Теорема Піфагора — головна формула геометрії 8 класу: у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто \(a^2 + b^2 = c^2\). З неї виводяться формули, за якими знаходять гіпотенузу та будь-який катет, діагональ прямокутника та відстань між точками. На цій сторінці — визначення та формула, наочне доведення через площі, обернена теорема, єгипетський трикутник 3-4-5, покрокові розбори задач та інтерактивний тренажер для перевірки себе.
Що таке теорема Піфагора і як звучить формула
Теорема Піфагора працює тільки в прямокутному трикутнику — такому, де один з кутів дорівнює \(90°\). Сторони такого трикутника називаються по-різному:
- катети — дві сторони, що утворюють прямий кут;
- гіпотенуза — сторона навпроти прямого кута, найдовша сторона трикутника.
Формулювання теореми: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Тут \(a\) і \(b\) — катети, \(c\) — гіпотенуза. Іноді теорему формулюють «геометрично»: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. Це одна й та сама теорема, просто сказана про площі, а не про числа.
Запам'ятати порядок літер допомагає просте правило: під великою літерою \(c\) завжди ховається найдовша сторона. Якщо в задачі переплутати гіпотенузу з катетом, відповідь вийде неправильною.
Доведення теореми Піфагора
Доведень теореми Піфагора відомо понад сотню. У школі розбирають найнаочніше — доведення через площі. Беремо два однакові квадрати зі стороною \(a + b\) і вкладаємо в кожен по чотири однакові прямокутні трикутники з катетами \(a\) і \(b\) — але по-різному.
- У першому квадраті зсуваємо трикутники до кутів так, щоб вільними залишилися два квадрати: зі стороною \(a\) і зі стороною \(b\). Їх площі — \(a^2\) і \(b^2\).
- У другому квадраті розставляємо ті ж чотири трикутники «вертушкою». Вільним залишається один нахилений квадрат зі стороною \(c\), його площа — \(c^2\).
- Площі великих квадратів рівні: кожна дорівнює \((a+b)^2\). Однакова і сумарна площа трикутників: кожен займає \(\frac{ab}{2}\), разом — \(2ab\).
Оскільки ціле і віднята частина збіглися, рівними є й остачі: \(a^2 + b^2 = c^2\). Теорему доведено — баланси площ для обох квадратів виписано під кресленням.
Як знайти гіпотенузу та катет за теоремою Піфагора
З однієї формули \(a^2 + b^2 = c^2\) виходять усі робочі формули теми: невідому сторону виражають з рівності та витягають квадратний корінь. Різниця між двома випадками всього одна — і саме в ній найчастіше помиляються:
- гіпотенузу шукають через суму квадратів катетів — вона зобов'язана вийти довшою за будь-який з них;
- катет — через різницю: з квадрата гіпотенузи віднімають квадрат відомого катета, і результат зобов'язаний виявитися меншим за гіпотенузу.
Якщо під коренем вийшло від'ємне число, значить гіпотенузу переплутали з катетом — повертайся до креслення і шукай прямий кут. І ще одна деталь: корінь в кінці обов'язковий, на цьому кроці втрачають бали найчастіше.
Готова пам'ятка з усіма формулами — нижче.
| Що шукаємо | Формула та пояснення |
|---|---|
| Гіпотенуза | c = √a2 + b2корінь із суми квадратів катетів |
| Катет a | a = √c2 − b2корінь із різниці квадратів гіпотенузи та другого катета |
| Катет b | b = √c2 − a2симетрично: віднімаємо квадрат іншого катета |
| Перевірка | a2 + b2 = c2 ?рівність правильна → трикутник прямокутний (обернена теорема) |
Обернена теорема Піфагора та єгипетський трикутник
Обернена теорема Піфагора: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник прямокутний, а прямий кут лежить навпроти найдовшої сторони.
Це робочий інструмент: за трьома числами можна дізнатися вид трикутника, нічого не вимірюючи транспортиром. Порядок дій такий:
- знайти найдовшу сторону — вона кандидат на гіпотенузу;
- піднести до квадрата дві інші сторони і скласти;
- порівняти з квадратом довгої сторони.
Якщо вийшла рівність — трикутник прямокутний. Наприклад, сторони 6, 8 і 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), отже трикутник прямокутний.
Набори цілих чисел, для яких рівність виконується, називають піфагоровими трійками. Найвідоміша — 3, 4, 5: такий трикутник називають єгипетським, бо будівельники в Давньому Єгипті відміряли на мотузці 12 рівних частин і складали її в трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, щоб отримати точний прямий кут на будівництві. Цим прийомом користуються досі.
Де застосовують теорему Піфагора: задачі з життя та геометрії
Теорема Піфагора потрібна щоразу, коли у фігурі можна побачити прямокутний трикутник:
- Діагональ прямокутника. Діагональ ділить прямокутник на два прямокутні трикутники, тому \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Так рахують діагональ екрана телевізора або розмір кімнати.
- Висота рівнобедреного трикутника. Висота, проведена до основи, ділить його навпіл і дає прямокутний трикутник — далі працює та сама формула.
- Діагональ квадрата. Якщо сторона дорівнює \(a\), то \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Відстань між точками на координатній площині. Формула \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) — це теорема Піфагора для трикутника, побудованого на різницях координат.
- Практичні задачі. Драбина, приставлена до стіни; висота дерева за тінню; довжина троса, розтяжки, кабелю — у всіх цих задачах добудовують прямокутний трикутник і застосовують формулу.
Важливо пам'ятати головне обмеження: теорема Піфагора правильна тільки для прямокутного трикутника. Якщо прямого кута немає, сторони пов'язує вже теорема косинусів, яку вивчають у 9 класі.
Приклади розв'язання задач за теоремою Піфагора
Приклад 1. Знайти гіпотенузу
Задача. Катети прямокутного трикутника дорівнюють \(9\) см і \(12\) см. Знайдіть гіпотенузу.
Крок 1. Записуємо теорему для нашого трикутника: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Крок 2. Підносимо катети до квадрата і складаємо:
Крок 3. Витягаємо корінь: \(c = \sqrt{225} = 15\) см.
Відповідь: \(15\) см. Перевірка за змістом: гіпотенуза вийшла довшою за кожен катет — так і має бути.
Приклад 2. Знайти катет
Задача. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює \(25\) см, один катет — \(7\) см. Знайдіть другий катет.
Крок 1. Виражаємо невідомий катет з формули \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Тут різниця, а не сума — шукаємо катет, а не гіпотенузу.
Крок 2. Підставляємо числа:
Крок 3. Витягаємо корінь: \(b = \sqrt{576} = 24\) см.
Відповідь: \(24\) см. Заодно дізналися піфагорову трійку \(7 - 24 - 25\).
Приклад 3. Задача про драбину
Задача. Драбина довжиною \(5\) м приставлена до стіни. Її нижній кінець відстоїть від стіни на \(3\) м. На якій висоті драбина торкається стіни?
Крок 1. Робимо креслення: стіна і земля утворюють прямий кут, драбина — гіпотенуза. Отже, \(c = 5\) м, один катет \(a = 3\) м, висота \(h\) — другий катет.
Крок 2. Шукаємо катет через різницю:
Крок 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) м.
Відповідь: \(4\) м. Перед нами той самий єгипетський трикутник \(3 - 4 - 5\).
Приклад 4. Перевірити трикутник за оберненою теоремою
Задача. Сторони трикутника дорівнюють \(10\), \(24\) і \(26\). Чи він прямокутний?
Крок 1. Знаходимо найдовшу сторону — це \(26\). Якщо трикутник прямокутний, гіпотенузою буде саме вона.
Крок 2. Рахуємо суму квадратів двох менших сторін: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Крок 3. Порівнюємо з квадратом більшої сторони: \(26^2 = 676\). Числа збіглися.
Відповідь: так, трикутник прямокутний, прямий кут лежить проти сторони \(26\). Це трійка \(5 - 12 - 13\), помножена на \(2\).
Приклад 5. Діагональ прямокутника
Задача. Сторони прямокутника дорівнюють \(8\) см і \(15\) см. Знайдіть його діагональ.
Крок 1. Діагональ ділить прямокутник на два рівні прямокутні трикутники: сторони прямокутника стають катетами, діагональ — гіпотенузою.
Крок 2. Застосовуємо формулу: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Крок 3. \(d = 17\) см.
Відповідь: \(17\) см. Тут працює піфагорова трійка \(8 - 15 - 17\).
Часті помилки в задачах на теорему Піфагора
-
Плутають катет з гіпотенузою: підставляють найдовшу сторону як катет і отримують від'ємне число під коренем.
Гіпотенуза — завжди сторона навпроти прямого кута і завжди найдовша. Починай розв'язання з креслення: познач прямий кут, і стане видно, яка сторона лежить проти нього.
-
Додають самі сторони, а не їх квадрати: пишуть $a + b = c$ і для катетів 6 і 8 отримують 14.
Теорема пов'язує саме квадрати: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), тому \(c = 10\). Сума самих катетів завжди більша за гіпотенузу — це не відповідь, а ознака помилки.
-
Забувають витягти корінь і записують у відповідь $c^2$ замість $c$: «гіпотенуза дорівнює 225».
Після обчислень завжди залишається квадрат сторони. Останній крок — корінь: \(c = \sqrt{225} = 15\). Візьми за правило перечитувати питання задачі перед записом відповіді.
-
Шукають катет через суму: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Через суму шукають тільки гіпотенузу. Катет — через різницю: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Перевірка проста: катет зобов'язаний вийти меншим за гіпотенузу.
-
Застосовують теорему до трикутника без прямого кута — наприклад, до рівнобедреного або до довільного зі сторонами 5, 6, 7.
Теорема Піфагора працює тільки в прямокутному трикутнику. Якщо прямого кута немає, його спочатку «створюють» — проводять висоту — або використовують теорему косинусів з курсу 9 класу.
-
В оберненій теоремі порівнюють не з тією стороною: підносять до квадрата дві довільні сторони і складають.
Квадрат найдовшої сторони повинен дорівнювати сумі квадратів двох інших. Для сторін 6, 8, 11 порівнюємо \(6^2 + 8^2 = 100\) і \(11^2 = 121\): рівності немає, трикутник не прямокутний.
Запитання та відповіді
Як звучить формула теореми Піфагора?
a² + b² = c², де a і b — катети прямокутного трикутника, а c — гіпотенуза. Словами: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Як знайти гіпотенузу, якщо відомі катети?
Піднести катети до квадрата, скласти і витягти корінь: c = √(a² + b²). Наприклад, при катетах 6 і 8 отримуємо c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Як знайти катет, якщо відомі гіпотенуза та другий катет?
Через різницю квадратів: a = √(c² − b²). Наприклад, при гіпотенузі 13 і катеті 5 другий катет дорівнює √(169 − 25) = √144 = 12.
В якому класі проходять теорему Піфагора?
У 8 класі на уроках геометрії, в темі «Прямокутний трикутник». Там же вивчають обернену теорему Піфагора та піфагорові трійки, а далі теорема використовується в 9 класі та в задачах ОЗНО та ЗНО.
Що таке обернена теорема Піфагора?
Це твердження у зворотному напрямку: якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Вона дозволяє визначити вид трикутника за трьома числами, без вимірювання кутів.
Який трикутник називають єгипетським?
Трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². У Давньому Єгипті за допомогою мотузки, розділеної на 12 рівних частин, з нього отримували точний прямий кут при розмітці будівель.
Чи працює теорема Піфагора в прямокутному трикутнику?
Ні. Рівність a² + b² = c² виконується тільки при прямому куті. Для довільного трикутника використовується теорема косинусів c² = a² + b² − 2ab·cos C, яка при куті 90° перетворюється рівно на теорему Піфагора.
Як довести теорему Піфагора простим способом?
Найбільш наочне шкільне доведення — через площі. Беруть два однакові квадрати зі стороною a + b і в кожен вкладають по чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a і b. У першому вільними залишаються квадрати a² і b², у другому — квадрат c². Оскільки великі квадрати і трикутники однакові, то a² + b² = c².
