平均数、中位数、众数和极差是描述一组数字的四种方式。其中三个——平均数、中位数和众数——被称为集中趋势度量：它们告诉你“典型”数值是什么样的。第四个，极差，用于衡量数据的离散程度。在本页中，你将找到每个概念的清晰定义、计算方法（包括较复杂的数据个数为偶数时的中位数计算）、适用场景、详细示例、常见错误以及用于练习的互动测验。
什么是平均数、中位数、众数和极差？
每种度量方式回答了关于数据的不同问题：
- 平均数 — 即平均值。它将所有数值平衡为一个数字。
- 中位数 — 数字按顺序排列后的中间值。
- 众数 — 出现次数最多的数值。
- 极差 — 离散程度，即从最小值到最大值的跨度。
下表展示了每种度量的含义及其计算方法。请注意，只有众数与频率有关，也只有极差描述的是离散程度而非中心值。
| 度量 | 含义 | 计算方法 |
|---|---|---|
| 平均数 | 平均数值 | 将所有数字相加，然后除以数字的个数 |
| 中位数 | 按顺序排列后的中间值 | 将数字排序；取中间的一个。如果有两个中间数，则取它们的平均值 |
| 众数 | 出现频率最高的值 | 找出出现次数最多的数值。可以没有、有一个或多个 |
| 极差 | 数据的离散程度 | 用最大值减去最小值 |
如何求平均数、中位数和众数
让我们在同一组数据上计算这四个指标，看看它们有何不同。以数字 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 为例（共七个数值）。
平均数。 相加：4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42。共有 7 个数值，所以平均数是 42 ÷ 7 = 6。
中位数。 先排序：3, 4, 5, 6, 8, 8, 8。共有 7 个数值，中间的是第 4 个，所以中位数是 6。（一定要先排序再取中间值——这是最常见的错误。）
众数。 数值 8 出现了三次，比其他任何数字都多，所以众数是 8。
极差。 最大值是 8，最小值是 3，所以极差是 8 − 3 = 5。
一组数据，四个不同的答案——这就是我们为什么要用四种度量方式的原因。
何时使用每种度量
这些度量方式并不冲突——每种都适用于不同类型的问题。
- 平均数是日常生活中常用的“平均值”，适用于数值分布比较均匀的情况，如平均考试成绩或每日气温。它的弱点是：单个极大或极小的数值（即离群值）会使其偏离中心。
- 中位数是中间值，因此离群值几乎不会影响它。这就是为什么房价和收入通常使用中位数来报告的原因——一栋豪宅不会扭曲典型的数值。
- 众数是唯一适用于无法计算平均值的事物的度量，例如最畅销的鞋码或班级中最受欢迎的颜色。一组数据可以有一个、多个或没有众数。
- 极差并不描述典型值——它告诉你数据的离散程度。极差小意味着数值聚集在一起；极差大意味着数值分布较广。
分步示例
示例 1. 在一组数据上计算所有四个度量
数据集： 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
第 1 步 — 对数字排序。 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10。
第 2 步 — 平均数。 相加：3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39。共有 7 个数值，所以平均数是 39 ÷ 7 ≈ 5.57。
第 3 步 — 中位数。 共有 7 个数值，中间的是排序列表中的第 4 个：3, 3, 3, 6, 7, 7, 10。中位数是 6。
第 4 步 — 众数。 数值 3 出现了三次，比其他任何数字都多，所以众数是 3。
第 5 步 — 极差。 最大值减最小值：10 − 3 = 7。
答案： 平均数 ≈ 5.57，中位数 = 6，众数 = 3，极差 = 7。
示例 2. 数据个数为偶数时的中位数
数据集： 12, 5, 8, 20（四个数值——偶数个）。
第 1 步 — 排序。 5, 8, 12, 20。
第 2 步 — 找出两个中间值。 数据个数为偶数时，没有唯一的中间数。这里两个中间值是 8 和 12。
第 3 步 — 取平均值。 (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10。中位数是 10——即使 10 并不是原始数字中的一个。这对于偶数个数据的情况是正常的。
示例 3. 没有众数的数据集
数据集： 2, 5, 9, 11, 14。
每个数值都只出现了一次，所以没有数值重复。这组数据没有众数——这是一个有效的答案，不是错误。
相比之下，数据集 4, 4, 7, 7, 9 有两个众数（4 和 7），因为它们都出现得最频繁。有两个众数的集合被称为双众数。
避免常见错误
-
在排序前就求中位数。
中位数是数字按顺序排列后的中间值。在取中间值之前，一定要从小到大排序。在 7, 2, 9 中，中位数是 7（排序后：2, 7, 9），而不是 9。
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当数据个数为偶数时，只取两个中间数中的一个。
当数据个数为偶数时，没有唯一的中间数。取两个中间值并求它们的平均数。对于 5, 8, 12, 20，中位数是 (8 + 12) ÷ 2 = 10，而不是 8 或 12。
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假设每组数据必须有且仅有一个众数。
一组数据可以没有众数（如果没有重复的数字）或有多个众数（如果有两个或多个数值并列出现频率最高）。两者都是正确答案——不要强行找出一个众数。
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混淆平均数和中位数，认为它们是一回事。
平均数是平均值（相加后除以个数）；中位数是排序后的中间值。它们通常不同，特别是在有离群值时。对于 2, 3, 4, 100，平均数是 27.25，但中位数只有 3.5。
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将极差与众数混淆，或忘记相减。
极差是离散程度的度量：最大值减去最小值。它是一个描述离散程度的单一数字，而不是出现频率最高的数值。对于 4, 9, 15，极差是 15 − 4 = 11。
常见问题解答
什么是平均数、中位数、众数和极差？
平均数是平均值（将所有数值相加并除以个数）。中位数是数字排序后的中间值。众数是出现次数最多的数值。极差是最大值减去最小值。平均数、中位数和众数描述典型值；极差描述数据的离散程度。
如何求数据集的平均数？
将所有数字相加得到总和，然后用总和除以数字的个数。例如，4, 6, 8, 2 的平均数是 (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5。
当数据个数为偶数时，如何求中位数？
将数字排序，然后取中间的两个数值并求它们的平均值（相加后除以 2）。对于 5, 8, 12, 20，两个中间值是 8 和 12，所以中位数是 (8 + 12) ÷ 2 = 10。结果可能是一个不在原始集合中的数字。
平均数和中位数有什么区别？
平均数是所有数值的平均值，因此每个数字都会影响它。中位数只是排序后的中间值，因此几乎不受极大或极小数值（离群值）的影响。当数据集有离群值时，中位数通常比平均数更能代表典型值。
一组数据可以有多个众数，或没有众数吗？
可以。如果没有数值重复，则数据集没有众数。如果有两个或多个数值并列出现次数最多，则该集合有多个众数——有两个众数称为双众数。没有众数或有多个众数都是完全有效的。
什么是集中趋势度量？
集中趋势度量是描述数据集中心或典型值的单一数字。三个主要的度量是平均数、中位数和众数。极差不是集中趋势度量——它衡量的是离散程度。
