数字 \(a\) 的平方根是一个数，它的平方等于 \(a\)，而算术平方根特指其非负值：\(\\sqrt{25} = 5\)。只能对非负数开方，但根号的性质可以将复杂的表达式化简为简短的。本页内容包括：定义和定义域，所有算术平方根的性质及公式，1到20的平方根表，提取根号和移出因子的方法，已解析的示例，常见错误以及互动练习器。
什么是数字的平方根
数字 \(a\) 的平方根是指一个数，它的平方等于 \(a\)。开方和平方是互为逆运算：从 \(7^2 = 49\) 可以直接得出 49 的平方根是 7。
但一个正数恰好有两个平方根，它们仅符号不同：\(5^2 = 25\) 且 \((-5)^2 = 25\)，也就是说 25 的平方根是 5 和 -5。为了使符号 \(\\sqrt{\\phantom{a}}\) 表示唯一的数值，约定：符号 \(\\sqrt{\\phantom{a}}\) 只表示非负根。它被称为算术平方根。
这个符号有其名称：符号 \(\\sqrt{\\phantom{a}}\) 是根号，而符号下的数字或表达式是被开方数。
算术平方根：定义和定义域
非负数 \(a\) 的算术平方根是指一个非负数，它的平方等于 \(a\)。记作 \(\\sqrt{a}\)，读作“根号 a”。
定义中包含两个条件，两者同等重要：
- 被开方数非负：\(a \\ge 0\)；
- 根的值非负：\(\\sqrt{a} \\ge 0\)。
由此可得：\(\\sqrt{25} = 5\)，而不是 -5；\(\\sqrt{0} = 0\)；而 \(\\sqrt{-9}\) 在实数范围内无意义——不存在平方为负数的数。
第一个条件定义了含根表达式的定义域。例如，\(\\sqrt{x-7}\) 在 \(x - 7 \\ge 0\)，即 \(x \\ge 7\) 时有意义：任何更小的 \(x\) 值都会使根号下出现负数。
从定义还可得出 \((\\sqrt{a})^2 = a\) 在 \(a \\ge 0\) 时成立：将根号的值平方会得到被开方数。即使我们无法精确计算根号的值，这个等式也成立：\((\\sqrt{31})^2 = 31\)。
平方根表：1到20的数字平方
当且仅当被开方数是完全平方数时，根号才能精确开尽。因此，平方表也可用作平方根表：可以双向读取——\(14^2 = 196\)，所以 \(\\sqrt{196} = 14\)。
表格不仅对整数有用：
- 小数：\(\\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), 因为 \(0{,}8^2 = 0{,}64\)；
- 分数：\(\\sqrt{\\dfrac{16}{81}} = \\dfrac{4}{9}\) —— 分别对分子和分母开方；
- 整十整百数：\(\\sqrt{2500} = 50\), 因为 \(2500 = 25 \\cdot 100\), 并且每个因子的根都已知。
平方根的性质
平方根的性质允许我们在不逐个开方的情况下计算表达式，并简化答案。
积的平方根等于根的积：\(\\sqrt{ab} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\) 当 \(a \\ge 0\) 且 \(b \\ge 0\) 时。例如，\(\\sqrt{9 \\cdot 16} = 3 \\cdot 4 = 12\) —— 与 \(\\sqrt{144}\) 的结果相同。
商的平方根等于根的商：\(\\sqrt{\\dfrac{a}{b}} = \\dfrac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}\) 当 \(a \\ge 0\) 且 \(b > 0\) 时。例如，\(\\sqrt{\\dfrac{36}{49}} = \\dfrac{6}{7}\)。条件 \(b > 0\) 是严格的：不能除以零。
平方的平方根等于其绝对值：\(\\sqrt{a^2} = |a|\)，这对任何数 \(a\) 都成立。这是整个主题中最关键的细节。如果 \(a \\ge 0\)，则不变：\(\\sqrt{7^2} = 7\)。但当 \(a\) 为负数时，符号会“变直”：\(\\sqrt{(-6)^2} = \\sqrt{36} = 6\)，而不是 -6 —— 因为算术平方根不可能是负数。
根的平方得到被开方数：\((\\sqrt{a})^2 = a\) 当 \(a \\ge 0\) 时。
但是，对于和与差，不存在类似的性质：和的平方根不等于根的和。这是该主题中最常见的错误，详见下文。
| 性质与条件 | 示例 |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √b当 a ≥ 0 且 b ≥ 0 时 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √b当 a ≥ 0 且 b > 0 时 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|对任意 a 成立 | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = a当 a ≥ 0 时 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √b当 b ≥ 0 时 | √(25 · 3) = 5√3 |
如何从数字中提取平方根
计算器并非总在身边，而学校的作业几乎总是精心设计的，使得根号可以被提取。操作步骤如下。
- 查平方表。如果数字在表中，答案就有了：\(\\sqrt{289} = 17\)。
- 分离整十整百的因子。对于带零的数字，方便分离出 \(100\)、\(10,000\) 等：\(\\sqrt{6400} = \\sqrt{64 \\cdot 100} = 8 \\cdot 10 = 80\)。
- 分解为质因数。这是一个通用方法：\(576 = 2^6 \\cdot 3^2\)，指数除以二得到 \(\\sqrt{576} = 2^3 \\cdot 3 = 24\)。
- 将小数化为分数。\(\\sqrt{1{,}44} = \\sqrt{\\dfrac{144}{100}} = \\dfrac{12}{10} = 1{,}2\)。同时这也能避免丢失位数。
- 如果没有精确平方数 —— 根是无理数。这时要么保留符号（就写成：\(\\sqrt{30}\)），要么估算在两个相邻平方数之间。
验证只需一秒：将得到的结果平方，看是否回到被开方数。\(24^2 = 576\) —— 正确。
从根号下移出因子
根号很少被“生”着留下——会把所有能开出来的因子移出来。利用性质 \(\\sqrt{a^2 b} = |a| \\sqrt{b}\) 当 \(b \\ge 0\) 时：寻找被开方数的最大平方因子。
- \(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\)；
- \(\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\)；
- \(\\sqrt{300} = \\sqrt{100 \\cdot 3} = 10\\sqrt{3}\)。
反向操作——将因子移入根号下：\(a\\sqrt{b} = \\sqrt{a^2 b}\) 当 \(a \\ge 0\) 时。例如，\(3\\sqrt{5} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{45}\)。
对于负因子需要小心：负号不能移入根号，留在外面。正确写法是 \(-2\\sqrt{3} = -\\sqrt{12}\)，而不是 \(\\sqrt{12}\)。
为什么要这样做：移出因子后，具有相同被开方数的根可以合并为同类项，从而相加。而将因子移入根号下——是比较两个带根号的表达式最快的方法。
无法开尽的平方根等于多少
如果被开方数不是完全平方数，那么根是一个无理数：其小数表示无限不循环。例如，\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}4142\\ldots\)，精确值只能用符号 \(\\sqrt{2}\) 表示。只有当题目要求时才写出近似值。
无需计算器即可估算这样的根：找到被开方数所在的两个相邻完全平方数。比较法则适用：对于 \(a \\ge 0\) 和 \(b \\ge 0\)，从 \(a < b\) 可得出 \(\\sqrt{a} < \\sqrt{b}\) —— 被开方数越大，根也越大。
平方根计算示例
示例 1. 带根号表达式的值
计算 \(\\sqrt{121} - \\sqrt{0{,}36} + \\sqrt{\\dfrac{9}{25}}\)。
步骤 1。\(\\sqrt{121} = 11\), 因为 \(11^2 = 121\)。
步骤 2。\(\\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), 因为 \(0{,}6^2 = 0{,}36\)。
步骤 3。分数平方根分别对分子和分母开方：\(\\sqrt{\\dfrac{9}{25}} = \\dfrac{3}{5} = 0{,}6\)。
步骤 4。相加：\(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)。
答案：11。
示例 2. 积的平方根
计算 \(\\sqrt{8} \\cdot \\sqrt{18}\)。
步骤 1。单独开这两个根号都不行，所以将它们合并成一个：\(\\sqrt{8} \\cdot \\sqrt{18} = \\sqrt{8 \\cdot 18}\)。
步骤 2。计算根号下的积：\(8 \\cdot 18 = 144\)。
步骤 3。\(\\sqrt{144} = 12\)。
另一种方法——提前移出因子：\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\) 且 \(\\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}\)，则 \(2\\sqrt{2} \\cdot 3\\sqrt{2} = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12\)。结果一致。
答案：12。
示例 3. 通过分解因子提取平方根
计算 \(\\sqrt{576}\) 和 \(\\sqrt{6400}\)。
步骤 1。数字 576 不在平方表中，所以将其分解为质因数：\(576 = 2^6 \\cdot 3^2\)。
步骤 2。指数除以二：\(\\sqrt{2^6 \\cdot 3^2} = 2^3 \\cdot 3 = 8 \\cdot 3 = 24\)。
步骤 3. 验证。\(24^2 = 576\) —— 正确。
步骤 4。对于数字 6400，更方便分离出整十整百的因子：\(\\sqrt{6400} = \\sqrt{64 \\cdot 100} = 8 \\cdot 10 = 80\)。验证：\(80^2 = 6400\)。
答案：\(\\sqrt{576} = 24\)，\(\\sqrt{6400} = 80\)。
示例 4. 移出因子和合并同类项
化简 \(2\\sqrt{98} - \\sqrt{300} + \\sqrt{72}\)。
步骤 1。从每个根号下移出因子：\(\\sqrt{98} = \\sqrt{49 \\cdot 2} = 7\\sqrt{2}\)，所以 \(2\\sqrt{98} = 14\\sqrt{2}\)。
步骤 2。\(\\sqrt{300} = \\sqrt{100 \\cdot 3} = 10\\sqrt{3}\)。
步骤 3。\(\\sqrt{72} = \\sqrt{36 \\cdot 2} = 6\\sqrt{2}\)。
步骤 4。只有被开方数相同的根才能相加：\(14\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 20\\sqrt{2}\)，而带 \(\\sqrt{3}\) 的项单独保留。
答案：\(20\\sqrt{2} - 10\\sqrt{3}\)。
示例 5. 带变量的平方根
化简 \(\\sqrt{(x-4)^2}\) 当 \(x < 4\) 时。
步骤 1。根据平方的平方根性质 \(\\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) —— 直接写绝对值，而不是 \(x - 4\)。
步骤 2。根据条件去掉绝对值。如果 \(x < 4\)，则差值 \(x - 4\) 为负数，负数的绝对值是其相反数：\(|x-4| = 4 - x\)。
步骤 3. 验证。取 \(x = 1\)：左边 \(\\sqrt{(1-4)^2} = \\sqrt{9} = 3\)，右边 \(4 - 1 = 3\) —— 一致。
答案：\(4 - x\)。作为对比，当 \(x \\ge 4\) 时，答案是 \(x - 4\)。
示例 6. 比较带根号的表达式
比较 \(3\\sqrt{5}\) 和 \(5\\sqrt{2}\)。
步骤 1。两个数都为正，所以将因子移入根号下：\(3\\sqrt{5} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{45}\)。
步骤 2。\(5\\sqrt{2} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = \\sqrt{50}\)。
步骤 3。比较被开方数：\(45 < 50\)，被开方数越大，根也越大。
答案：\(3\\sqrt{5} < 5\\sqrt{2}\)。
处理平方根时的常见错误
-
写成 $\\sqrt{a^2} = a$，忘记了绝对值。
正确的等式是 \(\\sqrt{a^2} = |a|\)。对于负数这一点至关重要：\(\\sqrt{(-13)^2} = \\sqrt{169} = 13\)，而不是 \(-13\)。算术平方根不可能是负数，所以根号下的符号会“变直”。
-
认为和的平方根等于根的和：$\\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$。
没有这样的性质。先计算根号下的运算：\(\\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\)，而不是 7。性质只存在于积和商：\(\\sqrt{ab} = \\sqrt{a}\\'cdot\\sqrt{b}\) 和 \(\\sqrt{a/b} = \\sqrt{a}/\\sqrt{b}\)。
-
回答 $\\sqrt{49} = \\pm 7$。
\(\\sqrt{49} = 7\) —— 算术平方根总是唯一的且非负。两个值出现在另一个问题中：方程 \(x^2 = 49\) 的根是 \(x = 7\) 和 \(x = -7\)。不能混淆根号的写法和方程的解。
-
写成 $\\sqrt{-16} = -4$，理由是“负负得正”。
根号下不能是负数：\((-4)^2 = 16\)，而不是 \(-16\)，所以 \(\\sqrt{-16}\) 在实数范围内无意义。而表达式 \(-\\sqrt{16} = -4\) 是完全正确的 —— 负号在根号外面，而不是里面。
-
将负因子移入根号下：$-2\\sqrt{3} = \\sqrt{12}$。
规则 \(a\\sqrt{b} = \\sqrt{a^2 b}\) 只在 \(a \\ge 0\) 时适用。负号留在外面：\(-2\\sqrt{3} = -\\sqrt{12}\)。用数值验证：\(-2\\sqrt{3} \\approx -3{,}46\)，而 \(\\sqrt{12} \\approx 3{,}46\) —— 两个数符号相反。
-
处理小数时丢失位数：$\\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$。
用逆运算平方来验证：\(0{,}02^2 = 0{,}0004\)，不匹配。正确的是 \(\\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\)，因为 \(0{,}2^2 = 0{,}04\)。可靠的方法是转换为分数：\(\\sqrt{\\dfrac{4}{100}} = \\dfrac{2}{10} = 0{,}2\)。
-
认为根号总是小于数字本身。
这只对大于 1 的数成立。在 0 到 1 的区间内情况相反：\(\\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\)，而 \(0{,}5\) 比 \(0{,}25\) 大。对于 0 和 1，根号等于数字本身。
问答
用简单的话说，算术平方根是什么？
它是一个非负数，该数平方后等于被开方数。记作 \(\\sqrt{a}\)，其中被开方数必须是非负的：\(a \\ge 0\)。例如，\(\\sqrt{64} = 8\), 因为 \(8 \\ge 0\) 且 \(8^2 = 64\)。
平方根和算术平方根有什么区别？
一个正数的平方根有两个——符号相反。算术平方根特指其中非负的那一个，并且它由符号 \(\\sqrt{\\phantom{a}}\) 表示。因此 \(\\sqrt{25} = 5\), 尽管方程 \(x^2 = 25\) 有两个根：5 和 \(-5\)。
如何在没有计算器的情况下从数字中提取平方根？
首先查表看数字是否是完全平方数。如果不是——将其分解为因子并提取完全平方数：\(784 = 16 \\cdot 49\), 所以 \(\\sqrt{784} = 4 \\cdot 7 = 28\)。始终用逆运算验证答案：\(28^2 = 784\)。
可以从负数中提取平方根吗？
在实数范围内——不可以：任何数的平方都是非负的，因此表达式 \(\\sqrt{-9}\) 没有意义。正是基于这个条件来寻找定义域：例如，\(\\sqrt{x-7}\) 仅在 \(x \\ge 7\) 时存在。
数字平方的根等于多少？
等于该数的绝对值：\(\\sqrt{a^2} = |a|\)。当 \(a\) 为非负数时得到它本身，当 \(a\) 为负数时得到其相反数：\(\\sqrt{(-6)^2} = 6\)。
如何从根号下移出因子？
找到被开方数的最大平方因子，并应用性质 \(\\sqrt{a^2 b} = |a|\\sqrt{b}\)。例如，\(\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = 3\\sqrt{5}\)。反向操作——将因子移入根号下：\(3\\sqrt{5} = \\sqrt{45}\)。
2的平方根等于多少？
数字 \(\\sqrt{2}\) 是无理数：其小数表示无限不循环，\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}4142\)。不存在分数形式的精确值，因此答案中通常保留符号 \(\\sqrt{2}\)，只有当题目要求时才进行近似计算。
如何比较两个带根号的数而不计算它们？
将因子移入根号下，然后比较被开方数：被开方数越大，根也越大。例如，比较 \(\\sqrt{17}\) 和 4：因为 \(4 = \\sqrt{16}\) 且 \(17 > 16\)，所以 \(\\sqrt{17} > 4\)。
几年级学习平方根？
八年级代数课：首先学习算术平方根的定义及其性质，然后是带根号表达式的化简以及方程 \(x^2 = a\) 的求解。之后在判别式公式和中考、高考题目中会遇到根号。
