求根公式用于求解形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)）的任何二次方程。其根由 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 给出。在本页中，你将了解公式各部分的含义、如何逐步使用该公式、判别式如何帮助你判断解的数量，以及详细的例题解析——此外，还有互动练习供你立即实践。
什么是求根公式
二次方程是指任何可以写成标准形式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的方程，其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常数且 \(a \neq 0\)。数字 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 被称为系数：\(a\) 是 \(x^2\) 的系数，\(b\) 是 \(x\) 的系数，\(c\) 是常数项。
求根公式可以直接通过这三个系数求出方程的解（即根），无需进行因式分解。它适用于所有二次方程，即使是那些无法通过因式分解轻松求解的方程也同样适用。
来源（推导）： 该公式是通过对一般方程进行配方得到的。将 \(ax^2 + bx + c = 0\) 除以 \(a\)，移项常数项，在等式两边同时加上 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) 以构成完全平方式，然后开平方。最终得到下方的通用公式，适用于任何 \(a\)、\(b\)、\(c\)。
判别式：根的数量
根号下的部分 \(b^2 - 4ac\) 被称为判别式（通常记作 \(D\)）。你不需要完成整个公式的计算就能知道方程有多少个解——判别式的符号可以直接告诉你答案。
由于负数没有实数平方根，判别式 \(D\) 的符号将所有二次方程分为三种情况：两个根、一个重根或无实根。在图像上，这对应于抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 与 x 轴的交点情况——交于两点、交于一点（顶点）或完全不相交。
| 判别式 D = b² − 4ac | 实根情况 | 结果说明 |
|---|---|---|
| D > 0 | 两个不同的实根 | 抛物线与 x 轴有两个交点。使用两个符号：x = (−b ± √D) / 2a。 |
| D = 0 | 一个实根（重根） | 抛物线与 x 轴相切于顶点。± 消失：x = −b / 2a。 |
| D < 0 | 无实根 | 抛物线不与 x 轴相交。负数没有实数平方根。 |
如何使用求根公式：步骤
求根公式的使用方法始终一致。按照以下五个步骤操作，你就能准确求解——最困难的部分仅仅是正确读取系数（包括它们的符号）。
求根公式例题（逐步解析）
例题 1. 两个实根 (D > 0)
解方程 \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)。
步骤 1–2. 方程已是标准形式，读取系数：\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)。
步骤 3. 判别式：\(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)。
步骤 4. \(D = 25 > 0\)，因此有两个不同的实根。
步骤 5. 代入：\(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)。
使用加号：\(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)。使用减号：\(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)。
根： \(x = 3\) 和 \(x = \tfrac{1}{2}\)。
例题 2. 一个重根 (D = 0)
解方程 \(x^2 - 6x + 9 = 0\)。
步骤 1–2. 已是标准形式：\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)。
步骤 3. 判别式：\(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)。
步骤 4. \(D = 0\)，因此有恰好一个实根（重根）。由于 \(\sqrt{0} = 0\)，\(\pm\) 项消失。
步骤 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)。
根： \(x = 3\)（该二次方程是完全平方式 \((x-3)^2 = 0\)）。
例题 3. 无实根 (D < 0)
解方程 \(x^2 + 2x + 5 = 0\)。
步骤 1–2. 标准形式：\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)。
步骤 3. 判别式：\(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)。
步骤 4. \(D = -16 < 0\)。因为负数没有实数平方根，该方程无实根——其抛物线从不与 x 轴相交。
步骤 5. 无需进一步计算实数解。（如果你已学习复数，根为 \(x = -1 \pm 2i\)，但对于实数解，到此为止。）
求根公式的常见错误
-
弄错 b 的符号，尤其是当 b 为负数时。
公式以 −b 开头。如果 b = −7，则 −b = +7——两个负号抵消。在简化前，请完整写出代入过程，例如 −(−7)。
-
忘记 ± 而只写出一个根。
当 D > 0 时，± 会产生两个答案：一个加号，一个减号。除非 D = 0，否则务必计算 (−b + √D)/(2a) 和 (−b − √D)/(2a) 两个值。
-
只将分子的一部分除以 2a。
整个分子 −b ± √D 都要除以 2a，而不仅仅是 √D 部分。保持为一个分数：(−b ± √D) / (2a)。
-
当 a 或 c 为负数时计算判别式出错。
在 D = b² − 4ac 中，当 a·c 为负时，减去 4ac 实际上是加上一个正数。对于 3x² − 2x − 1，−4·3·(−1) = +12，所以 D = 4 + 12 = 16，而不是 4 − 12。
-
在将方程写成标准形式前就使用公式。
先将所有项移到一边，使方程变为 ax² + bx + c = 0。例如，x² = 5x − 6 必须先变为 x² − 5x + 6 = 0，然后再读取 a、b、c。
常见问题解答
什么是求根公式？
求根公式是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。它能直接通过系数 a、b 和 c 求出任何二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解。
如何逐步使用求根公式？
将方程写成标准形式 ax² + bx + c = 0，带符号识别 a、b 和 c，计算判别式 D = b² − 4ac，检查其符号以确定根的数量，然后代入 x = (−b ± √D) / (2a) 并简化加号和减号两种情况。
什么是判别式，它为什么重要？
判别式是 D = b² − 4ac，即根号下的表达式。它的符号可以在不完成计算的情况下告诉你实根的数量：D > 0 有两个实根，D = 0 有一个重根，D < 0 无实根。
什么时候应该使用求根公式而不是因式分解？
当二次方程能通过简单的整数因式分解时，因式分解很快。求根公式适用于所有二次方程，包括那些无法轻易分解或根为无理数/非整数的方程，因此它是因式分解不明显时的可靠选择。
求根公式是怎么来的？
它是通过对一般方程 ax² + bx + c = 0 进行配方推导出来的：除以 a，通过加上 (b/2a)² 配方，将左侧重写为完全平方式，然后对两边开平方。结果就是求根公式。
求根公式会没有答案吗？
如果判别式为负 (D < 0)，则没有实数解，因为负数没有实数平方根。方程仍然有两个复数根，但没有实根——在图像上，抛物线根本不触碰 x 轴。
