运算顺序是一套规则，用于确定数学表达式中各部分的计算先后顺序。最常用的记忆方法是 PEMDAS：Parentheses（括号）、Exponents（指数）、Multiplication（乘法）和 Division（除法）、Addition（加法）和 Subtraction（减法）。遵循此顺序，每个表达式都只有一个正确答案。本页面将分步讲解 PEMDAS 规则，提供包含括号和指数的例题，指出学生最常犯的错误，并提供互动测验供您立即练习。
PEMDAS 的含义：运算顺序
PEMDAS 是运算执行顺序的助记词。许多学生通过短语 “Please Excuse My Dear Aunt Sally”（请原谅我亲爱的阿姨萨莉） 来记忆。请从上到下依次执行：
- P — 括号 (Parentheses)。 先计算分组符号内的所有内容：( ), [ ], { }。
- E — 指数 (Exponents)。 接着计算幂和根，例如 3² 或 √9。
- M 和 D — 乘法和除法 (Multiplication and Division)。 两者优先级相同。按从左到右的顺序一起计算。
- A 和 S — 加法和减法 (Addition and Subtraction)。 两者优先级也相同。最后计算，同样按从左到右的顺序。
最重要的一点是许多学生容易忽略的：PEMDAS 不是六个独立的步骤。乘法并不总是先于除法，加法也不总是先于减法。每一对运算属于同一层级，在同一层级内，只需从左到右依次计算即可。
从左到右规则 (乘除与加减的优先级相同)
由于乘法和除法处于同一层级，您需要按照它们出现的顺序，即从左到右进行处理，而不是“先做所有乘法，再做所有除法”。加法和减法也是如此。
一个经典的陷阱是 20 ÷ 4 × 5。如果您先做乘法 (4 × 5 = 20)，您会得到 20 ÷ 20 = 1，这是错误的。由于除法在左侧，您应先做除法：20 ÷ 4 = 5，然后 5 × 5 = 25。同样的逻辑适用于 10 − 6 + 2：从左到右计算得到 4 + 2 = 6，而不是 10 − 8 = 2。
PEMDAS 与 BODMAS：规则相同，名称不同
在英国、澳大利亚和许多其他国家，同样的规则被称为 BODMAS（有时也称为 BIDMAS 或 BEDMAS）。字母看起来不同，但顺序完全一致，只是术语有所变化。
- B — Brackets（括号） 与 P — Parentheses（括号） 相同。
- O — Orders（阶/次）（或 I — Indices（指数），E — Exponents（指数））指幂和根。
- DM 和 MD 是相同的等优先级对，从左到右计算。
- AS 是加法和减法，从左到右计算。
因此，PEMDAS 和 BODMAS 总是得出相同的答案。下表逐一列出了它们的对应关系。
| 步骤 | PEMDAS | BODMAS | 操作内容 |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | 先计算分组符号内 |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | 幂和根 |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | 优先级相同，左 → 右 |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | 优先级相同，左 → 右 |
运算顺序示例（分步解析）
示例 1. 乘法先于加法
表达式： 3 + 4 × 2
步骤 1 — 括号/指数： 这里没有，跳过。
步骤 2 — 乘法/除法： 4 × 2 = 8。表达式变为 3 + 8。
步骤 3 — 加法/减法： 3 + 8 = 11。
一个常见的错误答案是 14，这是因为先算了 3 + 4。乘法必须在加法之前进行。
示例 2. 括号、指数，然后从左到右
表达式： (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
步骤 1 — 括号： 6 + 2 = 8。现在变为：8 × 3² ÷ 4 − 5。
步骤 2 — 指数： 3² = 9。现在变为：8 × 9 ÷ 4 − 5。
步骤 3 — 乘法/除法（从左到右）： 8 × 9 = 72，然后 72 ÷ 4 = 18。现在变为：18 − 5。
步骤 4 — 加法/减法： 18 − 5 = 13。
示例 3. 从左到右的陷阱
表达式： 20 ÷ 4 × 5
没有括号或指数，所以直接进行乘法和除法。它们优先级相同，所以我们从左到右读取。
步骤 1： 20 ÷ 4 = 5（除法在最左侧）。现在变为：5 × 5。
步骤 2： 5 × 5 = 25。
如果您先做了乘法 (4 × 5 = 20)，您会得到 20 ÷ 20 = 1 — 这是一个经典错误。字母顺序 M 在 D 前面并不意味着乘法优先；从左到右才是规则。
常见的 PEMDAS 错误
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因为字母顺序 M-D 和 A-S 而认为乘法总是先于除法（或加法先于减法）。
乘法和除法优先级相同，加法和减法也是如此。在每一对中，从左到右计算。在 20 ÷ 4 × 5 中，您先做除法，因为它在左侧，结果为 25 — 而不是 1。
-
忽略减法的从左到右规则，导致 10 − 6 + 2 被误读为 10 − 8 = 2。
从左到右计算：10 − 6 = 4，然后 4 + 2 = 6。加法不会“插队”到其左侧的减法前面。
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跳过括号或因为它们出现在表达式中间而最后计算它们。
无论分组符号位于何处，它们总是优先计算。在 2 × (3 + 4) 中，您先计算 3 + 4 = 7，然后再乘以 2，得到 14 — 而不是 2 × 3 + 4 = 10。
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误读指数的范围，将 −3² 和 (−3)² 视为相同。
指数仅应用于其下方的数字。−3² 意味着 −(3²) = −9，而 (−3)² 意味着 (−3)(−3) = 9。当您希望包含负号时，请使用括号。
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从外向内计算嵌套括号。
从最内层的分组开始，向外计算。在 2 × [3 + (4 − 1)] 中，先做 4 − 1 = 3，然后 3 + 3 = 6，最后 2 × 6 = 12。
常见问题解答
PEMDAS 代表什么？
PEMDAS 代表 Parentheses（括号）、Exponents（指数）、Multiplication and Division（乘法和除法）、Addition and Subtraction（加法和减法）。这是计算数学表达式的顺序。许多学生通过短语“Please Excuse My Dear Aunt Sally”来记忆。
PEMDAS 和 BODMAS 有什么区别？
数学上没有区别 — 只有名称不同。BODMAS（Brackets 括号、Orders 阶、Division 除法、Multiplication 乘法、Addition 加法、Subtraction 减法）在英国和许多其他国家教授，而 PEMDAS 在美国使用。Brackets 与 Parentheses 相同，Orders（或 Indices）与 Exponents 相同。两者对每个表达式都得出相同的答案。
在 PEMDAS 中，乘法总是先于除法吗？
不是。乘法和除法优先级相同。从左到右读取时，谁先出现就先算谁。例如，在 20 ÷ 4 × 5 中，您先做除法，因为它在左侧，然后再做乘法，结果为 25。
为什么我们需要运算顺序？
如果没有约定的顺序，同一个表达式可能会给不同的人带来不同的答案。例如，3 + 4 × 2，如果先乘则为 11，如果先加则为 14。PEMDAS 确保每个表达式只有一个正确结果。
如何处理指数和负号？
指数仅应用于其下方的数值。因此 −3² 等于 −(3 × 3) = −9，因为在应用负号之前，指数先与 3 结合。如果您希望包含负号，请写成 (−3)²，结果为 9。括号控制指数的覆盖范围。
如何处理嵌套括号？
从最内层的分组向外计算。在 2 × [3 + (4 − 1)] 中，先做 4 − 1 = 3，然后 3 + 3 = 6，最后 2 × 6 = 12。每一层分组在计算外层之前都会先被解决。
