متطابقات الضرب المختصر هي متطابقات جبرية جاهزة تسمح بفك الأقواس وتحليل التعبيرات إلى عوامل دون الحاجة إلى عمليات ضرب طويلة. في هذه الصفحة، ستجد جدولاً يضم المتطابقات السبع: مربع المجموع والفرق، فرق المربعين، مكعب المجموع والفرق، ومجموع وفرق المكعبين. نشرح كل متطابقة مع الاستنتاج والأمثلة، وفي النهاية يوجد تدريب تفاعلي يمكنك من خلاله ممارسة تطبيق هذه المتطابقات فوراً.
ما هي متطابقات الضرب المختصر
متطابقات الضرب المختصر هي متطابقات تنتج عن ضرب كثيرات الحدود مرة واحدة وحفظ النتيجة. بعد ذلك، لا تحتاج إلى فك الأقواس في كل مرة: يكفي التعرف على «النمط» والتعويض بالأرقام أو الحروف الخاصة بك.
في منهج الجبر للصف السابع، تعمل هذه المتطابقات في اتجاهين:
- من اليسار إلى اليمين — لفك الأقواس بسرعة ورفع التعبير إلى مربع أو مكعب؛
- من اليمين إلى اليسار — لتحليل كثير الحدود إلى عوامل (وهذا ضروري لاختصار الكسور وحل المعادلات).
يتم حفظ سبع متطابقات في المجموع. أدناه جدول تذكيري، يليه شرح لكل متطابقة على حدة.
جدول متطابقات الضرب المختصر
من السهل الاحتفاظ بجميع متطابقات الضرب المختصر السبع أمام عينيك في جدول واحد. الحروف \(a\) و \(b\) هنا تمثل أي تعبيرات: رقم، متغير، أو حد جبري مثل \(2x\).
| المتطابقة | الصيغة |
|---|---|
| مربع المجموع | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| مربع الفرق | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| فرق المربعين | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| مكعب المجموع | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| مكعب الفرق | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| مجموع المكعبين | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| فرق المكعبين | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
مربع المجموع ومربع الفرق
ينتج مربع المجموع عن ضرب \((a+b)\) في نفسه:
بالكلمات: مربع المجموع يساوي مربع الحد الأول زائد ضعف حاصل ضرب الحد الأول في الثاني زائد مربع الحد الثاني. وبنفس الطريقة نستنتج مربع الفرق — حيث تصبح إشارة الحد الأوسط سالبة:
الأهم هو عدم نسيان الحد الأوسط \(2ab\): فبسببه \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). يختلف مربع المجموع ومربع الفرق فقط في الإشارة أمام \(2ab\)، بينما الحدين الطرفيين \(a^2\) و \(b^2\) دائماً بإشارة موجبة.
مثال. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
لمربع المجموع معنى هندسي واضح: إنه مساحة مربع كبير طول ضلعه \((a+b)\).
فرق المربعين
إذا ضربنا مجموع وفرق نفس التعبيرين، فإن الحدود الوسطى تلغي بعضها البعض:
تنتج صيغة فرق المربعين: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). هذه هي المتطابقة الأكثر فائدة للتحليل إلى عوامل: بمجرد رؤية فرق مربعين، قم بتحليله فوراً إلى حاصل ضرب.
مثال (فك الأقواس). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
مثال (التحليل إلى عوامل). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
هام: مجموع المربعين \(a^2 + b^2\) لا يمكن تحليله إلى عوامل باستخدام هذه الصيغة — فقط الفرق هو الذي يعمل.
مكعب المجموع، مكعب الفرق، مجموع المكعبين وفرق المكعبين
يحتوي مكعب المجموع ومكعب الفرق على أربعة حدود:
في مكعب الفرق، تتناوب الإشارات: \(+\,-\,+\,-\). ومرة أخرى، فخ شائع: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — لا يمكنك ببساطة «توزيع» الأس، ولا يجب إهمال الحدود الوسطى \(3a^2b\) و \(3ab^2\).
مثال. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
بشكل منفصل، لدينا مجموع وفرق المكعبين — وهما، على العكس، يقومان بتحليل التعبير إلى عوامل:
يسمى العامل الثاني المربع غير الكامل للمجموع أو الفرق. الإشارة في حده الأوسط دائماً معاكسة للإشارة في القوس الأول: في مجموع المكعبين \(-ab\)، وفي فرق المكعبين \(+ab\).
مثال. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
أمثلة على تطبيق متطابقات الضرب المختصر
مثال 1. فك الأقواس: مربع المجموع
المطلوب. تربيع \((2x+5)^2\).
الخطوة 1. نحدد متطابقة مربع المجموع: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)، حيث \(a = 2x\) و \(b = 5\).
الخطوة 2. نحسب كل حد:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
النتيجة. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
مثال 2. التبسيط باستخدام متطابقة فرق المربعين
المطلوب. إيجاد ناتج ضرب \((3x-4)(3x+4)\).
الخطوة 1. أمامنا حاصل ضرب فرق ومجموع نفس التعبيرين — هذا هو فرق المربعين \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)، حيث \(a = 3x\) و \(b = 4\).
الخطوة 2. نربع كل تعبير: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\)، \(b^2 = 4^2 = 16\).
النتيجة. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
مثال 3. التحليل إلى عوامل
المطلوب. تحليل \(x^2 - 36\) و \(x^3 + 27\) إلى عوامل.
فرق المربعين. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
مجموع المكعبين. نلاحظ أن \(27 = 3^3\)، مما يعني \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). نطبق المتطابقة \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) حيث \(a = x\) و \(b = 3\):
لاحظ الإشارة \(-3x\) في المربع غير الكامل — في مجموع المكعبين يكون الحد الأوسط بإشارة سالبة.
مثال 4. مكعب المجموع
المطلوب. فك الأقواس \((x+2)^3\).
الخطوة 1. متطابقة مكعب المجموع: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)، حيث \(a = x\) و \(b = 2\).
الخطوة 2. نحسب الحدود بالترتيب:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
النتيجة. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
أخطاء شائعة عند العمل مع متطابقات الضرب المختصر
-
نسيان ضعف حاصل الضرب: كتابة $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
في مربع المجموع والفرق يوجد دائماً حد أوسط \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). من السهل التحقق — اضرب \((a+b)(a+b)\) عمودياً، وسيظهر الحد الأوسط بنفسه.
-
خلط الإشارات في مربع الفرق وفرق المربعين.
في مربع الفرق، تكون الإشارة السالبة فقط أمام الحد الأوسط: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (الطرفان موجبان). أما في فرق المربعين، تكون الإشارة السالبة بين المربعين أنفسهما: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). هذه متطابقات مختلفة.
-
«توزيع» الأس في المكعب: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
لا تفعل ذلك. مكعب المجموع يحتوي على أربعة حدود: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). المتطابقة \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — هي شيء مختلف تماماً (مجموع المكعبين)، وهي للتحليل إلى عوامل.
-
وضع ضعف حاصل الضرب $2ab$ في المربع غير الكامل لمجموع/فرق المكعبين.
المربع غير الكامل هو \(a^2 \pm ab + b^2\)، بدون رقم 2 أمام \(ab\). الإشارة معاكسة لإشارة القوس الأول: مجموع المكعبين \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\)، فرق المكعبين \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
محاولة تحليل مجموع المربعين $a^2 + b^2$ إلى عوامل.
فقط فرق المربعين \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) هو الذي يمكن تحليله. مجموع المربعين \(a^2 + b^2\) لا يمكن تحليله إلى عوامل في المنهج المدرسي.
أسئلة وأجوبة
كم عدد متطابقات الضرب المختصر؟
سبع: مربع المجموع، مربع الفرق، فرق المربعين، مكعب المجموع، مكعب الفرق، مجموع المكعبين، وفرق المكعبين. جميعها موجودة في الجدول أعلاه.
ماذا يساوي مربع المجموع؟
مربع الحد الأول زائد ضعف حاصل ضرب الحد الأول في الثاني زائد مربع الحد الثاني: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). في مربع الفرق، يكون الحد الأوسط بإشارة سالبة: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
كيف نحلل فرق المربعين إلى عوامل؟
باستخدام الصيغة \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). على سبيل المثال، \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). يكفي أن ترى أن كلا الحدين مربعان كاملان، وبينهما إشارة سالبة.
لماذا $(a+b)^2$ لا تساوي $a^2 + b^2$؟
لأنه عند ضرب \((a+b)(a+b)\) يظهر حدان إضافيان متطابقان \(ab\)، واللذان يعطيان الحد الأوسط \(2ab\). لا يمكن إهماله: الصحيح هو \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
ما الفرق بين مكعب المجموع ومجموع المكعبين؟
مكعب المجموع \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — هو لفك الأقواس. مجموع المكعبين \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — هو العكس، للتحليل إلى عوامل. هذه متطابقات مختلفة، لا تخلط بينها.
في أي صف يتم تدريس متطابقات الضرب المختصر؟
عادة في الصف السابع في دروس الجبر: نبدأ بمربع المجموع والفرق، وفرق المربعين، ثم متطابقات المكعبات. يتم استخدامها بنشاط لاحقاً في تبسيط التعبيرات، اختصار الكسور، وحل المعادلات.
