4)، بينما المجموع 8 تعطيه الزوج 2 و 6 فقط. التحقق: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) و \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
عند تكوين معادلة من جذورها، يأخذون $p$ مساويًا للمجموع: للجذور 2 و 5 يكتبون $x^2 + 7x + 10 = 0$.
المعامل \(p\) يساوي المجموع بعكس إشارته: \(p = -(2 + 5) = -7\)، \(q = 2\cdot 5 = 10\)، أي \(x^2 - 7x + 10 = 0\). التعويض يؤكد: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\)، \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
يعتقدون أن نظرية فييتا صحيحة فقط للجذور الصحيحة، ولا يستخدمونها للتحقق من الإجابة.
العلاقات \(x_1 + x_2 = -p\) و \(x_1 x_2 = q\) تتحقق مع أي جذور حقيقية - صحيحة، كسرية، أو غير نسبية. الاختيار الشفهي مناسب للأعداد الصحيحة، أما بالنسبة للباقي، تظل النظرية طريقة سريعة للتحقق من الإجابة التي تم الحصول عليها بالمميز.
أسئلة وأجوبة
كيف تُصاغ نظرية فييتا بكلمات بسيطة؟
إذا كانت للمعادلة التربيعية المختزلة \(x^2 + px + q = 0\) جذور، فإن مجموعها يساوي المعامل الثاني بعكس إشارته، وجداءها يساوي الحد الثابت: \(x_1 + x_2 = -p\) و \(x_1 x_2 = q\).
ما هو مجموع وجداء جذور المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$؟
بالنسبة للمعادلة بالشكل العام، مجموع الجذرين يساوي \(-\dfrac{b}{a}\)، والجداء يساوي \(\dfrac{c}{a}\). تُشتق هذه الصيغ من الحالة المختزلة بقسمة المعادلة كلها على \(a\).
ما الفرق بين النظرية العكسية لفينيتا والنظرية المباشرة؟
النظرية المباشرة تذهب من الجذور إلى المعاملات: بمعرفة الجذور، نحصل على المجموع \(-p\) والجداء \(q\). النظرية العكسية تذهب بالعكس: إذا أعطى زوج من الأعداد المجموع والجداء المطلوبين، فإن هذين العددين هما جذرا المعادلة. النظرية العكسية هي التي تسمح بحل المعادلات بالاختيار.
كيف أختار الجذور بنظرية فييتا؟
اختزل المعادلة إلى الشكل \(x^2 + px + q = 0\)، تأكد من أن \(D \ge 0\)، اكتب \(x_1 + x_2 = -p\) و \(x_1 x_2 = q\)، جرب تحليلات العدد \(q\) إلى أزواج من العوامل واختر الزوج الذي مجموعه يساوي \(-p\). على سبيل المثال، بالنسبة لـ \(x^2 + 6x + 8 = 0\) نحتاج إلى أعداد بجداء 8 ومجموع \(-6\) - وهما \(-2\) و \(-4\).
هل تعمل نظرية فييتا إذا كان المعامل عند $x^2$ لا يساوي واحدًا؟
نعم، ولكن بصيغة الشكل العام: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)، \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). الصيغ القصيرة \(-p\) و \(q\) صحيحة فقط للمعادلة المختزلة، لذلك عند \(a \neq 1\) تُقسم المعادلة على \(a\) أولاً.
ماذا أفعل إذا لم يكن من الممكن اختيار الجذور بنظرية فييتا؟
هذا يعني أن الجذور ليست صحيحة أو أنها غير موجودة. احسب المميز: عند \(D < 0\) لا توجد جذور حقيقية، وعند \(D \ge 0\) أوجد الجذور بالصيغة \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) ثم تحقق من الإجابة بنظرية فييتا.
كيف أحدد إشارات الجذور دون حل المعادلة؟
بناءً على إشارات \(p\) و \(q\) عند \(D \ge 0\): إذا كان \(q > 0\) و \(p < 0\) - كلا الجذرين موجبين؛ إذا كان \(q > 0\) و \(p > 0\) - كلا الجذرين سالبين؛ إذا كان \(q < 0\) - الجذران ذوا إشارات مختلفة؛ إذا كان \(q = 0\) - أحد الجذرين يساوي صفرًا.
في أي صف تُدرس نظرية فييتا؟
في الصف الثامن في دروس الجبر، مباشرة بعد المعادلات التربيعية والمميز. لاحقًا تُستخدم عند تحليل ثلاثية الحدود التربيعية إلى عوامل \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)، وعند دراسة الجذور مع معامل، وفي أسئلة امتحانات القبول (OGE و EGE).
