乘法公式（ФСУ）是现成的代数恒等式，无需繁琐的乘法运算即可展开括号或进行因式分解。本页汇总了全部七个公式：和与差的平方、平方差、和与差的立方、立方和与立方差。我们对每个公式都进行了推导和示例讲解，文末还配有互动练习，助你即刻上手应用。
什么是乘法公式
乘法公式是经过多项式乘法运算后总结出的恒等式。掌握这些“模板”后，无需每次都手动展开括号，只需代入相应的数字或字母即可。
在七年级代数课程中，乘法公式主要有两个用途：
- 从左到右 — 快速展开括号，计算表达式的平方或立方；
- 从右到左 — 将多项式因式分解（用于化简分式和解方程）。
总共需要掌握七个公式。下方是速查表，随后是对每个公式的详细解析。
乘法公式表
将七个乘法公式放在一起查阅非常方便。这里的字母 \(a\) 和 \(b\) 可以是任何表达式：数字、变量或像 \(2x\) 这样的单项式。
| 公式 | 表达式 |
|---|---|
| 和的平方 | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| 差的平方 | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| 平方差 | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| 和的立方 | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| 差的立方 | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| 立方和 | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| 立方差 | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
和的平方与差的平方
和的平方是通过将 \((a+b)\) 自乘得到的：
用文字表述：和的平方等于第一项的平方加上第一项与第二项乘积的二倍，再加上第二项的平方。差的平方推导过程相同，只是中间项的符号变为负：
关键点是不要漏掉中间项 \(2ab\)：正是因为它的存在，\((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)。和的平方与差的平方仅在 \(2ab\) 前的符号不同，而 \(a^2\) 和 \(b^2\) 项始终为正。
示例。 \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
和的平方具有直观的几何意义：它是边长为 \((a+b)\) 的大正方形的面积。
平方差
将相同表达式的和与差相乘，中间项会相互抵消：
这就是平方差公式：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)。这是因式分解中最有用的公式：一旦看到两个数的平方差，立即将其分解为乘积形式。
示例（展开括号）。 \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
示例（因式分解）。 \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
注意：平方和 \(a^2 + b^2\) 不能用此公式分解——只有差才适用。
和的立方、差的立方、立方和与立方差
和的立方与差的立方包含四项：
差的立方符号交替出现：\(+\,-\,+\,-\)。再次提醒常见陷阱：\((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — 不能直接“分配”指数，中间项 \(3a^2b\) 和 \(3ab^2\) 不可丢失。
示例。 \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
立方和与立方差则是用于因式分解的：
第二个因式被称为和或差的不完全平方。其中间项的符号始终与第一个括号内的符号相反：立方和为 \(-ab\)，立方差为 \(+ab\)。
示例。 \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
乘法公式应用示例
示例 1. 展开括号：和的平方
题目。 计算 \((2x+5)^2\)。
第一步。 识别和的平方公式：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，其中 \(a = 2x\), \(b = 5\)。
第二步。 计算每一项：
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
答案。 \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
示例 2. 使用平方差公式化简
题目。 计算 \((3x-4)(3x+4)\)。
第一步。 这是一个相同表达式的差与和的乘积 — 即平方差公式 \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)，其中 \(a = 3x\), \(b = 4\)。
第二步。 将每一项平方：\(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
答案。 \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
示例 3. 因式分解
题目。 对 \(x^2 - 36\) 和 \(x^3 + 27\) 进行因式分解。
平方差。 \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
立方和。 注意到 \(27 = 3^3\)，所以 \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\)。应用公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)，其中 \(a = x\), \(b = 3\)：
注意不完全平方中 \(-3x\) 的符号 — 立方和的中间项符号为负。
示例 4. 和的立方
题目。 展开 \((x+2)^3\)。
第一步。 和的立方公式：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)，其中 \(a = x\), \(b = 2\)。
第二步。 按顺序计算各项：
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
答案。 \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
乘法公式常见错误
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漏掉乘积的二倍：写成 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$。
和与差的平方始终包含中间项 \(2ab\)：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。验证很简单 — 手动展开 \((a+b)(a+b)\)，中间项自然会出现。
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混淆差的平方与平方差的符号。
差的平方中，只有中间项为负：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（两端为正）。而平方差中，负号位于两个平方项之间：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)。这是两个不同的公式。
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“分配”立方的指数：$(a+b)^3 = a^3 + b^3$。
这是错误的。和的立方包含四项：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) 是完全不同的（立方和），用于因式分解。
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在立方和/差的不完全平方中加上乘积的二倍 $2ab$。
不完全平方是 \(a^2 \pm ab + b^2\)，中间没有 \(2\)。符号与第一个括号内的符号相反：立方和为 \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\)，立方差为 \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\)。
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试图对平方和 $a^2 + b^2$ 进行因式分解。
只有平方差 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) 可以进行因式分解。在学校课程中，平方和 \(a^2 + b^2\) 通常无法分解。
常见问题解答
乘法公式一共有多少个？
七个：和的平方、差的平方、平方差、和的立方、差的立方、立方和与立方差。全部汇总在上面的表格中。
和的平方等于什么？
等于第一项的平方加上第一项与第二项乘积的二倍，再加上第二项的平方：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。差的平方中，中间项为负：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
如何对平方差进行因式分解？
使用公式 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)。例如，\(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\)。只需识别出两项都是完全平方数，且中间是减号即可。
为什么 $(a+b)^2$ 不等于 $a^2 + b^2$？
因为在展开 \((a+b)(a+b)\) 时，会出现两个相同的项 \(ab\)，它们相加得到中间项 \(2ab\)。不能漏掉它：正确的公式是 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
和的立方与立方和有什么区别？
和的立方 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) 是用于展开括号。立方和 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) 则相反，用于因式分解。这是两个不同的公式，不要混淆。
乘法公式是在几年级学的？
通常在七年级代数课上学习：先学和与差的平方、平方差，然后是立方公式。它们在后续的化简表达式、分式化简和解方程中被广泛使用。
