Коло створює два основні види кутів: центральний — з вершиною в центрі, і вписаний — з вершиною на самому колі. Зв'язок між ними простий: центральний кут дорівнює дузі, на яку він спирається, а вписаний — її половині. На цій сторінці — означення, теорема про вписаний кут з усіма наслідками, наочні креслення, покрокові розв'язання задач та інтерактивний тренажер, на якому можна одразу перевірити себе.
Види кутів у колі: центральний і вписаний
Проведемо в колі два відрізки з однієї точки — отримаємо кут. Залежно від того, де лежить його вершина, виділяють два основні види кутів у колі:
- Центральний кут — кут із вершиною в центрі кола \(O\). Його сторони — радіуси.
- Вписаний кут — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають його (тобто є хордами).
Кожен із цих кутів спирається на дугу — частину кола, яка лежить усередині кута. Саме дуга пов'язує центральний і вписаний кути: через її градусну міру виражаються обидва.
Якщо вершина кута опинилася всередині кола (але не в центрі) або поза ним — це вже не вписаний і не центральний кут: для таких кутів є свої формули, про них — наприкінці сторінки.
∠AOC = дузі AC = 120°
∠ABC = ½ дуги AC = 60°
Теорема про вписаний кут і величина вписаного кута
Центральний кут дорівнює дузі, на яку він спирається, — так вводиться градусна міра дуги. Якщо \(\angle AOC = 120°\), то і дуга \(AC\) дорівнює \(120°\).
Теорема про вписаний кут: вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається:
Звідси — головне співвідношення вписаних і центральних кутів: вписаний кут удвічі менший за центральний, що спирається на ту саму дугу:
Величина вписаного кута не залежить від того, де саме на колі знаходиться вершина, — важлива лише дуга, на яку він спирається. Тому креслення нижче варто запам'ятати як «робочу картинку» всієї теми: зелена дуга і два кути, що дивляться на неї.
Вписані і центральні кути: властивості та наслідки
Із теореми про вписаний кут напряму випливають властивості, на яких будується більшість шкільних задач:
- Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні. Кожен із них дорівнює половині однієї й тієї самої дуги, а отже, вони рівні й один одному, де б не знаходилися їхні вершини.
- Вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий. Діаметр ділить коло на дві півкола по \(180°\), тому такий кут дорівнює \(180° : 2 = 90°\). Правильне й обернене: якщо вписаний кут прямий, то він спирається на діаметр.
- Вписаний кут може бути тупим. Якщо дуга більша за \(180°\), кут більший за \(90°\) — формула «половина дуги» працює без винятків.
Ці властивості працюють і «у зворотний бік»: наприклад, за рівністю кутів, що спираються на один відрізок, доводять, що чотири точки лежать на одному колі.
Вписані і описані кути: чотирикутник у колі
Якщо всі чотири вершини чотирикутника лежать на колі, він називається вписаним (а коло — описаним навколо нього). Кути такого чотирикутника — вписані, тому для них працює та сама теорема.
- Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює \(180°\). Кути \(A\) і \(C\) спираються на дві дуги, які разом становлять усе коло (\(360°\)), тому \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Зовнішній кут вписаного чотирикутника дорівнює внутрішньому куту при протилежній вершині. Зовнішній кут доповнює свій внутрішній до \(180°\) — так само, як і протилежний.
- Властивість суми кутів — ще й ознака: якщо у чотирикутника суми протилежних кутів по \(180°\), навколо нього можна описати коло. Тому будь-який прямокутник вписується в коло, а ромб (крім квадрата) — ні.
Поруч із вписаними у задачах трапляються й описані кути — кути між двома дотичними, проведеними з однієї точки поза колом. Описаний кут дорівнює піврізниці дуг, які він відтинає на колі.
Приклади розв'язання задач на вписані і центральні кути
Приклад 1. Вписаний кут за дугою
Задача. Вписаний кут \(ABC\) спирається на дугу \(AC\), що дорівнює \(120°\). Знайдіть \(\angle ABC\).
Крок 1. Згадуємо теорему: вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається.
Крок 2. Підставляємо: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Відповідь: \(60°\).
Приклад 2. Центральний кут за вписаним
Задача. Вписаний кут \(ABC\) дорівнює \(40°\). Знайдіть центральний кут \(AOC\), що спирається на ту саму дугу \(AC\).
Крок 1. Центральний кут удвічі більший за вписаний, що спирається на ту саму дугу: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Крок 2. Рахуємо: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Заразом дізналися дугу: \(AC = 80°\).
Відповідь: \(80°\).
Приклад 3. Кут, що спирається на діаметр
Задача. \(AC\) — діаметр кола, точка \(B\) лежить на колі, \(\angle BAC = 35°\). Знайдіть \(\angle BCA\).
Крок 1. Кут \(ABC\) спирається на діаметр \(AC\), отже \(\angle ABC = 90°\) — трикутник \(ABC\) прямокутний.
Крок 2. Сума кутів трикутника дорівнює \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Відповідь: \(55°\).
Приклад 4. Вписаний чотирикутник
Задача. Чотирикутник \(ABCD\) вписаний у коло, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Знайдіть кути \(C\) і \(D\).
Крок 1. Суми протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнюють \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Крок 2. Аналогічно \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Перевірка. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — сума кутів чотирикутника сходиться.
Відповідь: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Часті помилки в задачах про кути в колі
-
Плутають вписаний кут із центральним: у кута з вершиною в центрі беруть половину дуги (або навпаки).
Спочатку дивіться на вершину. Вершина в центрі \(O\) — центральний кут, він дорівнює дузі цілком. Вершина на колі — вписаний, він дорівнює половині дуги.
-
Беруть не ту дугу: для вписаного кута рахують дугу, на якій лежить його вершина.
Вписаний кут спирається на дугу, яка лежить «усередині» кута, — вершина завжди на іншій дузі. У записі \(\angle ABC\) кут спирається на дугу \(AC\), що не містить точку \(B\).
-
Множать і ділять на 2 «не в той бік»: від вписаного кута до центрального ділять, а не множать.
Запам'ятайте: вписаний — «маленький» (половина дуги), центральний — «великий» (ціла дуга). Від вписаного до центрального — помножити на 2, від центрального до вписаного — поділити.
-
Вважають вписаним будь-який кут, чиї сторони перетинають коло, — наприклад, кут між хордами, що перетинаються всередині кола.
У вписаного кута вершина обов'язково має лежати на самому колі. Кут із вершиною всередині кола дорівнює півсумі відтинаних дуг, з вершиною поза колом — піврізниці: це інші формули.
-
У вписаному чотирикутнику прирівнюють до $180°$ суму сусідніх кутів замість протилежних.
Властивість працює тільки для протилежних вершин: \(\angle A + \angle C = 180°\) і \(\angle B + \angle D = 180°\). Сусідні кути вписаного чотирикутника можуть бути якими завгодно.
Питання та відповіді
Чому дорівнює вписаний кут?
Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку він спирається. Наприклад, якщо дуга дорівнює 120°, вписаний кут дорівнює 60°. Це і є теорема про вписаний кут — головна формула теми.
Як пов'язані вписаний і центральний кути, що спираються на одну дугу?
Центральний кут удвічі більший за вписаний: ∠AOC = 2·∠ABC. Центральний кут дорівнює самій дузі, а вписаний — її половині.
Чому вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90°?
Діаметр стягує півколо — дугу в 180°. Вписаний кут дорівнює половині дуги: 180° : 2 = 90°. Тому будь-який трикутник, у якого одна сторона — діаметр описаного кола, прямокутний.
Чи може вписаний кут бути тупим?
Так. Якщо дуга, на яку спирається кут, більша за 180°, кут тупий: наприклад, дузі 210° відповідає вписаний кут 105°. При цьому вписаний кут завжди менший за 180°.
Що таке описаний кут і чим він відрізняється від вписаного?
Описаний кут утворюють дві дотичні, проведені до кола з однієї зовнішньої точки. Його вершина лежить поза колом, і дорівнює він піврізниці відтинаних дуг. У вписаного кута вершина лежить на колі, і дорівнює він половині однієї дуги.
Які ще види кутів у колі бувають?
Крім центрального і вписаного розглядають кут між хордами (вершина всередині кола — півсума дуг), кут між січними із зовнішньої точки (піврізниця дуг) і кут між дотичною і хордою (половина дуги, укладеної всередині). Усі вони виражаються через дуги кола.
