يحل القانون العام للمعادلة التربيعية أي معادلة تربيعية على الصورة \(ax^2 + bx + c = 0\) (حيث \(a \neq 0\)). تُعطى جذورها بالصيغة \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). في هذه الصفحة، ستتعرف على معنى كل جزء، وكيفية استخدام القانون خطوة بخطوة، وكيف يحدد المميز عدد الحلول المتوقعة، بالإضافة إلى أمثلة محلولة بالكامل، ومدرب تفاعلي لتتمكن من التدرب فورًا.
ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية هي أي معادلة يمكن كتابتها على الصورة القياسية \(ax^2 + bx + c = 0\)، حيث \(a\) و \(b\) و \(c\) أعداد و \(a \neq 0\). تسمى الأعداد \(a\) و \(b\) و \(c\) المعاملات: \(a\) هو معامل \(x^2\)، و \(b\) هو معامل \(x\)، و \(c\) هو الحد الثابت.
يعطي القانون العام حلول المعادلة (الجذور) مباشرة من هذه المعاملات الثلاثة، دون الحاجة إلى التحليل إلى عوامل. وهو يعمل مع كل معادلة تربيعية، حتى تلك التي لا يمكن تحليلها بسهولة.
من أين يأتي (الاشتقاق): القانون هو ما تحصل عليه من خلال إكمال المربع للمعادلة العامة. اقسم \(ax^2 + bx + c = 0\) على \(a\)، وانقل الحد الثابت للطرف الآخر، وأضف \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) للطرفين لتكوين مربع كامل، ثم خذ الجذر التربيعي. النتيجة هي القانون الوحيد أدناه، الصالح لأي قيم \(a\) و \(b\) و \(c\).
المميز: كم عدد الجذور
الجزء الموجود تحت الجذر التربيعي، \(b^2 - 4ac\)، يسمى المميز (غالبًا ما يُكتب \(D\)). لست بحاجة إلى إكمال القانون بالكامل لتعرف عدد حلول المعادلة؛ فإشارة المميز تخبرك بذلك فورًا.
نظرًا لأنه لا يمكنك أخذ الجذر التربيعي الحقيقي لعدد سالب، فإن إشارة \(D\) تقسم كل معادلة تربيعية إلى ثلاث حالات بالضبط: جذران، جذر مكرر واحد، أو لا توجد جذور حقيقية. على الرسم البياني، هذا هو المكان الذي يقطع فيه القطع المكافئ \(y = ax^2 + bx + c\) محور السينات - مرتين، أو مرة واحدة (عند الرأس)، أو لا يقطعه على الإطلاق.
| المميز D = b² − 4ac | الجذور الحقيقية | ماذا تحصل عليه |
|---|---|---|
| D > 0 | جذران حقيقيان مختلفان | القطع المكافئ يقطع محور السينات مرتين. استخدم كلتا الإشارتين: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | جذر حقيقي واحد (مكرر) | القطع المكافئ يلمس محور السينات عند رأسه. تختفي ±: x = −b / 2a. |
| D < 0 | لا توجد جذور حقيقية | القطع المكافئ لا يلمس محور السينات أبدًا. لا يوجد جذر تربيعي حقيقي لعدد سالب. |
كيفية استخدام القانون العام للمعادلة التربيعية: خطوات
يعمل القانون العام للمعادلة التربيعية دائمًا بنفس الطريقة. اتبع هذه الخطوات الخمس بالترتيب ولن يخذلك أبدًا - الجزء الأصعب هو فقط قراءة المعاملات (مع إشاراتها) بشكل صحيح.
أمثلة على القانون العام للمعادلة التربيعية (خطوة بخطوة)
مثال 1. جذران حقيقيان (D > 0)
حل \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
الخطوة 1–2. هي بالفعل في الصورة القياسية، لذا استخرج المعاملات: \(a = 2\)، و \(b = -7\)، و \(c = 3\).
الخطوة 3. المميز: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
الخطوة 4. \(D = 25 > 0\)، لذا يوجد جذران حقيقيان مختلفان.
الخطوة 5. التعويض: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
باستخدام إشارة الجمع: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). باستخدام إشارة الطرح: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
الجذور: \(x = 3\) و \(x = \tfrac{1}{2}\).
مثال 2. جذر مكرر واحد (D = 0)
حل \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
الخطوة 1–2. الصورة القياسية جاهزة: \(a = 1\)، و \(b = -6\)، و \(c = 9\).
الخطوة 3. المميز: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
الخطوة 4. \(D = 0\)، لذا يوجد جذر حقيقي واحد بالضبط (جذر مكرر). تختفي إشارة \(\pm\) لأن \(\sqrt{0} = 0\).
الخطوة 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
الجذر: \(x = 3\) (هذه المعادلة التربيعية هي مربع كامل \((x-3)^2 = 0\)).
مثال 3. لا توجد جذور حقيقية (D < 0)
حل \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
الخطوة 1–2. الصورة القياسية: \(a = 1\)، و \(b = 2\)، و \(c = 5\).
الخطوة 3. المميز: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
الخطوة 4. \(D = -16 < 0\). نظرًا لأنه لا يمكنك أخذ الجذر التربيعي الحقيقي لعدد سالب، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية - قطعها المكافئ لا يقطع محور السينات أبدًا.
الخطوة 5. لا حاجة لمزيد من العمل للحلول الحقيقية. (إذا كنت قد درست الأعداد المركبة، فالجذور هي \(x = -1 \pm 2i\)، ولكن بالنسبة لإجابة حقيقية نتوقف هنا.)
أخطاء شائعة في القانون العام للمعادلة التربيعية
-
الخطأ في إشارة b، خاصة عندما يكون b سالبًا.
يبدأ القانون بـ −b. إذا كان b = −7، فإن −b = +7 - تلغي إشارتا السالب بعضهما البعض. اكتب التعويض بالكامل، مثل −(−7)، قبل التبسيط.
-
نسيان ± والإبلاغ عن جذر واحد فقط.
عندما يكون D > 0، تنتج ± إجابتين: واحدة بـ + وواحدة بـ −. احسب دائمًا كلًا من (−b + √D)/(2a) و (−b − √D)/(2a) ما لم يكن D = 0.
-
قسمة جزء فقط من البسط على 2a.
يتم قسمة البسط بالكامل، −b ± √D، على 2a - وليس فقط جزء √D. احتفظ به ككسر واحد: (−b ± √D) / (2a).
-
حساب المميز بشكل خاطئ عندما يكون a أو c سالبًا.
في D = b² − 4ac، طرح 4ac عندما يكون a·c سالبًا يؤدي في الواقع إلى الجمع. بالنسبة لـ 3x² − 2x − 1، فإن −4·3·(−1) = +12، لذا D = 4 + 12 = 16، وليس 4 − 12.
-
تطبيق القانون قبل كتابة المعادلة في الصورة القياسية.
انقل كل حد إلى طرف واحد بحيث تصبح المعادلة ax² + bx + c = 0 أولًا. على سبيل المثال، يجب أن تصبح x² = 5x − 6 معادلة x² − 5x + 6 = 0 قبل استخراج a و b و c.
أسئلة متكررة
ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية؟
القانون العام هو x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). وهو يعطي حلول أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0 (حيث a ≠ 0) مباشرة من المعاملات a و b و c.
كيف تستخدم القانون العام للمعادلة التربيعية خطوة بخطوة؟
اكتب المعادلة في الصورة القياسية ax² + bx + c = 0، وحدد a و b و c مع إشاراتها، واحسب المميز D = b² − 4ac، وتحقق من إشارته لمعرفة عدد الجذور، ثم عوض في x = (−b ± √D) / (2a) وبسّط نسختي الجمع والطرح.
ما هو المميز ولماذا هو مهم؟
المميز هو D = b² − 4ac، وهو التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي. تخبرك إشارته بعدد الجذور الحقيقية دون إكمال الحساب: D > 0 يعطي جذرين حقيقيين، D = 0 يعطي جذرًا مكررًا واحدًا، و D < 0 لا يعطي جذورًا حقيقية.
متى يجب أن أستخدم القانون العام بدلًا من التحليل إلى عوامل؟
التحليل إلى عوامل سريع عندما تكون المعادلة قابلة للتحليل بأعداد صحيحة صغيرة. يعمل القانون العام مع كل معادلة تربيعية، بما في ذلك تلك التي لا تتحلل بسهولة أو التي لها جذور غير نسبية أو غير صحيحة، لذا فهو الخيار الموثوق عندما لا يكون التحليل واضحًا.
من أين يأتي القانون العام للمعادلة التربيعية؟
يتم اشتقاقه عن طريق إكمال المربع للمعادلة العامة ax² + bx + c = 0: اقسم على a، وأكمل المربع بإضافة (b/2a)²، وأعد كتابة الطرف الأيسر كمربع كامل، وخذ الجذر التربيعي للطرفين. النتيجة هي القانون العام.
هل يمكن أن يعطي القانون العام للمعادلة التربيعية لا إجابة؟
إذا كان المميز سالبًا (D < 0)، فلا يوجد حل حقيقي لأنك لا تستطيع أخذ الجذر التربيعي الحقيقي لعدد سالب. لا تزال المعادلة تحتوي على جذرين مركبين، ولكن لا توجد جذور حقيقية - على الرسم البياني، لا يلمس القطع المكافئ محور السينات أبدًا.
