الكسر العشري هو عدد يفصل فيه الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بفاصلة: 3,25 أو 0,7. جميع العمليات على الكسور العشرية — الجمع والطرح والضرب والقسمة — تتم تقريباً مثل العمليات على الأعداد الطبيعية؛ الشيء الأهم هو الانتباه لمكان الفاصلة. ستجد في هذه الصفحة جميع القواعد مع أمثلة عمودية، ومذكرة حول تحريك الفاصلة، وشرحاً للأخطاء الشائعة، وتدريباً تفاعلياً للتحقق من فهمك.
منازل الكسر العشري
كل رقم بعد الفاصلة له اسم وقيمة:
- المنزلة الأولى — أجزاء من عشرة (0,1)؛
- الثانية — أجزاء من مئة (0,01)؛
- الثالثة — أجزاء من ألف (0,001) وهكذا.
خاصية مهمة: إذا أضفت أصفاراً إلى يمين الجزء الكسري، لا يتغير العدد: 5,7 = 5,70 = 5,700. سنستخدم هذه الخاصية باستمرار — فهي تسمح بمساواة عدد المنازل بعد الفاصلة عند الجمع والطرح والمقارنة.
جميع العمليات على الكسور العشرية: ملخص سريع
لكل عملية قاعدتها الأساسية الخاصة بالفاصلة. البطاقات الأربع أدناه هي جوهر الموضوع، وبعدها يتم شرح كل عملية بالتفصيل مع أمثلة.
جمع وطرح الكسور العشرية عمودياً
يتم الجمع والطرح وفق قاعدة واحدة:
- نكتب الأعداد عمودياً بحيث تكون الفاصلة بدقة تحت الفاصلة — عندها ستكون المنازل المتشابهة تحت بعضها: أجزاء من عشرة تحت أجزاء من عشرة، وأجزاء من مئة تحت أجزاء من مئة.
- إذا كان عدد المنازل بعد الفاصلة مختلفاً — نساويها بالأصفار.
- نجمع أو نطرح دون الالتفات للفواصل، مثل الأعداد الطبيعية.
- في الناتج نضع الفاصلة تحت فواصل الأعداد الأصلية.
يمكن أيضاً كتابة العدد الصحيح ككسر عشري: 6 = 6,00 — وهذا يساعد في أمثلة مثل 6 − 2,35.
قاعدة ضرب الكسور العشرية
الضرب هو العملية الوحيدة التي لا تحتاج فيها إلى محاذاة الفواصل. تتكون قاعدة ضرب الكسور العشرية من خطوتين:
- نضرب الأعداد دون الالتفات للفواصل — مثل الأعداد الطبيعية العادية.
- في الناتج، نفصل بالفاصلة من اليمين عدداً من الأرقام يساوي مجموع المنازل بعد الفاصلة في كلا العاملين معاً.
إذا كان عدد الأرقام في الناتج أقل مما يجب فصله — نضيف أصفاراً إلى اليسار: 12 × 3 = 36، ولكن بالنسبة لـ 0,12 × 0,3 يجب فصل ثلاث منازل، لذا الناتج هو 0,036.
تحقق سريع: عند الضرب في عدد أصغر من الواحد، يجب أن يكون الناتج أصغر من العامل الأول. إذا خرج الناتج أكبر — فهذا يعني أن الفاصلة في المكان الخطأ.
قسمة الكسور العشرية
هنا حالتان.
القسمة على عدد طبيعي. نقسم مطولاً كالمعتاد، ونضع الفاصلة في ناتج القسمة في اللحظة التي ينتهي فيها الجزء الصحيح من المقسوم: 8,46 : 2 = 4,23.
القسمة على كسر عشري. أولاً نتخلص من الفاصلة في المقسوم عليه: نحرك الفاصلة في كل من المقسوم والمقسوم عليه إلى اليمين بعدد متساوٍ من المنازل — أي نضرب كلا العددين في 10 أو 100 أو 1000. ناتج القسمة لا يتغير بذلك، وتتحول القسمة إلى الحالة الأولى.
الضرب والقسمة في 10، 100، 1000
أسرع العمليات على الكسور العشرية هي الضرب والقسمة في قوى العشرة. لا حاجة للعملية العمودية: يكفي تحريك الفاصلة بعدد الأصفار الموجودة في 10 أو 100 أو 1000. إذا لم تتوفر أرقام كافية — نضيف أصفاراً.
مقارنة الكسور العشرية
تتم مقارنة الكسور العشرية منزلة بمنزلة:
- أولاً الأجزاء الصحيحة: العدد الذي له جزء صحيح أكبر هو الأكبر.
- إذا تساوت الأجزاء الصحيحة — نقارن أجزاء العشرة، ثم أجزاء المئة، ثم أجزاء الألف، حتى نجد اختلافاً.
- لكي لا تخلط، ساوِ عدد المنازل بالأصفار: مقارنة 5,7 و 5,68 أسهل في صورة 5,70 و 5,68 — سبعون جزءاً من مئة أكبر من ثمانية وستين، إذاً 5,7 > 5,68.
طول الكتابة لا يعني شيئاً: 0,5 أكبر من 0,4999، رغم أن عدد أرقامه أقل.
العمليات على الكسور العشرية: أمثلة مع الحل
مثال 1. الجمع: 5,3 + 2,47
الخطوة 1. نساوي المنازل بعد الفاصلة: 5,3 = 5,30.
الخطوة 2. نكتب عمودياً، الفاصلة تحت الفاصلة.
الخطوة 3. نجمع كأعداد طبيعية: 530 + 247 = 777.
الخطوة 4. نضع الفاصلة تحت فواصل الأعداد المضافة: 7,77.
مثال 2. الطرح من عدد صحيح: 6 − 2,35
الخطوة 1. نمثل 6 ككسر عشري: 6 = 6,00.
الخطوة 2. نكتب عمودياً: 6,00 − 2,35.
الخطوة 3. نطرح مع الاستلاف من المنازل الأعلى: 3,65.
التحقق. 3,65 + 2,35 = 6 — النتيجة صحيحة.
مثال 3. الضرب: 2,5 × 0,04
الخطوة 1. نضرب دون الالتفات للفواصل: 25 × 4 = 100.
الخطوة 2. نعد المنازل بعد الفاصلة: واحدة في 2,5 واثنتان في 0,04 — المجموع ثلاث.
الخطوة 3. نفصل ثلاث منازل من اليمين: 0,100.
الخطوة 4. نحذف الأصفار في نهاية الجزء الكسري: 0,1.
التحقق من الترتيب. 0,04 أصغر من الواحد، إذاً الناتج يجب أن يكون أصغر من 2,5 — صحيح.
مثال 4. القسمة على كسر عشري: 1,44 : 1,2
الخطوة 1. نجعل المقسوم عليه عدداً صحيحاً: نحرك الفاصلة منزلة واحدة لليمين في كلا العددين — نحصل على 14,4 : 12.
الخطوة 2. نقسم الجزء الصحيح مطولاً: 14 : 12 = 1، والباقي 2.
الخطوة 3. انتهى الجزء الصحيح — نضع الفاصلة في الناتج وننزل 4: 24 : 12 = 2.
الناتج: 1,2. التحقق: 1,2 × 1,2 = 1,44.
أخطاء شائعة في العمليات على الكسور العشرية
-
عند الجمع والطرح، تتم محاذاة الأعداد من اليمين كما في الأعداد الصحيحة: 3,25 + 4,8 تُكتب عمودياً دون اعتبار للفاصلة ويحصلون على 3,73.
حاذِ الفواصل وليس الرقم الأخير: 4,8 = 4,80، وعندها 3,25 + 4,80 = 8,05. يجب أن تكون أجزاء العشرة تحت أجزاء العشرة، وأجزاء المئة تحت أجزاء المئة.
-
عند الضرب، يحاولون محاذاة الفواصل أو وضع الفاصلة في الناتج "تحت فواصل" العوامل.
في الضرب لا تُحاذى الفواصل أبداً. اضرب كأعداد صحيحة وافصل من اليمين عدداً من المنازل يساوي مجموع المنازل بعد الفاصلة في كلا العاملين.
-
إذا كان عدد أرقام الناتج أقل مما يجب فصله، يضيعون الأصفار: 0,12 × 0,3 = 0,36 بدلاً من 0,036.
12 × 3 = 36 — هذا رقمان فقط، ويجب فصل ثلاثة. أضف الأصفار الناقصة إلى اليسار: 0,036.
-
عند القسمة على كسر عشري، يحرك الفاصلة في المقسوم عليه فقط: 4,2 : 0,7 يحولونها إلى 4,2 : 7 ويحصلون على 0,6.
تُحرك الفاصلة في كلا العددين بنفس عدد المنازل: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. وإلا سيصغر الناتج 10 مرات.
-
مقارنة الكسور بعدد الأرقام: يعتقدون أن 5,68 أكبر من 5,7 لأن الكتابة أطول.
ساوِ المنازل بالأصفار وقارن منزلة بمنزلة: 5,70 و 5,68 — في أجزاء العشرة 7 > 6، إذاً 5,7 > 5,68.
-
عند الضرب والقسمة في 10، 100، 1000 يحرك الفاصلة في الاتجاه الخاطئ.
الضرب يزيد العدد — الفاصلة تتحرك لليمين: 3,74 × 10 = 37,4. القسمة تقلل العدد — لليسار: 3,74 : 10 = 0,374. عدد المنازل يساوي عدد الأصفار.
أسئلة وأجوبة
ما هي العمليات على الكسور العشرية التي تُدرس في الصف الخامس؟
في الصف الخامس يتم دراسة العمليات الأربع — الجمع والطرح والضرب والقسمة للكسور العشرية، بالإضافة إلى مقارنتها وتقريبها. عادة ما يبدأون بالجمع والطرح عمودياً، ثم الضرب والقسمة على عدد طبيعي، وفي النهاية — القسمة على كسر عشري.
هل يتغير الكسر العشري إذا أضفنا أصفاراً إلى اليمين؟
لا: 5,7 = 5,70 = 5,700 — هذا هو نفس العدد. تُستخدم إضافة الأصفار لمساواة عدد المنازل بعد الفاصلة عند الجمع والطرح والمقارنة. أما إدراج صفر بين الأرقام أو حذف صفر من منتصف العدد فلا يجوز — سيتغير العدد.
كيف نقرب الكسر العشري؟
حدد المنزلة التي تريد التقريب إليها، وانظر إلى الرقم الذي يليها: إذا كان أصغر من 5 — يبقى الرقم كما هو (3,748 ≈ 3,7)، إذا كان 5 أو أكثر — يزداد بمقدار واحد (2,85 ≈ 2,9). تُحذف جميع الأرقام التي على اليمين.
كيف نحول الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري؟
اقسم البسط على المقام: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. ليس كل كسر اعتيادي يعطي كتابة عشرية منتهية: مثلاً، 1/3 = 0,333… — كسر دوري غير منتهٍ. الكسر العشري المنتهي ينتج عندما يتحلل المقام إلى عوامل أولية هي 2 و 5 فقط.
ما هو ترتيب العمليات في التعبيرات التي تحتوي على كسور عشرية؟
الترتيب هو نفسه كما في الأعداد الطبيعية: أولاً العمليات داخل الأقواس، ثم الضرب والقسمة من اليسار لليمين، ثم الجمع والطرح من اليسار لليمين. الكتابة العشرية للأعداد لا تؤثر على ترتيب العمليات.
هل يمكن قسمة كسر عشري أصغر على كسر عشري أكبر؟
نعم. إذا كان المقسوم أصغر من المقسوم عليه، سيكون الناتج ببساطة أصغر من الواحد: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. في الجزء الصحيح من الناتج نكتب 0 ونكمل القسمة بعد الفاصلة.
