等差数列是指这样一个数列：其中每一项都比前一项多一个固定的数 \(d\)（称为数列的公差）。它的任意一项都可以用公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 计算，而前 \(n\) 项的和则用公式 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) 计算。本页将解析定义与公差，两个求和公式，特征性质，判断一个数是否属于数列，与等比数列的区别，典型的OGE题目以及用于自我检测的互动练习器。
什么是等差数列
等差数列是指一个数列，其中每一项都由前一项加上一个相同的数得到。这个数称为数列的公差，用字母 \(d\) 表示。
用一个公式定义：数列 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 称为等差数列，如果对于任意的 \(n\)，都有
我们来看数列 3, 7, 11, 15, 19, … 这里首项 \(a_1 = 3\)，公差 \(d = 4\)：每一项都比前一项大 4。因此下一项是 23，如果继续往前推，3 前面应该是 -1。
整个数列仅由两个数确定——首项 \(a_1\) 和公差 \(d\)。知道这对数值，就可以确定任意一项，计算任意多项前n项的和，并判断一个给定的数是否出现在数列中。数列用符号 \((a_n)\) 表示，其各项用 \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) 等表示，其中下标始终表示项的序号，而不是数值。
等差数列公差：如何求d
公差总是后一项减去前一项：
减法的顺序很重要：如果顺序颠倒，公差的符号就会相反。对于数列 20, 17, 14, 11, 8，公差是 \(17 - 20 = -3\)，而不是 \(+3\)。
\(d\) 的符号完全决定了数列的行为：
- \(d > 0\) — 数列递增，各项增大；
- \(d < 0\) — 数列递减，各项减小；
- \(d = 0\) — 所有项都相等，例如 6, 6, 6, 6, … 这也是等差数列，只是一个常数列。
如果已知两个不同序号的项，则公差可以通过以下公式计算：
例。 假设 \(a_4 = 30\) 且 \(a_{10} = 6\)。那么 \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\)，首项为 \(a_1 = a_4 - 3d = 30 - 3(-4) = 30 + 12 = 42\)。我们来验证数列的开头：42, 38, 34, 30 — 第四项确实是 30。
公差不一定是整数：数列 1; 1.5; 2; 2.5 的公差是 0.5，这是一个完整的等差数列。
等差数列通项公式
该主题的核心公式允许我们在不列出所有前项的情况下找到任意一项：
为什么是 \(n - 1\)？从第一项到第 \(n\) 项，公差需要加的次数不是 \(n\) 次，而是少一次：到第二项加一次，到第三项加两次，到第二十项加十九次。
例。 对于数列 3, 7, 11, 15, 19, … 我们有 \(a_1 = 3\) 且 \(d = 4\)，因此
这种紧凑的写法非常方便：一眼就能看出 \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\)，而 \(a_{100} = 399\)。它还提示了公差：任何等差数列的通项公式都是线性的，形式为 \(a_n = dn + c\)，其中 \(n\) 的系数就是公差。
有时首项未知，但给出了其他某一项。这时，同样的思路以一般形式适用：\(a_n = a_k + (n - k)d\)。
等差数列的特征性质
数列中除首项外的任意一项都等于其前后两项的算术平均值：
这正是它被称为等差数列的原因。这个等式反过来也成立：如果一个数列中，每一项都等于其前后两项的平均值，那么这个数列就是等差数列。这种说法被称为等差数列的判定定理，在解题时用来证明三个数构成等差数列。
例。 三个数 7, \(x\), 23 是等差数列的连续三项。那么 \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\)。验证：7, 15, 23 — 公差分别是 8 和 8，一切吻合。
这个性质的另一种方便的写法是：\(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\)，即中间项的两倍等于两端项的和。这样写在处理用字母表示的项时更方便。
等差数列前n项和
前 \(n\) 项的和 \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) 可以用以下两个公式之一计算：
第一个公式的思路就是传说中高斯在计算1到100的和时发现的。如果将首项与末项相加，第二项与倒数第二项相加，以此类推，所有这些对的和都相同。因此 \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\)。
第二个公式是由第一个公式代入 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 推导出来的——当末项未知且不想单独计算它时使用。
例。 计算数列 3, 7, 11, 15, 19, … 的前二十项和。
根据第一个公式：\(a_{20} = 79\)，所以 \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)。
根据第二个公式：\(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)。
结果一致——这是计算的最佳验证方法。
如何判断一个数是否属于等差数列
判断一个数是否为数列的某一项，需要解一个方程。当且仅当其序号 \(n\) 是自然数（1, 2, 3, …）时，该数才属于该数列。如果 \(n\) 是分数或非正数，则表示该项不存在。
例 1。 数字 99 是否属于数列 3, 7, 11, 15, 19, …？该数列的通项公式是 \(a_n = 4n - 1\)，因此我们解方程 \(4n - 1 = 99\)，得到 \(4n = 100\)，\(n = 25\)。序号是自然数——这意味着 99 在数列中，是它的第 25 项。
例 2。 数字 2026 呢？从 \(4n - 1 = 2026\) 得到 \(4n = 2027\)，\(n = 506.75\)。序号是分数，因此 2026 不属于该数列。
一个方便的口算提示：对于通项公式为 \(a_n = 4n - 1\) 的数列，所有项除以 4 都余 3。数字 2026 除以 4 余 2，因此它“错过了”这个数列。
等差数列典型OGE题目
数学OGE考试每年都会出现数列题，几乎所有题目都归结为四种类型。
根据序号求项值。 已知 \(a_1\) 和 \(d\)（或前几项）— 代入 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)。
根据值求序号。 已知一个数 — 令其等于通项公式并解关于 \(n\) 的方程。
求和。 使用两个公式之一计算 \(S_n\)；如果缺少 \(a_n\) — 先求出它。
求项数。 通项公式可以推导出方便的公式：\(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)。
另外还有应用题，其中等差数列隐藏在情境中。例如：第一天工人制作了 12 个零件，之后每天比前一天多制作 3 个零件；15 天后他总共制作了多少个零件？这里 \(a_1 = 12\)， \(d = 3\)， \(n = 15\)。计算末项：\(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\)。那么 \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) 个零件。
这类题目的主要建议：先单独列出已知条件（\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)）和要求解的目标。考试中一半的错误不是因为公式，而是因为混淆了序号和项的值。
等差数列与等比数列：区别是什么
两种数列都是通过一个规则从一项得到下一项。区别在于操作：等差数列是加上一个固定的数 \(d\)，等比数列是乘以一个固定的数 \(q\)，称为公比。
因此它们的行为也不同。等差数列是匀速增长，“一级一级”地：3, 7, 11, 15 — 每一步都加 4。等比数列则呈指数级增长：3, 6, 12, 24 — 每一步都翻倍，十步之后项就会超过一千五百。
区分数列类型很简单：计算相邻两项的差和比。差相同 — 是等差数列，比相同 — 是等比数列。如果两者都不相同，那它就只是一个普通数列：例如，1, 4, 9, 16 — 这是自然数的平方，不是数列（差分别是 3, 5, 7，比也不同）。
在学校课程中，这两种数列通常在九年级一起学习，因此公式很容易混淆。记住一个关键点：等差数列是加减公差 \(d\)，等比数列是乘除公比 \(q\)。其他都是由此推导出来的。
等差数列例题解析
例 1. 根据两项求首项和公差
已知。 \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\)。求 \(a_1\), \(d\) 和 \(a_{20}\)。
步骤 1。 从第三项到第七项共有 \(7 - 3 = 4\) 步，每步加 \(d\)。所以 \(a_7 = a_3 + 4d\)，即 \(30 = 14 + 4d\)，得到 \(4d = 16\)，\(d = 4\)。
步骤 2。 回溯到首项：\(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 2(4) = 14 - 8 = 6\)。
步骤 3。 写出通项公式：\(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\)。
步骤 4。 计算所需项：\(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\)。
验证。 列出数列开头：6, 10, 14, 18, 22, 26, 30。第三项是 14，第七项是 30 — 符合。
答案： \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\)。
例 2. 前 30 项的和（两个公式）
已知。 数列 \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) 求 \(S_{30}\)。
步骤 1。 确定参数：\(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\)。
步骤 2。 求第三十项：\(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\)。
步骤 3。 用第一个公式计算：\(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\)。
步骤 4. 用第二个公式验证。 先算分子：\(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\)。
然后同第三步：\(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\)。
两种方法结果都是 1155 — 说明计算正确。
答案： \(S_{30} = 1155\)。
例 3. 所有两位数中能被 7 整除的数的和
题目。 求所有能被 7 整除的两位数的和。
步骤 1。 这些数本身构成一个公差为 7 的等差数列。最小的两位数中能被 7 整除的是 14，最大的（小于 100）是 98（下一个 105 已经是三位数）。得到 \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\)。
步骤 2。 计算项数：\(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\)。
步骤 3。 计算和：\(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)。
步骤 4. 用第二个公式验证。 \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)。
答案： 728。
例 4. 判断一个数是否属于数列
题目。 数字 145 是否属于数列 \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)？数字 142 呢？
步骤 1。 数列参数：\(a_1 = 7\), \(d = 5\)，所以 \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\)。
步骤 2。 检查 145：方程 \(5n + 2 = 145\) 得到 \(5n = 143\)，\(n = 28.6\)。序号是分数，所以 145 不属于该数列。
步骤 3。 检查 142：\(5n + 2 = 142\)，得到 \(5n = 140\)，\(n = 28\)。序号是自然数 — 该数属于。
步骤 4. 代入验证。 \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\)。正确。
答案： 145 不属于该数列；142 属于，是其第 28 项。
例 5. 用字母表示的特征性质
题目。 在什么条件下，数字 \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) 是等差数列的连续三项？
步骤 1。 根据特征性质，中间项的两倍等于两端项的和：
步骤 2。 展开括号：\(4x + 2 = 5x - 4\)。
步骤 3。 解方程：\(2 + 4 = 5x - 4x\)，即 \(x = 6\)。
步骤 4. 验证。 代入 \(x = 6\)：第一项 \(6 - 3 = 3\)，第二项 \(2\cdot 6 + 1 = 13\)，第三项 \(4\cdot 6 - 1 = 23\)。公差：\(13 - 3 = 10\) 且 \(23 - 13 = 10\) — 相同。
答案： \(x = 6\)，数列是 3, 13, 23，公差为 10。
例 6. 数列中有多少负数项
题目。 数列 \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\) 有多少负数项？
步骤 1。 参数：\(a_1 = -21\), \(d = 3\)。通项公式：\(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\)。
步骤 2。 写出“项为负数”的条件：\(3n - 24 < 0\)，得到 \(3n < 24\)，\(n < 8\)。
步骤 3。 序号是自然数，所以适用 \(n = 1, 2, \dots, 7\) — 共 七 项。
步骤 4. 验证边界。 \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — 是负数。\(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — 零不是负数，所以第八项不计。\(a_9 = 3\) — 是正数。
答案： 七个负数项。
等差数列题目常见错误
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通项公式写成 $a_n = a_1 + nd$ 而不是 $a_n = a_1 + (n-1)d$。
从首项到第 \(n\) 项需要比序号少一步。对于数列 \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\)，第十项是 \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\)，而不是 45。快速验证公式：代入 \(n = 1\) — 结果应正好是 \(a_1\)。
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公差计算顺序错误：$d = a_1 - a_2$，导致符号相反。
公差是后一项减去前一项：\(d = a_2 - a_1\)。对于数列 \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\)，正确的是 \(d = 34 - 40 = -6\)。负号不是错误，而是递减数列的标志。
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求和公式中忘记除以 2 或乘以 $n$：写成 $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$。
求和时，将“首项与末项”配对，共有 \(\dfrac{n}{2}\) 对，所以必须除以 2。对于数列 \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\)，有 \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) 且 \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\)，而不是 670。
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检查一个数是否属于数列时，得到 $n = 0$ 或负数 $n$ 仍然回答“属于”。
数列的序号是自然数，从一开始计数。例如，对于数列 \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\)，方程 \(10 + 4(n-1) = 6\) 得到 \(n = 0\)，这意味着 6 不属于该数列：它应该出现在首项之前。
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混淆了求得的是项的值还是序号。
\(a_n\) 是项的值，\(n\) 是序号。如果题目问“第几项等于 142”，答案是 28，而不是 142。一个好习惯是：在解题前列出“已知：\(a_1 = \dots\), \(d = \dots\)，求解：\(n\)”。
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认为数列必须递增且只包含整数。
公差可以是负数（\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)），分数（1; 1.5; 2; 2.5），甚至零（8, 8, 8, …）。这三种情况都是合法的等差数列，所有公式都适用。
问与答
什么是等差数列，用简单的话来说？
它是一个数列，其中每一项都由前一项加上一个固定的数 \(d\)（公差）得到。例如，3, 7, 11, 15, 19, … 是一个首项为 3，公差为 4 的数列。
等差数列的通项公式是什么？
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中 \(a_1\) 是首项，\(d\) 是公差，\(n\) 是序号。如果已知不是首项而是其他某项，则通用形式为 \(a_n = a_k + (n-k)d\)。
如何求等差数列的公差？
用任意一项减去其前一项：\(d = a_n - a_{n-1}\)。如果已知两项且序号不同，则使用 \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\)。例如，对于 \(a_5 = 23\) 和 \(a_9 = 43\)，得到 \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\)，首项为 \(23 - 4\cdot 5 = 3\)。
如何求等差数列的首项？
从通项公式推导：\(a_1 = a_n - (n-1)d\)。例如，如果 \(a_{12} = 60\) 且 \(d = 4\)，则 \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\)。验证：\(16 + 11\cdot 4 = 60\)。
如何求等差数列的前 n 项和？
如果已知末项，则使用公式 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\)；如果只知道首项和公差，则使用公式 \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\)。两者结果相同，因此第二个公式可以用来验证第一个公式。
如何求等差数列的项数？
从通项公式推导：\(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)。例如，在数列 \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) 中，公差为 5，所以 \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) 项。
等差数列与等比数列有什么区别？
在等差数列中，每一项都加上公差 \(d\)，而在等比数列中，每一项都乘以公比 \(q\)。通项公式分别为：\(a_n = a_1 + (n-1)d\) 对比 \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\)。要确定类型，计算相邻两项的差和比：差相同 — 是等差数列，比相同 — 是等比数列。
公差可以是负数或零吗？
是的。当 \(d < 0\) 时，数列递减（例如，20, 17, 14, 11）；当 \(d = 0\) 时，所有项都相等（6, 6, 6, …）— 这是一个常数列。公差也可以是分数：1; 1.5; 2; 2.5 — 这也是等差数列。
等差数列在哪个年级学习？
九年级代数课上，与等比数列和数列概念一起学习。OGE考试包含数列题目：通常要求根据序号求项值、根据值求序号、求项数或前 n 项和。
