المتباينة هي تعبيران متصلان بعلامة <، >، ≤ أو ≥. حل المتباينة يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعلها متباينة عددية صحيحة. الإجابة لن تكون رقمًا واحدًا، بل مجموعة كاملة: فترة على المحور العددي أو اتحاد فترات. هذه الصفحة تجمع قاعدة أساسية لجميع أنواع المتباينات: كيفية قراءة العلامات، ما هي التحويلات المسموح بها، لماذا تنقلب العلامة عند القسمة على عدد سالب، وكيفية كتابة الإجابة بشكل صحيح. وبعد ذلك - استعراض لجميع أنواع المتباينات مع روابط لتحليلات مفصلة وتدريب للتحقق من فهمك.
ماذا يعني حل المتباينة
حل المتباينة هو أي قيمة للمتغير تجعل المتباينة متباينة عددية صحيحة. وحل المتباينة يعني إيجاد جميع هذه القيم وكتابتها كمجموعة.
قارنها بالمعادلة. معادلة \(2x = 8\) إجابتها رقم واحد \(x = 4\). متباينة \(2x < 8\) إجابتها عدد لا نهائي من الأرقام: \(3\) و \(0\) و \(-100\) و \(3.999\) كلها مناسبة. لا يمكن كتابتها كلها، لذلك تُكتب الإجابة على شكل فترة: \(x < 4\)، أي \((-\infty;\ 4)\).
التحقق مما إذا كان رقم معين حلاً سهلاً: عوض به بدلاً من المتغير وانظر ما إذا كانت المتباينة العددية صحيحة.
- \(x = 1\) في المتباينة \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) - صحيح، إذن \(1\) هو حل.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) - غير صحيح، إذن \(5\) ليس حلاً.
تُسمى متباينتان متكافئتين إذا كانت مجموعات حليهما متطابقة. حل المتباينة بأكملها هو سلسلة من الانتقالات إلى متباينة متكافئة أبسط، حتى يتبقى \(x\) بمفرده على اليسار.
علامات المتباينات: صارمة وغير صارمة
هناك أربع علامات، ويعتمد نوعها على الإجابة وطريقة كتابتها. العلامات الصارمة < و > لا تشمل النقطة الحدودية في الإجابة، بينما العلامات غير الصارمة ≤ و ≥ تشملها.
هذا الاختلاف يستمر طوال عملية الحل: العلامة الصارمة تعطي نقطة مفرغة (فارغة) على المحور وقوسًا دائريًا في الإجابة، والعلامة غير الصارمة تعطي نقطة مملوءة وقوسًا مربعًا.
| العلامة | كيف تُقرأ وماذا تعطي في الإجابة |
|---|---|
| < | أصغر منصارمةنقطة مفرغة، قوس دائري |
| > | أكبر منصارمةنقطة مفرغة، قوس دائري |
| ≤ | أصغر من أو يساويغير صارمةنقطة مملوءة، قوس مربع |
| ≥ | أكبر من أو يساويغير صارمةنقطة مملوءة، قوس مربع |
التحويلات المتكافئة: ماذا يمكنك فعله بالمتباينة
يمكن فعل نفس الشيء تقريبًا مع المتباينة كما هو الحال مع المعادلة، ولكن مع تعديل مهم واحد. يمكن الجمع والطرح بحرية: إذا أضفت نفس العدد أو التعبير إلى كلا الطرفين أو طرحته منهما، فلن تتغير مجموعة الحلول. هذا هو بالضبط ما يُستخدم لنقل الحدود عبر علامة التباين، مع تغيير إشارتها من موجب إلى سالب.
أما الضرب والقسمة فيعتمدان على إشارة العامل. عند ضرب أو قسمة كلا الطرفين على عدد سالب، تتغير علامة المتباينة إلى العكس: < تصبح >، ≤ تصبح ≥ والعكس صحيح. السبب واضح بالأرقام: من \(3 < 5\) الصحيحة، بعد الضرب في \(-1\) نحصل على \(-3\) و \(-5\)، و \(-3 > -5\) - ترتيب الأرقام انقلب.
نفس الشيء يحدث إذا بدلت بين الطرف الأيسر والأيمن: من \(7 < y\) نحصل على \(y > 7\).
| ماذا نفعل بكلا الطرفين | ماذا يحدث للعلامة |
|---|---|
| نضيف أو نطرح نفس العدد أو التعبير | العلامة تبقى كما هي |
| نضرب أو نقسم على عدد موجب | العلامة تبقى كما هي |
| نضرب أو نقسم على عدد سالب | العلامة تتغير |
| نبدل بين الطرف الأيسر والأيمن | العلامة تتغير |
| نضرب أو نقسم على تعبير يحتوي على متغير (x − 2) | لا يجوز ذلك |
كيفية كتابة الإجابة: المحور العددي والفترات
عندما يبقى المتغير وحده، يكون الحل شبه جاهز - يبقى فقط تنسيقه. الأسهل هو تمثيل الإجابة على المحور العددي أولاً، ثم حساب الفترة من المحور.
هناك ثلاث قواعد بسيطة لكتابة الإجابة، ولا تتغير بتغير نوع المتباينة:
- قوس دائري - النقطة لا تدخل في الإجابة (علامة صارمة، نقطة مفرغة);
- قوس مربع - النقطة تدخل في الإجابة (علامة غير صارمة، نقطة مملوءة);
- عند اللانهاية يكون القوس دائمًا دائريًا: \((-\infty;\ 4)\)، \([3;\ +\infty)\) - لا توجد صيغة مثل \([-\infty;\ 4]\)، اللانهاية ليست رقمًا ولا يمكن الوصول إليها.
إذا كانت الإجابة عبارة عن جزأين من المحور، يتم ربطهما بعلامة الاتحاد \(\cup\): على سبيل المثال، \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
أنواع المتباينات وطرق حلها
تُصنف المتباينات بناءً على كيفية دخول المتغير فيها - سواء كان في الدرجة الأولى، تحت التربيع، في المقام، أو تحت القيمة المطلقة. هذا هو ما يحدد طريقة الحل، لذلك الخطوة الأولى في أي حل هي تحديد نوع المتباينة. المنطق العام هو نفسه: تحويل المتباينة إلى صيغة «تعبير يُقارن بالصفر»، ثم تطبيق التقنية المناسبة لهذا النوع. ملخص الأنواع والطرق - في الجدول أدناه.
تجدر الإشارة بشكل منفصل إلى كيفية فك القيمة المطلقة - الجدول لا يشمل ذلك. عند \(a > 0\)، المتباينة \(|f(x)| < a\) تكافئ المتباينة المزدوجة \(-a < f(x) < a\) (تنتج نظامًا)، و \(|f(x)| > a\) تكافئ الاتحاد \(f(x) < -a\) أو \(f(x) > a\) (ينتج اتحاد فترات). أما إذا كان \(a < 0\)، فلا داعي للتفكير: القيمة المطلقة غير سالبة، لذلك \(|f(x)| < a\) ليس لها حلول، و \(|f(x)| > a\) صحيحة لجميع قيم \(x\) المسموح بها.
تُدرس المتباينات غير النسبية (التي تحتوي على جذر) و الأسية في المرحلة الثانوية: بالإضافة إلى التحويلات العادية، هناك عمل مع مجال القيم المسموح بها.
تحليلات مفصلة لأنواع فردية: المتباينات الخطية، المتباينات النسبية وطريقة الفترات، وجذور الثلاثي التربيعي يمكن إيجادها بسهولة باستخدام نظرية فييتا.
| النوع | كيف يبدو وكيف يُحل |
|---|---|
| خطي | ax + b > 0ننقل الحدود ونقسم على معامل x |
| تربيعي | ax2 + bx + c > 0نجد جذور الثلاثي التربيعي وننظر إلى القطع المكافئ |
| كسري نسبي | P(x) / Q(x) ≥ 0طريقة الفترات، نستثني أصفار المقام |
| بالقيمة المطلقة | | f(x) | < aنفك القيمة المطلقة حسب التعريف |
| نظام | متباينتان بقوس معقوفنحل كل متباينة على حدة، نأخذ التقاطع |
أنظمة ومجموعات المتباينات
غالبًا ما تنقسم المتباينة الواحدة إلى اثنتين، وعندئذ يكون من المهم عدم الخلط بين ما يجب فعله بالمجموعات الناتجة.
النظام (قوس معقوف) يعني «هذا وذاك في نفس الوقت». نحل كل متباينة على حدة، نمثل كلا الحلين على نفس المحور، ونأخذ التقاطع - الجزء المشترك. إذا لم يكن هناك جزء مشترك، فلا يوجد حل للنظام.
المجموعة (قوس مربع) تعني «إما هذا أو ذاك». هنا نأخذ الاتحاد - كل ما تم تلوينه بواسطة أحد الحلين على الأقل. تظهر المجموعة، على سبيل المثال، عند فك القيمة المطلقة بعلامة «أكبر من».
تجدر الإشارة بشكل منفصل إلى المتباينة المزدوجة من النوع \(-3 < 2x + 1 \le 7\): هذه كتابة مختصرة للنظام. تُجرى التحويلات على الأجزاء الثلاثة فورًا - نطرح، نقسم، وعند القسمة على عدد سالب، نقلب كلا العلامتين معًا.
أمثلة على حل المتباينات
مثال 1. التحقق مما إذا كان الرقم حلاً
المهمة. هل \(x = -1\) هو حل للمتباينة \(3x + 5 \ge 1\)؟
الخطوة 1. نعوض بـ \(-1\) بدلاً من \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
الخطوة 2. نقارن بالطرف الأيمن: \(2 \ge 1\) - متباينة عددية صحيحة.
الإجابة. نعم، \(-1\) هو أحد الحلول. لكن حل المتباينة يعني إيجاد جميع هذه الأرقام، وليس رقمًا واحدًا: هنا الإجابة \(x \ge -\frac{4}{3}\).
مثال 2. متباينة خطية مع تغيير الإشارة
المهمة. حل \(7 - 3x < 1\).
الخطوة 1. ننقل \(7\) إلى اليمين (أي نطرح \(7\) من كلا الطرفين - علامة المتباينة لا تتغير): \(-3x < 1 - 7\)، أي \(-3x < -6\).
الخطوة 2. نقسم كلا الطرفين على \(-3\). القاسم سالب، لذلك تنقلب العلامة: \(x > 2\).
الخطوة 3. نمثل على المحور: نقطة مفرغة عند \(2\)، نلون كل شيء إلى اليمين.
الإجابة. \(x > 2\)، أي \(x \in (2;\ +\infty)\).
مثال 3. متباينة تربيعية
المهمة. حل \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
الخطوة 1. نجد جذور الثلاثي التربيعي: \(D = 16 + 20 = 36\)، \(\sqrt{D} = 6\)، ومنها \(x_1 = -1\)، \(x_2 = 5\).
الخطوة 2. معامل \(x^2\) موجب، لذا فروع القطع المكافئ متجهة للأعلى: بين الجذور يكون الثلاثي التربيعي سالبًا، وخارجه موجبًا.
الخطوة 3. نحتاج إلى العلامة \(\le 0\)، أي القيم السالبة بالإضافة إلى الجذور نفسها (علامة غير صارمة) - نأخذ القطعة بين الجذور مع نهاياتها.
الإجابة. \(x \in [-1;\ 5]\).
مثال 4. متباينة بالقيمة المطلقة
المهمة. حل \(|x + 1| > 4\).
الخطوة 1. القيمة المطلقة أكبر من عدد موجب - هذا يعني أن التعبير داخل القيمة المطلقة إما أكبر من \(4\) أو أصغر من \(-4\). نحصل على مجموعة: \(x + 1 > 4\) أو \(x + 1 < -4\).
الخطوة 2. نحل كل منهما: من الأولى \(x > 3\)، من الثانية \(x < -5\).
الخطوة 3. هذه مجموعة، لذلك نأخذ اتحاد الفترات، وليس تقاطعها.
الإجابة. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
مثال 5. نظام متباينات
المهمة. حل النظام \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
الخطوة 1. المتباينة الأولى: \(2x > -4\)، نقسم على \(2\) الموجبة - العلامة تبقى كما هي، \(x > -2\).
الخطوة 2. المتباينة الثانية: \(x \le 4\).
الخطوة 3. نمثل كلا الحلين على نفس المحور ونأخذ التقاطع - المنطقة الملونة مرتين. الحد الأيسر لا يدخل (علامة صارمة)، الحد الأيمن يدخل (غير صارمة).
الإجابة. \(x \in (-2;\ 4]\).
أخطاء شائعة عند حل المتباينات
-
تم قسمة طرفي المتباينة على عدد سالب مع الاحتفاظ بنفس العلامة.
عند ضرب أو قسمة كلا الطرفين على عدد سالب، تتغير العلامة بالضرورة إلى العكس. من \(-5x \ge 10\) نحصل على \(x \le -2\)، وليس \(x \ge -2\). يمكنك التحقق بالتعويض: \(x = -3\) يعطي \(15 \ge 10\) - صحيح، لذا الإجابة الصحيحة هي بالفعل «أصغر من أو يساوي».
-
كتابة قوس مربع عند اللانهاية: $[-\infty;\ 7]$.
اللانهاية ليست رقمًا، لا يمكن «الوصول» إليها، لذلك القوس حول \(\infty\) دائمًا دائري: \((-\infty;\ 7]\). القوس المربع يُستخدم فقط عند الحد النهائي الذي يدخل في الإجابة.
-
الخلط بين نوع القوس ونوع النقطة: العلامة الصارمة تُكتب بقوس مربع.
العلامة الصارمة (\(<\), \(>\)) - الحد لا يدخل: نقطة مفرغة وقوس دائري. غير الصارمة (\(\le\), \(\ge\)) - الحد يدخل: نقطة مملوءة وقوس مربع. التحقق بسيط: عوض بالحد نفسه في المتباينة الأصلية وانظر ما إذا كانت النتيجة صحيحة.
-
ضرب كلا الطرفين في تعبير يحتوي على متغير «للتخلص من الكسر».
إشارة هذا التعبير غير معروفة، لذلك ليس من الواضح ما إذا كان يجب قلب علامة المتباينة أم لا - التحويل غير متكافئ. بدلاً من ذلك، ننقل كل شيء إلى جزء واحد، نوحد إلى كسر واحد، ونطبق طريقة الفترات.
-
كتابة رقم واحد كإجابة: «$x = 3$» بدلاً من مجموعة.
حل المتباينة هو مجموعة من القيم. اكتبها على شكل فترة: \(x > 3\)، أي \((3;\ +\infty)\). رقم واحد يمكن أن يكون عنصرًا من الإجابة، ولكنه ليس الإجابة نفسها.
-
أخذ اتحاد للنظام، وتقاطع لمجموعة.
بالنسبة للنظام (قوس معقوف، «و») - التقاطع، الجزء المشترك من الفترات. بالنسبة للمجموعة (قوس مربع، «أو») - الاتحاد عبر العلامة \(\cup\). وأيضًا: الصيغة «\(-2 < x > 5\)» ليس لها معنى - تُكتب هذه الإجابة كاتحاد فترتين.
أسئلة وأجوبة
ماذا يعني حل المتباينة؟
حل المتباينة يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعلها متباينة عددية صحيحة، وكتابتها كمجموعة. الإجابة ستكون فترة أو اتحاد فترات، وليس رقمًا منفصلاً.
ما هي أنواع المتباينات؟
حسب شكل التعبير الذي يحتوي على المتغير، نميز المتباينات الخطية (\(ax + b > 0\))، التربيعية (\(ax^2 + bx + c > 0\))، الكسرية النسبية (المتغير في المقام)، التي تحتوي على قيمة مطلقة، غير النسبية والأسية. بشكل منفصل، نميز أنظمة ومجموعات المتباينات. حسب علامة المتباينة، تُقسم إلى صارمة (\(<\), \(>\)) وغير صارمة (\(\le\), \(\ge\)).
متى تتغير علامة المتباينة إلى العكس؟
في حالتين: عند ضرب أو قسمة كلا الطرفين على عدد سالب، وعند تبديل الطرف الأيسر والأيمن. عند الجمع والطرح والقسمة على عدد موجب، تبقى العلامة كما هي.
متى يكون القوس دائريًا ومتى يكون مربعًا؟
دائري - إذا كانت النقطة الحدودية لا تدخل في الإجابة (علامة صارمة، نقطة مفرغة على المحور). مربع - إذا كانت تدخل (علامة غير صارمة، نقطة مملوءة). بجانب \(+\infty\) و \(-\infty\) يكون القوس دائمًا دائريًا.
بماذا يختلف حل المتباينة عن حل المعادلة؟
التحويلات شبه متماثلة، ولكن حل المعادلة عادة ما يتكون من أرقام منفصلة، بينما حل المتباينة يتكون من فترات كاملة. بالإضافة إلى ذلك، لدى المتباينة قاعدة تغيير العلامة عند الضرب والقسمة على عدد سالب، وهو ما لا يوجد في المعادلات.
ما هي المتباينة الكسرية ومتى تُدرس؟
تُسمى المتباينة التي تحتوي على المتغير في المقام متباينة كسرية (كسرية نسبية)، مثل \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\)؛ بسبب المقام، لديها مجال قيم مسموح بها، ولا يمكن حلها بالقسمة العادية. الخوارزمية خطوة بخطوة مع أمثلة - في مادة منفصلة المتباينات النسبية وطريقة الفترات.
في أي صف تُدرس حل المتباينات؟
تُدرس المتباينات الخطية والفترات العددية في الصف الثامن (وفقًا لميرزلياك - في الصف التاسع)، والمتباينات التربيعية والكسرية النسبية مع طريقة الفترات - في الصفين الثامن والتاسع، والمتباينات غير النسبية والأسية - في المرحلة الثانوية.
