如何解决比例：基本性质和应用题解答

两个数的比是它们的商。比 \(2:3\)（读作“二比三”）表示一个数是另一个数的多少倍，或者一个数占另一个数的几分之几。它可以有两种写法：\(2:3\) 或分数 \(\frac{2}{3}\)——它们表示的是同一个意思。

比例是两个比的相等关系：

比例中有四个数，它们都有自己的名称。写在两端的数是极项，写在中间的数是均项。当两个比相等时，比例才成立。

比例的基本性质：极项的乘积等于均项的乘积。

为什么会这样？将等式 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) 的两边同时乘以 \(b \cdot d\)。左边会约掉 \(b\)，右边会约掉 \(d\)，剩下 \(a \cdot d = c \cdot b\)。这没什么神奇的，只是等式的基本性质。

这正是学生们所说的“交叉相乘解比例”：对角线上的数相乘。这个性质反过来也成立：如果对于四个数（没有一个为零）满足 \(a \cdot d = b \cdot c\)，那么它们就可以组成一个正确的比例。

由此可以得出两个技能：检查比例是否正确，以及在比例中查找未知数。

根据基本性质，可以得出两个简短的规则：

• 未知极项 = 均项乘积 : 已知极项；
• 未知均项 = 极项乘积 : 已知均项。

不必死记硬背。只需要一个通用的方法：交叉相乘，得到“数字 \(\cdot\, x\) = 数字”形式的等式，然后进行除法。我们以比例 \(x : 7 = 12 : 21\) 为例，分步讲解。

最后一步是检查，只需五秒钟，就能发现几乎所有的算术错误，所以不应跳过。

如果一个量增加（或减少）几倍，另一个量也随着增加（或减少）相同的倍数，那么这两个量称为成正比。多买一倍的笔记本，就多付一倍的钱。这类量保持它们的比不变。

如果一个量增加（或减少）几倍，另一个量反而减少（或增加）相同的倍数，那么这两个量称为成反比。多一倍的工人，完成同样的工作所需的时间就减少一半。这类量保持它们的积不变。

主要区别在于写比例时。对于正比关系，比例直接写成：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)。对于反比关系，第二个比要颠倒：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)。

为什么会这样？对于反比关系，积是恒定的：\(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)。将两边同时除以 \(a_2 \cdot b_1\) —— 就得到 \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)。所以“颠倒”不是需要记住的咒语，而是因为积保持不变，而不是比。

“比例”应用题的解题步骤是相同的：

1. 将已知条件按两列写出，使相同的量对齐（份数对份数，克对克）。
2. 用 \(x\) 表示未知数。
3. 确定比例关系：在心里将第一个量增加一倍，观察第二个量是增加还是减少。
4. 建立比例——对于反比关系，颠倒第二个比。
5. 交叉相乘求解，并检查答案是否合理。

以食谱为例。制作 4 份煎饼需要 300 克面粉——制作 6 份需要多少面粉？份数多了，面粉也应该多：这是正比关系，比例直接写成：

制作 6 份需要 450 克面粉。答案合理：份数增加了 1.5 倍，面粉也需要 1.5 倍。

比例尺（地图上的距离与实际距离的比）和价格（商品数量与价格的比）问题也是这样解决的。详细解析见下面的示例。

百分比是百分之一，因此任何简单的百分比问题都可以转化为比例：

其中一个数是未知的——我们用交叉相乘法来求解。

求部分。 240 的 15% 是多少？建立比例 \(x : 240 = 15 : 100\)，则 \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\)，所以 \(x = 36\)。

求整体。 数字 21 是某个数字的 35%。建立比例 \(21 : x = 35 : 100\)，则 \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\)，所以 \(x = 60\)。

求百分比。 18 占 45 的百分之多少？建立比例 \(18 : 45 = p : 100\)，则 \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\)，所以 \(p = 40\)，即 40%。

一种方法解决三种不同类型的问题，无需额外记忆。只有“百分比增加了多少或减少了多少”这个问题需要单独处理：先计算变化量，然后除以初始值——这已经是百分比变化公式，而不是简单的比例。