خصائص القوى هي ثماني قواعد تُستخدم لضرب القوى وقسمتها ورفعها إلى قوة وتبسيطها. تجمع هذه الصفحة جميع الصيغ في جدول واحد: حاصل ضرب وقسمة القوى ذات الأساس المتساوي، قوة القوة، قوة حاصل الضرب والقسمة، الأس الصفري، السالب والكسري. تم شرح كل خاصية مع توضيح سبب عملها، تليها أمثلة خطوة بخطوة، وتحليل للأخطاء الشائعة المتعلقة بالإشارات، ومدرب تفاعلي يمكنك من خلاله التحقق من فهمك على الفور.
ما هي القوة: الأساس والأس
القوة هي طريقة مختصرة لكتابة ضرب عوامل متطابقة. الكتابة \(a^n\) تعني أن العدد \(a\) يُضرب في نفسه \(n\) مرة:
هنا \(a\) هو أساس القوة (العدد الذي نضربه)، و \(n\) هو أس القوة (عدد مرات الضرب). على سبيل المثال، \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): الأساس يساوي 3، والأس يساوي 4.
هناك كتابتان جديرتان بالحفظ فورًا: \(a^1 = a\) (نسخة واحدة من العدد) و \(a^2\) - "المربع"، \(a^3\) - "المكعب". جميع القواعد أدناه تعمل مع الأساسات والأسس: بعض الخصائص تتطلب أساسات متساوية، والبعض الآخر أسس متساوية. التمييز بين هذين الحالتين أهم من حفظ الصيغ عن ظهر قلب.
جميع خصائص القوى: جدول الصيغ
من المفيد الاحتفاظ بخصائص القوى الثماني الأساسية أمام عينيك في جدول واحد. الخصائص الخمس الأولى تعمل لأي أس، بينما توسع الخصائص الثلاث الأخيرة مفهوم القوة ليشمل الأس الصفري، السالب والكسري. تم شرح كل خاصية مع توضيح سبب عملها، تليها أمثلة خطوة بخطوة، وتحليل للأخطاء الشائعة المتعلقة بالإشارات، ومدرب تفاعلي يمكنك من خلاله التحقق من فهمك على الفور.
| خاصية | صيغة |
|---|---|
| حاصل الضرب أساسات متساوية — نجمع الأسس | am · an = am+n |
| حاصل القسمة أساسات متساوية — نطرح الأسس | am : an = am−n |
| قوة القوة نضرب الأسس | (am)n = amn |
| قوة حاصل الضرب كل عامل يُرفع للقوة | (ab)n = anbn |
| قوة حاصل القسمة البسط والمقام يُرفعان للقوة | (a/b)n = an/bn |
| الأس الصفري أي عدد غير الصفر يساوي واحدًا | a0 = 1 |
| الأس السالب نقلب الكسر | a−n = 1/an |
| الأس الكسري هو الجذر من الدرجة n | am/n = ⁿ√(am) |
ضرب وقسمة القوى ذات الأساس المتساوي
هاتان هما العمليتان الأكثر شيوعًا على القوى.
عند الضرب، تُجمع الأسس، ولا يتغير الأساس:
لماذا؟ في العامل الأول، لدينا \(m\) أعداد متطابقة، وفي الثاني \(n\)، المجموع هو \(m+n\). على سبيل المثال، \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
عند القسمة، تُطرح الأسس (نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم):
على سبيل المثال، \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
هام: عند جمع وطرح القوى، لا تُجمع الأسس. الكتابة \(2^3 + 2^4\) لا يمكن تبسيطها إلى قوة واحدة: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\)، بينما \(2^7 = 128\). الخصائص تعمل فقط مع الضرب والقسمة.
الأساس لا يتغير أيضًا عند الضرب. \(2^3 \cdot 2^4\) هو \(2^7\) وليس \(4^7\): نجمع الأسس، ونكتب الأساس كما هو.
قوة القوة، قوة حاصل الضرب، وقوة حاصل القسمة
قوة القوة — تُضرب الأسس:
على سبيل المثال، \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
قوة حاصل الضرب — يُرفع كل عامل للقوة:
على سبيل المثال، \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
قوة حاصل القسمة — يُرفع كل من البسط والمقام للقوة:
على سبيل المثال، \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
غالبًا ما تُستخدم الصيغتان الأخيرتان من اليمين إلى اليسار — مما يسمح لنا بضرب القوى ذات الأساسات المختلفة ولكن الأسس المتساوية: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
إذا كانت الأساسات مختلفة والأسس مختلفة أيضًا، يتم عادةً توحيد الأساسات: نلاحظ أن الأعداد هي قوى لنفس العدد. على سبيل المثال، \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\)، وحاصل الضرب \(4^3 \cdot 8^2\) يتحول إلى \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
الأس الصفري والأس السالب للقوة
أي عدد غير الصفر، مرفوع للأس صفر، يساوي واحدًا:
هذا ليس اختراعًا، بل نتيجة لقاعدة القسمة: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\)، ولكن نفس القسمة تساوي \(216 : 216 = 1\). إذن، \(6^0 = 1\). التعبير \(0^0\) غير مُعرّف.
الأس السالب يعني واحدًا مقسومًا على القوة:
على سبيل المثال، \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)، و \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
نتيجة مفيدة: الكسر ذو الأس السالب يُقلب، ويصبح الأس موجبًا:
علامة السالب في الأس لا تجعل العدد سالبًا. الكتابة \(2^{-3}\) هي كسر موجب \(\frac{1}{8}\)، وليس \(-8\). علامة الأس مسؤولة عن "القلب"، وليس عن إشارة النتيجة.
الأهم: جميع الخصائص الثماني من الجدول تستمر في العمل مع الأس الصفري والأس السالب — على سبيل المثال، \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
الأس الكسري للقوة والجذور
الأس الكسري هو طريقة أخرى لكتابة الجذر:
مقام الكسر يحدد درجة الجذر، والبسط يحدد قوة ما تحت الجذر. أمثلة: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)، \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\)، \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
قيد: بالنسبة لمقام زوجي \(n\)، يجب أن يكون الأساس غير سالب (\(a \geqslant 0\)) — الجذر من درجة زوجية لعدد سالب غير مُعرّف في المنهج المدرسي.
لماذا هذا مفيد؟ نفس الخصائص تعمل مع الأسس الكسرية، لذلك يمكن ضرب وقسمة الجذور بسهولة عن طريق تحويلها إلى قوى. على سبيل المثال، \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
قوة عدد سالب: أين تضيع الإشارة؟
إذا كان الأساس سالبًا، فإن إشارة النتيجة تعتمد على زوجية الأس:
- أس زوجي — النتيجة موجبة: \((-3)^2 = 9\)؛
- أس فردي — النتيجة سالبة: \((-3)^3 = -27\).
من المهم بشكل خاص التمييز بين الكتابات مع الأقواس وبدون أقواس: \((-3)^2 = 9\)، ولكن \(-3^2 = -9\). في الحالة الثانية، يُرفع الرقم 3 فقط إلى المربع، وتبقى الإشارة السالبة في المقدمة. هذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا في فقدان الإشارة في الاختبارات.
من المفيد بشكل خاص تذكر قوى ناقص واحد: \((-1)^{100} = 1\)، و \((-1)^{101} = -1\) — الأس الزوجي يعطي \(+1\)، والأس الفردي يعطي \(-1\).
ترتيب العمليات في التعبيرات التي تحتوي على قوى
عندما يحتوي التعبير على قوى وعمليات عادية، يكون الترتيب كالتالي: أولاً الأقواس، ثم القوى والجذور، ثم الضرب والقسمة، وأخيرًا الجمع والطرح.
على سبيل المثال، \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): أولاً نرفع إلى المربع، ثم نضرب ونجمع.
أمثلة: كيفية تطبيق خصائص القوى
مثال 1. الضرب والقسمة في تعبير واحد
المسألة. بسّط \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
الخطوة 1. الضرب: الأساسات متساوية، نجمع الأسس — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
الخطوة 2. القسمة: نطرح الأسس — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
النتيجة. \(x^2\) (عندما \(x \neq 0\)).
مثال 2. قوة حاصل ضرب مع معامل
المسألة. ارفع \((3a^4)^3\) للقوة.
الخطوة 1. يُرفع كل عامل للقوة: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
الخطوة 2. نحسب كل جزء على حدة: \(3^3 = 27\)، وتُضرب أسس قوة القوة — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
النتيجة. \(27a^{12}\). الخطأ الشائع هنا هو نسيان رفع الثلاثة إلى المكعب وكتابة \(3a^{12}\).
مثال 3. أس سالب في حاصل ضرب
المسألة. احسب \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
الخطوة 1. الأساسات متساوية — نجمع الأسس حسب القاعدة العادية، السالب يشارك ببساطة في الجمع: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
الخطوة 2. \(8^3 = 512\).
النتيجة. \(512\). لاحظ: لم يكن من الضروري تحويل \(8^{-2}\) إلى كسر — خصائص القوى تعمل مع الأسس السالبة مباشرة.
مثال 4. كسر بأس سالب
المسألة. احسب \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
الخطوة 1. الأس السالب يقلب الكسر: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
الخطوة 2. نرفع البسط والمقام إلى المربع: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
النتيجة. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
مثال 5. أس كسري
المسألة. احسب \(81^{\frac{3}{4}}\).
الخطوة 1. مقام الأس هو درجة الجذر: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
الخطوة 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\)، لأن \(3^4 = 81\).
الخطوة 3. يبقى رفع الناتج إلى المكعب: \(3^3 = 27\).
النتيجة. \(27\). من الأسهل استخراج الجذر أولاً — الأعداد تكون أصغر مما لو حسبنا \(81^3\) أولاً.
مثال 6. تعبير مركب
المسألة. احسب \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
الخطوة 1. قوة القوة في البسط: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
الخطوة 2. قسمة القوى ذات الأساس المتساوي: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
الخطوة 3. \(3^2 = 9\).
النتيجة. \(9\). القاعدة العامة: أولاً نبسّط الأقواس وقوى القوة، ثم نتعامل مع الضرب والقسمة.
أخطاء شائعة عند العمليات على القوى
-
جمع الأسس عند **جمع** القوى: يكتبون $2^2 + 2^2 = 2^4$.
الأسس تُجمع فقط عند الضرب. هنا \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)، بينما \(2^4 = 16\) — المساواة غير صحيحة. لا يمكن تبسيط مجموع القوى إلى قوة واحدة، يمكن فقط أخذ عامل مشترك: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
ضرب الأساسات أيضًا: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
الأساس يبقى كما هو عند ضرب القوى، ويتغير الأس فقط: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
الاعتقاد بأن $(a+b)^n = a^n + b^n$، الخلط بين الجمع والضرب.
يمكن "توزيع" الأس فقط على حاصل الضرب: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — صحيح. أما \((2+3)^2 = 5^2 = 25\)، بينما \(2^2 + 3^2 = 13\). للجمع، نحتاج إلى صيغ الاختصار، وليس خصائص القوى.
-
الاعتقاد بأن $a^0 = 0$.
العكس: أي عدد غير الصفر، مرفوع للأس صفر، يساوي واحدًا — \(9^0 = 1\). الصفر في النتيجة يعطيه الأساس نفسه، الذي يساوي صفرًا (\(0^n = 0\) عندما \(n > 0\))، والتعبير \(0^0\) غير مُعرّف.
-
طرح الأسس بترتيب خاطئ: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم، وليس العكس: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). الترتيب هنا مهم بنفس أهمية الطرح العادي.
-
الاعتقاد بأن الأس السالب يجعل العدد سالبًا: $2^{-2} = -4$.
الأس السالب يعني كسرًا، وليس سالبًا: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). النتيجة تبقى موجبة.
-
فقدان الإشارة مع الأساس السالب: يكتبون $(-4)^2 = -16$.
مع الأس الزوجي، تختفي الإشارة السالبة: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). أما الكتابة بدون أقواس فتعني شيئًا آخر: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). الأقواس هي المفتاح.
أسئلة وأجوبة حول خصائص القوى
هل تُجمع أم تُضرب الأسس عند الضرب؟
عند ضرب القوى ذات الأساس المتساوي، تُجمع الأسس، ولا يتغير الأساس: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). على سبيل المثال، \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). تُضرب الأسس في حالة أخرى — عند رفع قوة إلى قوة: \((a^m)^n = a^{mn}\).
هل تُجمع أم تُطرح الأسس عند القسمة؟
تُطرح: نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم، \(a^m : a^n = a^{m-n}\) عندما \(a \neq 0\). على سبيل المثال، \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
ما قيمة العدد المرفوع للأس صفر؟
يساوي واحدًا، إذا كان الأساس ليس صفرًا: \(a^0 = 1\). هذا يتبع من قاعدة القسمة — حاصل القسمة \(a^n : a^n\) يساوي \(a^0\) وواحدًا في نفس الوقت. التعبير \(0^0\) غير مُعرّف في المنهج المدرسي.
كيف نتخلص من الأس السالب للقوة؟
نقلب التعبير إلى كسر: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). على سبيل المثال، \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). إذا كان الأساس نفسه كسرًا، فإنه يُقلب ببساطة، ويصبح الأس موجبًا.
ما هو أساس القوة وأسها؟
في الكتابة \(a^n\)، العدد \(a\) هو أساس القوة، أي العامل الذي يتكرر؛ \(n\) هو أس القوة، وهو يحدد عدد هذه العوامل. في الكتابة \(5^4\)، الأساس يساوي 5، والأس يساوي 4، والقيمة نفسها تساوي 625.
هل يمكن ضرب القوى ذات الأساسات المختلفة؟
يمكن تبسيطها إلى قوة واحدة إذا كانت الأسس متساوية: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). على سبيل المثال، \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). إذا كانت الأساسات والأسس مختلفة، يتم أولاً توحيد الأساسات (عند الإمكان)، وإلا تُترك كما هي.
كم عدد خصائص القوى الإجمالي؟
هناك ثماني خصائص أساسية: حاصل ضرب وقسمة القوى ذات الأساس المتساوي، قوة القوة، قوة حاصل الضرب، قوة حاصل القسمة، الأس الصفري، الأس السالب، والأس الكسري. تختلف طرق تجميعها في الكتب المدرسية المختلفة، لذا قد تجد صيغًا مثل "خمس خصائص" أو "عشر خصائص"، لكن المحتوى واحد — الملخص الكامل موجود في الجدول أعلاه.
ماذا يعني الأس الكسري للقوة؟
إنه جذر. مقام الكسر هو درجة الجذر، والبسط هو قوة ما تحت الجذر: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). على سبيل المثال، \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). بالنسبة لمقام زوجي، يجب أن يكون الأساس غير سالب.
في أي صف تُدرس خصائص القوى؟
تُدرس القوة ذات الأس الطبيعي وخصائصها الأساسية في الصف السابع من الجبر، والقوة ذات الأس الصحيح السالب في الصف الثامن، والقوة ذات الأس النسبي (الكسري) والجذور في الصفوف 9-11. هذه الخصائص نفسها مطلوبة في اختبارات OGE وEGE عند تبسيط التعبيرات.
