المتباينة النسبية هي متباينة من الشكل \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\)، حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) كثيرات حدود، وبدلاً من علامة \(>\) يمكن أن تكون \(<\), \(\ge\) أو \(\le\). يتم حل هذه المتباينات بطريقة الفترات: يتم نقل كل شيء إلى الطرف الأيسر، وتحليل العوامل، وتحديد جذور البسط وجذور المقام على المحور العددي، وتعيين الإشارات. أدناه - التعريف، الخوارزمية الكاملة، قاعدة النقاط المستثناة، مضاعفة الجذور، أمثلة محلولة، وجهاز تدريب مع التحقق.
ما هي المتباينة النسبية
المتباينة النسبية هي متباينة يكون فيها كلا الطرفين عبارة عن تعبيرات نسبية، أي كثيرات حدود وكسور من كثيرات الحدود. بعد نقل كل شيء إلى جانب واحد، يتم دائمًا اختزالها إلى الشكل
حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) كثيرات حدود، وبدلاً من \(\vee\) توجد إحدى العلامات \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). يجب أن يكون الصفر على اليمين - هذا شرط ضروري لكي تعمل طريقة الفترات.
تنقسم المتباينات النسبية إلى نوعين. إذا كان المتغير يظهر فقط في البسط، تسمى المتباينة نسبية صحيحة: لا يوجد قسمة، وجميع قيم \(x\) مناسبة. إذا كان المتغير موجودًا في المقام، فإن المتباينة كسرية نسبية (تسمى أيضًا متباينة كسرية أو متباينة تحتوي على كسر) - وهذا يؤدي فورًا إلى قيد \(Q(x) \neq 0\).
لماذا لا يجوز ضرب طرفي المتباينة في المقام
أكبر إغراء عند حل متباينة تحتوي على كسر هو "التخلص من المقام" بضرب الطرفين فيه. يمكن فعل ذلك مع المعادلات، ولكن ليس مع المتباينات. السبب بسيط: عند الضرب في عدد سالب، ينقلب اتجاه علامة المتباينة، ولا يمكن معرفة إشارة التعبير \(Q(x)\) مسبقًا - فهي تعتمد على \(x\).
لننظر إلى المتباينة \(\frac{5}{x-3} < 1\). نضرب الطرفين في \(x - 3\) كما لو كان عددًا موجبًا: نحصل على \(5 < x - 3\)، أي \(x > 8\). نتحقق من الإجابة بالتعويض بـ \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - المتباينة صحيحة، مما يعني أن الصفر هو أيضًا حل، ولكنه لم يدخل في الإجابة \(x > 8\). تم فقدان الإجابة.
المسار الصحيح هو نقل كل شيء إلى اليسار وتوحيد المقامات:
في الخطوة الأخيرة، ضربنا الطرفين في \(-1\) و عكسنا العلامة - وهذا قانوني لأن \(-1\) سالب دائمًا. بعد ذلك، تعمل طريقة الفترات، وتكون الإجابة \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) - وهي تتضمن الصفر المفقود.
أسهل طريقة للتذكر هي: لا يجوز ضرب طرفي المتباينة في تعبير يحتوي على متغير، ولكن يجوز نقل الحدود دائمًا. النقل لا يغير علامة المتباينة.
طريقة الفترات: خوارزمية الحل خطوة بخطوة
تعتمد طريقة الفترات على خاصية واحدة: بين الجذور المتجاورة لتعبير نسبي، تكون إشارته ثابتة. هذا يعني أنه يكفي إيجاد جميع النقاط التي يساوي فيها البسط أو المقام الصفر، وتقسيم المحور العددي بها، وتحديد الإشارة في كل جزء - بنقطة اختبار واحدة أو بمضاعفة الجذور.
النقاط المستثناة والمغلقة: مجال التعريف وإشارة المتباينة
خطأ في قوس واحد يحول حلاً صحيحًا إلى إجابة خاطئة، لذلك يجب تعلم قاعدة النقاط بشكل منفصل. هناك اعتباران فقط يعملان.
الأول - مجال القيم المسموح بها. جذر المقام يُستثنى دائمًا، بغض النظر عن علامة المتباينة. عند هذه النقطة، الكسر غير موجود ببساطة: لا يمكن القسمة على صفر، لذلك لا يمكن أن تكون النقطة حلاً، حتى لو كانت العلامة غير صارمة.
الثاني - علامة صارمة أم غير صارمة. جذور البسط تجعل الكسر يساوي صفرًا. مع علامة غير صارمة (\(\le\) أو \(\ge\))، فإن المساواة بالصفر تناسبنا، مما يعني أن النقطة مغلقة وتدخل في الإجابة بقوس مربع. مع علامة صارمة (\(<\) أو \(>\))، فإن الصفر غير مناسب، ويتم استثناء النقطة.
على سبيل المثال، في المتباينة \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\)، يتم تلوين النقطة \(x = 6\) (جذر البسط، علامة غير صارمة)، ويتم استثناء النقطة \(x = -1\) (جذر المقام).
الإجابة: \(x \in (-1; 6]\).
| ما هي النقطة | كيفية تمثيلها |
|---|---|
| جذر المقام، Q(x) = 0 | مستثناة دائمًا، بغض النظر عن العلامة - النقطة ليست في مجال التعريف |
| جذر البسط، علامة صارمة < أو > | مستثناة الكسر يساوي صفرًا، ولكن المطلوب علامة مختلفة تمامًا |
| جذر البسط، علامة غير صارمة ≤ أو ≥ | مغلقة المساواة بالصفر مناسبة، النقطة تدخل في الإجابة |
مضاعفة الجذور: أين تتغير الإشارة وأين لا تتغير
الإشارات على الفترات ليست بالضرورة متناوبة - هذا هو الاعتقاد الخاطئ الأكثر شيوعًا في الموضوع. التناوب يعمل فقط عندما تكون جميع الأقواس من الدرجة الأولى. القاعدة الأكثر دقة هي من خلال مضاعفة الجذر - أس القوس المقابل.
عند الانتقال عبر جذر ذي مضاعفة فردية (أس 1، 3، 5)، تتغير إشارة التعبير. عند الانتقال عبر جذر ذي مضاعفة زوجية (أس 2، 4)، لا تتغير الإشارة: القوس ذو الأس الزوجي غير سالب ولا يفسد إشارة التعبير. يتم حساب المضاعفة بنفس الطريقة لكل من البسط والمقام.
لنأخذ \((x-9)^2(x+3) > 0\). الجذور: \(x = 9\) مضاعفة 2 و \(x = -3\) مضاعفة 1. على يمين التسعة، التعبير موجب. ننتقل عبر 9 - المضاعفة زوجية، الإشارة تبقى، على الفترة \((-3; 9)\) أيضًا موجب. ننتقل عبر -3 - المضاعفة فردية، تتغير الإشارة إلى سالب. إجابة المتباينة الصارمة: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)، النقطة 9 مستثناة لأن التعبير يساوي صفرًا عندها. أما بالنسبة للمتباينة غير الصارمة \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) فالإجابة مختلفة: \(x \in [-3; +\infty)\) - يتم تلوين التسعة و"لصق" فترتين في واحدة.
| مضاعفة الجذر | الإشارة عند الانتقال |
|---|---|
| فردية: (x − a), (x − a)3 | تتغير |
| زوجية: (x − a)2, (x − a)4 | لا تتغير |
المحور العددي على مثال: تعيين الإشارات
لنجمع كل شيء معًا في المتباينة \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). جذور البسط: \(x = -7\). جذور المقام: \(x = 2\) و \(x = 5\)، وهي تحدد مجال التعريف. جميع الأقواس الثلاثة من الدرجة الأولى، لذلك تتناوب الإشارات. نقطة الاختبار \(x = 10\) في أقصى فترة يمينية تعطي \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) - نبدأ بالزائد ونتحرك يسارًا، مع تغيير الإشارة عند كل نقطة.
أمثلة على حل المتباينات النسبية
مثال 1. متباينة كسرية بسيطة
حل \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
الخطوة 1. الصفر موجود بالفعل على اليمين، والكسر واحد - لا حاجة للنقل أو توحيد المقامات.
الخطوة 2. مجال التعريف. \(x + 5 \neq 0\)، أي \(x \neq -5\).
الخطوة 3. الجذور. البسط يساوي صفرًا عند \(x = 3\)، والمقام - عند \(x = -5\).
الخطوة 4. النقاط على المحور. \(x = 3\) نلونها (جذر البسط، علامة غير صارمة)، \(x = -5\) نستثنيها (جذر المقام).
الخطوة 5. الإشارات. نقطة الاختبار \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - زائد على اليمين. كلا القوسين من الدرجة الأولى، لذا تتناوب الإشارات: على \((-5; 3)\) ناقص، على \((-\infty; -5)\) زائد. نتحقق: عند \(x = -6\) نحصل على \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) - يتطابق.
الخطوة 6. الإجابة. نحتاج إلى علامة "زائد أو صفر": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
مثال 2. الصفر ليس على اليمين - ننقل
حل \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
الخطوة 1. ننقل الواحد إلى اليسار. لا يجوز الضرب في \(x - 4\)، لأن إشارة هذا التعبير غير معروفة:
الخطوة 2. نوحد المقامات.
الخطوة 3. مجال التعريف. \(x \neq 4\).
الخطوة 4. النقاط. \(x = -5\) - جذر البسط، علامة غير صارمة، نلونها. \(x = 4\) - جذر المقام، نستثنيها.
الخطوة 5. الإشارات. عند \(x = 5\) الكسر يساوي \(\frac{10}{1} > 0\). إذن على \((4; +\infty)\) زائد، على \((-5; 4)\) ناقص، على \((-\infty; -5)\) زائد.
الخطوة 6. الإجابة. \(x \in [-5; 4)\). التحقق من النقاط الحدودية: عند \(x = -5\) الكسر يساوي صفرًا - مناسب لـ \(\le\)؛ عند \(x = 4\) لا يوجد كسر - غير مناسب.
مثال 3. جذر ذو مضاعفة زوجية ونقطة معزولة
حل \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
الخطوة 1. مجال التعريف. \(x \neq 9\).
الخطوة 2. الجذور والمضاعفات. \(x = 2\) - مضاعفة 2 (زوجية)، \(x = -6\) - مضاعفة 1، \(x = 9\) - مضاعفة 1 في المقام.
الخطوة 3. النقاط. \(x = 2\) و \(x = -6\) نلونها (جذور البسط عند علامة غير صارمة)، \(x = 9\) نستثنيها.
الخطوة 4. الإشارات. نقطة الاختبار \(x = 10\): البسط موجب، المقام يساوي 1 - زائد. نتحرك يسارًا. عبر 9 (مضاعفة فردية) تتغير الإشارة: على \((2; 9)\) ناقص. عبر 2 (مضاعفة زوجية) الإشارة لا تتغير: على \((-6; 2)\) أيضًا ناقص. عبر -6 (مضاعفة فردية) تتغير الإشارة: على \((-\infty; -6)\) زائد.
الخطوة 5. الإجابة. نأخذ الفترات ذات علامة "زائد" بالإضافة إلى جميع النقاط التي يساوي فيها التعبير صفرًا. النقطة \(x = 2\) تقع داخل فترة سالبة، ولكن التعبير نفسه يساوي صفرًا عندها، لذا فهي تدخل في الإجابة بشكل منفصل:
مثل هذه النقطة "الوحيدة" في الإجابة هي علامة مؤكدة لجذر ذي مضاعفة زوجية عند علامة غير صارمة.
مثال 4. اختصار الكسر: فخ مجال التعريف
حل \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
الخطوة 1. نحلل إلى عوامل. البسط هو مربع كامل: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). بالنسبة للمقام، نحسب المميز: \(D = 81 + 40 = 121\)، الجذور \(x_1 = \frac{1}{5}\) و \(x_2 = -2\)، لذا \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
الخطوة 2. مجال التعريف - قبل أي اختصار. \(5x - 1 \neq 0\) و \(x + 2 \neq 0\)، أي \(x \neq \frac{1}{5}\) و \(x \neq -2\).
الخطوة 3. نختصر. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\)، ولكن فقط عند \(x \neq \frac{1}{5}\) - الاختصار لا يعيد النقطة المستثناة مرة أخرى.
الخطوة 4. نحل \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). الجذور: \(\frac{1}{5}\) و \(-2\). عند \(x = 1\) الكسر يساوي \(\frac{4}{3} > 0\). إذن على \((\frac{1}{5}; +\infty)\) زائد، على \((-2; \frac{1}{5})\) ناقص، على \((-\infty; -2)\) زائد.
الخطوة 5. نعيد مجال التعريف. الفترة \((-2; \frac{1}{5}]\) كانت ستكون مناسبة للإشارة، ولكن النقطة \(\frac{1}{5}\) مستثناة: في المتباينة الأصلية، المقام \(5x^2+9x-2\) عند \(x = \frac{1}{5}\) يساوي صفرًا، والكسر غير موجود هناك.
الإجابة: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - كلا القوسين دائريان.
مثال 5. ثلاثي الحدود التربيعي في البسط
حل \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
الخطوة 1. نحلل البسط. حسب نظرية فييتا، مجموع الجذور يساوي 7، والضرب 10، لذا \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). تأخذ المتباينة الشكل \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
الخطوة 2. مجال التعريف. \(x \neq -4\).
الخطوة 3. النقاط. جميع النقاط الثلاث مستثناة: \(-4\) - جذر المقام، \(2\) و \(5\) - جذور البسط عند علامة صارمة.
الخطوة 4. الإشارات. نقطة الاختبار \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). جميع الأقواس من الدرجة الأولى، لذا تتناوب الإشارات: على \((5; +\infty)\) زائد، على \((2; 5)\) ناقص، على \((-4; 2)\) زائد، على \((-\infty; -4)\) ناقص.
الخطوة 5. الإجابة. نحتاج إلى علامة "ناقص" الصارمة: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). التحكم بالتعويض: عند \(x = -5\) نحصل على \(\frac{70}{-1} < 0\)، عند \(x = 3\) نحصل على \(\frac{-2}{7} < 0\) - كلا الفترتين مناسبتان.
أخطاء شائعة عند حل المتباينات النسبية
-
ضرب طرفي المتباينة في المقام: من $\frac{3}{x-8} > 1$ يصبح $3 > x - 8$ ويكتب $x < 11$.
إشارة التعبير \(x - 8\) غير معروفة مسبقًا، وعند الضرب في عدد سالب تنقلب المتباينة. التحقق: \(x = 0\) يعطي \(\frac{3}{-8} < 1\) - الصفر ليس حلاً، على الرغم من دخوله في الإجابة \(x < 11\). الصحيح: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\)، أي \(\frac{11-x}{x-8} > 0\)، ومنها \(x \in (8; 11)\).
-
تلوين جذر المقام لأن العلامة غير صارمة: في $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ يكتبون الإجابة بقوس مربع عند السبعة.
جذر المقام يُستثنى دائمًا، بغض النظر عن العلامة: عند هذه النقطة الكسر غير موجود ببساطة. الإجابة الصحيحة: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - عند الواحد قوس مربع، عند السبعة قوس دائري.
-
اختصار الكسر وفقدان مجال التعريف: من $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ يحصلون على $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ ويدخلون النقطة $x = -3$ في الإجابة.
مجال التعريف يُكتب قبل الاختصار، بناءً على المقام الأصلي: \(x \neq -3\) و \(x \neq 5\). الكسر المختصر \(\frac{x+3}{x-5}\) غير موجب على \([-3; 5)\) - عند \(x = 0\) يساوي \(-0.6\)، وهو المطلوب للإشارة \(\le\). ولكن النقطة \(-3\) مستثناة حسب مجال التعريف، لذا الإجابة هي \((-3; 5)\)، وليس \([-3; 5)\).
-
يعتقدون أن الإشارات على الفترات تتناوب دائمًا، وللمتباينة $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ يضعون ناقصًا على يمين الواحد.
التناوب صحيح فقط مع الأقواس من الدرجة الأولى. الجذر \(x = 1\) له مضاعفة 2، لذا لا تتغير الإشارة عند المرور به. التعبير موجب على كامل الفترة \((-4; +\infty)\)، باستثناء الواحد نفسه، حيث يساوي صفرًا. الإجابة: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
يغيرون علامة المتباينة عند نقل حد: من $\frac{x}{x-2} \le 3$ يصبح $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
نقل حد من جزء إلى آخر لا يغير علامة المتباينة - فقط علامة الحد نفسه تتغير. تنقلب العلامة فقط عند الضرب أو القسمة لكلا الطرفين على عدد سالب. الصحيح: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\)، ثم \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\)، أي \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
يحددون على المحور فقط جذور البسط، ويتحققون من المقام "لاحقًا": للمتباينة $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ يضعون نقطة واحدة -11.
على المحور، يتم تحديد جميع الجذور دفعة واحدة - جذور البسط وجذور المقام، وإلا فإن الفترات ستكون خاطئة. هنا \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\)، لذا هناك ثلاث نقاط: \(-11\)، \(-4\) و \(4\)، وليس نقطة واحدة. كلها مستثناة (علامة صارمة)، الإجابة: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
أسئلة وأجوبة
ما هي المتباينة النسبية؟
هي متباينة يكون فيها كلا الطرفين تعبيرات نسبية (كثيرات حدود وكسور من كثيرات الحدود). بعد نقل كل شيء إلى الجزء الأيسر، يتم اختزالها إلى الشكل \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\)، حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) كثيرات حدود، وبدلاً من \(>\) يمكن أن تكون \(<\), \(\le\) أو \(\ge\).
كيف نحل المتباينات النسبية؟
بطريقة الفترات في ست خطوات: انقل كل شيء إلى اليسار، بحيث يبقى الصفر على اليمين؛ وحّد المقامات وحلل البسط والمقام إلى عوامل؛ اكتب مجال التعريف (\(Q(x) \neq 0\))؛ حدد على المحور العددي جذور البسط والمقام؛ عيّن الإشارات على الفترات باستخدام نقطة اختبار ومضاعفة الجذور؛ اكتب الفترات ذات الإشارة المطلوبة في الإجابة.
ما الفرق بين المتباينة الكسرية النسبية والمتباينة النسبية الصحيحة؟
في المتباينة النسبية الصحيحة، يظهر المتغير فقط في البسط، على سبيل المثال \((x-1)(x+4) > 0\)، ومجال التعريف هو جميع الأعداد الحقيقية. في المتباينة الكسرية النسبية، يوجد المتغير في المقام، على سبيل المثال \(\frac{x-1}{x+4} > 0\)، ويظهر القيد \(x \neq -4\). الخوارزمية هي نفسها - تتغير فقط النقاط المستثناة.
كيف نحل المتباينات التي تحتوي على كسر؟
بنفس الطريقة مثل أي متباينة نسبية: أولاً، انقل كل شيء إلى الجزء الأيسر ووحّد المقامات، بدلاً من التخلص من المقام. على سبيل المثال، \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) تتحول إلى \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\)، أي \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). البسط ثابت وسالب، لذا فإن الكسر غير سالب فقط عندما يكون المقام سالبًا: \(x + 2 < 0\). الإجابة: \(x \in (-\infty; -2)\).
لماذا لا يجوز ضرب طرفي المتباينة في المقام؟
لأن إشارة المقام تعتمد على \(x\): عند الضرب في تعبير موجب، تبقى علامة المتباينة كما هي، وعند الضرب في تعبير سالب - تنقلب. لا يمكن معرفة أي حالة هي الحالة مقدمًا، لذلك يتم فقدان جزء من الحلول وإضافة حلول أخرى بشكل غير صحيح. يمكن نقل الحدود دائمًا - النقل لا يغير علامة المتباينة.
كيف نجد مجال التعريف في المتباينة؟
بالنسبة للمتباينة النسبية، مجال التعريف هو جميع قيم \(x\) التي لا يساوي عندها المقام الصفر. اجعل المقام يساوي صفرًا، حل المعادلة واستبعد الأرقام التي تم العثور عليها. يجب كتابة مجال التعريف بناءً على المقام الأصلي، قبل اختصار الكسر - وإلا ستفقد النقاط المستثناة.
ما هي النقاط المستثناة والمغلقة؟
جذور المقام تُستثنى دائمًا، بغض النظر عن علامة المتباينة. جذور البسط تُغلق عند علامة غير صارمة (\(\le\) أو \(\ge\)) وتُستثنى عند علامة صارمة (\(<\) أو \(>\)). في كتابة الإجابة، تقابل النقطة المستثناة قوسًا دائريًا، والنقطة المغلقة - قوسًا مربعًا.
ما هي مضاعفة الجذر ولماذا هي ضرورية في طريقة الفترات؟
المضاعفة هي الأس الذي يدخل به القوس في التحليل. عند الانتقال عبر جذر ذي مضاعفة فردية، تتغير إشارة التعبير، وعند الانتقال عبر جذر ذي مضاعفة زوجية - تبقى كما هي. لهذا السبب لا تتناوب الإشارات دائمًا ببساطة: في \((x-9)^2(x+3)\) عند النقطة 9، تبقى الإشارة كما هي.
في أي صف يتم تدريس المتباينات النسبية؟
في الصف التاسع في دروس الجبر، بعد المتباينات التربيعية وتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. تستخدم طريقة الفترات لاحقًا للمتباينات الأسية واللوغاريتمية والجذرية، وكذلك في مهام OGE وامتحان ЕГЭ التخصصي.
