有理不等式是指 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 形式的不等式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，并且 \(>\) 可以被 \(<\), \(\ge\) 或 \(\le\) 替代。求解这类不等式使用区间法：将所有项移到左边，因式分解，在数轴上标出分子零点和分母零点，然后确定符号。下面是定义、完整算法、空心点规则、根的重数、已解示例和带检查的练习器。
什么是多项式不等式
有理不等式是指两边都用有理表达式表示的不等式，即多项式和多项式分数。将所有项移到一边后，它总是可以归结为以下形式：
其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，而 \(\vee\) 代表 \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) 中的一个符号。右边必须是零——这是区间法有效的前提条件。
有理不等式分为两种。如果变量只出现在分子中，则该不等式称为整式有理不等式：无需除法，任何 \(x\) 值都适用。如果变量出现在分母中，则该不等式称为分式有理不等式（也称为分数不等式或带分数的方程）——此时立即出现限制条件 \(Q(x) \neq 0\)。
为什么不能两边同乘以分母
解带分数的方程时，最诱人的做法是两边同乘以分母来“摆脱”它。方程可以这样做，但不等式不行。原因很简单：乘以负数时，不等号方向会反转，而 \(Q(x)\) 的符号事先未知——它取决于 \(x\)。
来看不等式 \(\frac{5}{x-3} < 1\)。两边同乘以 \(x - 3\)，假装它是正数：得到 \(5 < x - 3\)，即 \(x > 8\)。用 \(x = 0\) 代入检验：\(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) ——不等式成立，所以零也应该是解，但它没有包含在 \(x > 8\) 的答案中。答案丢失了。
正确的方法是把所有项移到左边，合并成一个分数：
最后一步，我们两边同乘以 \(-1\) 并反转了不等号——这是合法的，因为 \(-1\) 始终是负数。接下来应用区间法，答案是 \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) —— 这个答案包含了丢失的零。
最简单的记忆方法是：不能两边同乘以带变量的表达式，但可以随时移项。移项不会改变不等号。
区间法：分步算法
区间法基于一个性质：在有理表达式的相邻零点之间，其符号是恒定的。因此，只需找到使分子或分母为零的所有点，用它们将数轴划分，然后在每个区间上确定符号——通过一个测试点或根的重数。
空心点和实心点：定义域和不等式符号
一个括号的错误会将正确的解变成错误的答案，因此值得单独学习关于点的规则。只有两个原则在起作用。
第一是定义域。 分母的零点总是空心的，无论不等号是什么。在该点，分数根本不存在：不能除以零，因此该数不能是解，即使符号是非严格的。
第二是严格符号还是非严格符号。 分子的零点使分数等于零。对于非严格符号（\(\le\) 或 \(\ge\)），等于零是可以接受的，因此该点被标记为实心并包含在答案中，用方括号表示。对于严格符号（\(<\) 或 \(>\)），零不适用，因此该点是空心的。
例如，对于不等式 \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\)，点 \(x = 6\) 是实心的（分子零点，非严格符号），而点 \(x = -1\) 是空心的（分母零点）。答案是：\(x \in (-1; 6]\)。
| 点是什么类型 | 如何标记 |
|---|---|
| 分母零点，Q(x) = 0 | 空心 总是如此，无论不等号如何——该点不在定义域内 |
| 分子零点，严格符号< 或 > | 空心 分数等于零，但需要严格不等号 |
| 分子零点，非严格符号≤ 或 ≥ | 实心 等于零是可以接受的，该点包含在答案中 |
根的重数：符号在哪里改变，在哪里不改变
区间上的符号不一定总是交替出现——这是该主题中最常见的误解。交替只在所有因子都以一次幂出现时才有效。规则更准确地表述为根的重数——相应因子的幂指数。
当跨越奇数重数的根（1, 3, 5 次幂）时，表达式的符号会改变。当跨越偶数重数的根（2, 4 次幂）时，符号不改变：偶数次幂的因子是非负的，不会改变表达式的符号。重数对分子和分母的计算方式相同。
考虑 \((x-9)^2(x+3) > 0\)。根是：\(x = 9\) 重数为 2， \(x = -3\) 重数为 1。9 右侧表达式为正。跨越 9 —— 重数为偶数，符号保持不变，在 \((-3; 9)\) 区间上也是正号。跨越 -3 —— 重数为奇数，符号变为负号。严格不等式的答案是：\(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\)，点 9 是空心的，因为表达式在那里等于零。而非严格不等式 \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) 的答案则不同：\(x \in [-3; +\infty)\) —— 9 被标记为实心并“连接”了两个区间。
| 根的重数 | 跨越时的符号 |
|---|---|
| 奇数重数：(x − a), (x − a)3 | 改变 |
| 偶数重数：(x − a)2, (x − a)4 | 不改变 |
数轴上的符号标记：示例
我们以不等式 \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) 为例进行总结。分子零点：\(x = -7\)。分母零点：\(x = 2\) 和 \(x = 5\)，它们也定义了定义域。所有三个因子都以一次幂出现，因此符号会交替出现。测试点 \(x = 10\) 在最右边的区间给出 \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) —— 从正号开始向左移动，在每个点改变符号。
有理不等式解题示例
示例 1. 简单的分数不等式
求解 \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)。
步骤 1。 右侧已经是零，分数也只有一个——无需移项或合并。
步骤 2。 定义域。 \(x + 5 \neq 0\)，即 \(x \neq -5\)。
步骤 3。 零点。 分子在 \(x = 3\) 时为零，分母在 \(x = -5\) 时为零。
步骤 4。 数轴上的点。 \(x = 3\) 是实心的（分子零点，非严格符号），\(x = -5\) 是空心的（分母零点）。
步骤 5。 符号。 测试点 \(x = 4\)：\(\frac{1}{9} > 0\) —— 右侧是正号。两个因子都以一次幂出现，因此符号交替：在 \((-5; 3)\) 上是负号，在 \((-\infty; -5)\) 上是正号。检验：当 \(x = -6\) 时，得到 \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) —— 符合。
步骤 6。 答案。 需要“正号或零”：\(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)。
示例 2. 右侧不是零——移项
求解 \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)。
步骤 1。 将 1 移到左侧。 不能乘以 \(x - 4\)，因为该表达式的符号未知：
步骤 2。 合并为单一分数。
步骤 3。 定义域。 \(x \neq 4\)。
步骤 4。 点。 \(x = -5\) —— 分子零点，非严格符号，实心。\(x = 4\) —— 分母零点，空心。
步骤 5。 符号。 当 \(x = 5\) 时，分数等于 \(\frac{10}{1} > 0\)。因此在 \((4; +\infty)\) 上是正号，在 \((-5; 4)\) 上是负号，在 \((-\infty; -5)\) 上是正号。
步骤 6。 答案。 \(x \in [-5; 4)\)。边界点检验：当 \(x = -5\) 时，分数等于零——适用于 \(\le\)；当 \(x = 4\) 时，分数不存在——不适用。
示例 3. 偶数重数根和孤立点
求解 \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)。
步骤 1。 定义域。 \(x \neq 9\)。
步骤 2。 零点和重数。 \(x = 2\) —— 重数为 2（偶数），\(x = -6\) —— 重数为 1， \(x = 9\) —— 分母重数为 1。
步骤 3。 点。 \(x = 2\) 和 \(x = -6\) 是实心的（分子零点，非严格符号），\(x = 9\) 是空心的。
步骤 4。 符号。 测试点 \(x = 10\)：分子为正，分母为 1 —— 正号。向左移动。跨越 9（奇数重数）符号改变：在 \((2; 9)\) 上是负号。跨越 2（偶数重数）符号不改变：在 \((-6; 2)\) 上也是负号。跨越 -6（奇数重数）符号改变：在 \((-\infty; -6)\) 上是正号。
步骤 5。 答案。 选择“正号或零”的区间，加上所有等于零的点。点 \(x = 2\) 位于负区间内，但表达式本身在那里等于零，因此它单独包含在答案中：
这种“孤立”点出现在答案中——当非严格符号遇上偶数重数根时，这是一个正确的迹象。
示例 4. 分数约分：定义域陷阱
求解 \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)。
步骤 1。 因式分解。 分子是完全平方：\(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\)。对于分母，计算判别式：\(D = 81 + 40 = 121\)，根为 \(x_1 = \frac{1}{5}\) 和 \(x_2 = -2\)，因此 \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)。
步骤 2。 定义域——在任何约分之前。 \(5x - 1 \neq 0\) 且 \(x + 2 \neq 0\)，即 \(x \neq \frac{1}{5}\) 且 \(x \neq -2\)。
步骤 3。 约分。 \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\)，但仅当 \(x \neq \frac{1}{5}\) 时——约分不会将空心点恢复。
步骤 4。 求解 \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\)。 零点：\(\frac{1}{5}\) 和 \(-2\)。当 \(x = 1\) 时，分数等于 \(\frac{4}{3} > 0\)。因此在 \((\frac{1}{5}; +\infty)\) 上是正号，在 \((-2; \frac{1}{5})\) 上是负号，在 \((-\infty; -2)\) 上是正号。
步骤 5。 恢复定义域。 区间 \((-2; \frac{1}{5}]\) 在符号上是合适的，但点 \(\frac{1}{5}\) 是空心的：在原始不等式中，当 \(x = \frac{1}{5}\) 时，分母 \(5x^2+9x-2\) 等于零，分数在那里不存在。
答案： \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) —— 两个括号都是圆的。
示例 5. 分子中的二次三项式
求解 \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)。
步骤 1。 分子因式分解。 根据韦达定理，根的和为 7，积为 10，因此 \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)。不等式变为 \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\)。
步骤 2。 定义域。 \(x \neq -4\)。
步骤 3。 点。 所有三个点都是空心的：-4 是分母零点，2 和 5 是严格符号下的分子零点。
步骤 4。 符号。 测试点 \(x = 6\)：\(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)。所有因子都以一次幂出现，因此符号交替：在 \((5; +\infty)\) 上是正号，在 \((2; 5)\) 上是负号，在 \((-4; 2)\) 上是正号，在 \((-\infty; -4)\) 上是负号。
步骤 5。 答案。 需要严格的负号：\(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)。代入检验：当 \(x = -5\) 时，得到 \(\frac{70}{-1} < 0\)，当 \(x = 3\) 时，得到 \(\frac{-2}{7} < 0\) —— 两个区间都合适。
解有理不等式时常见的错误
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两边同乘以分母：从 $\frac{3}{x-8} > 1$ 得到 $3 > x - 8$，然后写成 $x < 11$。
表达式 \(x - 8\) 的符号事先未知，而乘以负数时不等号方向会反转。检验：\(x = 0\) 给出 \(\frac{3}{-8} < 1\) —— 零不是解，尽管它出现在答案 \(x < 11\) 中。正确做法是：\(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\)，即 \(\frac{11-x}{x-8} > 0\)，得到 \(x \in (8; 11)\)。
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因为符号是非严格的，所以将分母的零点标记为实心：对于 $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$，答案写成带 $x=7$ 的方括号。
分母的零点总是空心的，无论符号如何：在该点分数根本不存在。正确答案是：\(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) —— 1 处是方括号，7 处是圆括号。
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约分时丢失了定义域：从 $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ 得到 $\frac{x+3}{x-5} \le 0$，并将点 $x = -3$ 包含在答案中。
定义域在约分之前根据原始分母写出：\(x \neq -3\) 且 \(x \neq 5\)。约分后的分数 \(\frac{x+3}{x-5}\) 在 \([-3; 5)\) 上是非正的——当 \(x = 0\) 时，它等于 \(-0{,}6\)，这符合 \(\le\) 的要求。但点 \(-3\) 根据定义域是空心的，因此答案是 \((-3; 5)\)，而不是 \([-3; 5)\)。
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认为区间上的符号总是交替出现，对于 $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ 在 1 的右边放了负号。
当因子是单次幂时，交替才是正确的。根 \(x = 1\) 的重数为 2，因此跨越它时符号不改变。表达式在整个 \((-4; +\infty)\) 上是正的，除了点 1 本身，在那里它等于零。答案是：\(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)。
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移项时改变了不等号：从 $\frac{x}{x-2} \le 3$ 得到 $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$。
将一项从一边移到另一边不会改变不等号——只改变该项本身的符号。只有当两边同乘以负数或除以负数时，符号才会反转。正确做法是：\(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\)，然后 \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\)，即 \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)。
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只在数轴上标记分子零点，而分母“稍后”检查：对于 $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$，只标记了一个点 $-11$。
在数轴上一次性标记所有零点——包括分子和分母的零点，否则区间会出错。这里 \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\)，因此有三个点：\(-11\), \(-4\) 和 \(4\)，而不是一个。所有点都是空心的（符号严格），答案是：\(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)。
问答
什么是多项式不等式？
是指两边都用有理表达式（多项式和多项式分数）表示的不等式。将所有项移到左边后，它总是可以归结为 \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) 的形式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式，而 \(>\) 可以是 \(<\), \(\le\) 或 \(\ge\)。
如何解有理不等式？
使用区间法，分六步：将所有项移到左边，使右边为零；合并为单一分数并因式分解分子和分母；写出定义域 (\(Q(x) \neq 0\))；在数轴上标记分子和分母的零点；根据测试点和根的重数确定区间上的符号；写出具有所需符号的区间作为答案。
分式有理不等式与整式有理不等式有何区别？
整式有理不等式中，变量只出现在分子中，例如 \((x-1)(x+4) > 0\)，定义域是所有实数。分式有理不等式中，变量出现在分母中，例如 \(\frac{x-1}{x+4} > 0\)，并出现限制条件 \(x \neq -4\)。算法是相同的——只有空心点不同。
如何解带分数的方程？
与解任何有理不等式一样：首先将所有项移到左边并合并为单一分数，而不是直接消去分母。例如，\(\frac{x}{x+2} \ge 1\) 变为 \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\)，即 \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)。分子是常数且为负，因此分数仅在分母为负时才非负：\(x + 2 < 0\)。答案是：\(x \in (-\infty; -2)\)。
为什么不能将不等式两边同乘以分母？
因为分母的符号取决于 \(x\)：乘以正数时不等号方向不变，乘以负数时不等号方向反转。事先不知道是哪种情况，因此会丢失部分解，也会增加不正确的解。可以随时移项——移项不会改变不等号。
如何在不等式中找到定义域？
对于有理不等式，定义域是所有使分母不为零的值。令分母等于零，解方程并排除找到的数。必须根据原始分母写出定义域，在约分之前——否则会丢失空心点。
哪些点是空心的，哪些是实心的？
分母的零点总是空心的，无论不等号如何。分子零点在非严格符号（\(\le\) 或 \(\ge\)）时是实心的，在严格符号（\(<\) 或 \(>\)）时是空心的。在答案表示中，空心点对应圆括号，实心点对应方括号。
什么是根的重数，在区间法中有什么用？
重数是因子出现的幂次。跨越奇数重数的根时，表达式的符号会改变；跨越偶数重数的根时，符号会保持不变。这就是为什么符号不总是简单交替出现的原因：对于 \((x-9)^2(x+3)\)，在点 9 处符号保持不变。
哪个年级学习有理不等式？
九年级代数课，在学习了二次不等式和多项式因式分解之后。区间法之后还会用于指数、对数和无理不等式，以及中考和高考题。
