Теорема косинусів пов'язує три сторони трикутника та один його кут: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Вона працює в будь-якому трикутнику, тому в 9 класі саме вона замінює теорему Піфагора там, де прямого кута немає. За нею знаходять третю сторону, якщо відомі дві інші та кут між ними, а за наслідком \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — будь-який кут за трьома сторонами та вид трикутника. На сторінці — формулювання та всі три записи формули, доведення, таблиця косинусів, пам'ятка «синусів або косинусів», розбори задач ЗНО та тренажер для самоперевірки.
Теорема косинусів: формулювання та формула
Теорема косинусів працює у будь-якому трикутнику — прямий кут їй не потрібен. Вона пов'язує три сторони та один кут, тому за нею знаходять сторону, якщо відомі дві інші сторони та кут між ними.
Формулювання. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.
Тут \(a\), \(b\), \(c\) — сторони трикутника, а \(C\) — кут між сторонами \(a\) і \(b\); сторона \(c\) лежить проти цього кута. Літери можна взяти будь-які — формула симетрична, тому в неї три рівноправні записи:
Головне правило підстановки: кут беремо той, що укладений між двома сторонами з добутку, а знаходимо сторону, що лежить проти нього. Якщо взяти «сусідній» кут, усі числа будуть з умови, а відповідь — невірною.
Чому теорема Піфагора — окремий випадок теореми косинусів
Підставимо у формулу прямий кут, тобто \(C = 90°\). Косинус прямого кута дорівнює нулю, тому третій доданок обнуляється цілком:
Вийшла рівно теорема Піфагора, знайома з 8 класу. Тому теорему косинусів називають її узагальненням: Піфагор — це «окремий випадок при 90°», а теорема косинусів працює для всіх кутів одразу.
Доданок \(-2ab\cos C\) зручно розуміти як поправку на непрямоту кута:
- кут гострий, \(\cos C > 0\) — поправка віднімається, сторона \(c\) виходить коротшою, ніж дав би Піфагор;
- кут прямий, \(\cos C = 0\) — поправки немає, залишається \(c^2 = a^2 + b^2\);
- кут тупий, \(\cos C < 0\) — поправка додається, сторона \(c\) виходить довшою.
Доведення теореми косинусів
Найкоротше шкільне доведення — координатне. Помістимо вершину \(C\) в початок координат, а сторону \(b = CA\) спрямуємо по осі \(x\). Тоді координати вершин такі:
- \(C(0;\ 0)\) — початок координат;
- \(A(b;\ 0)\) — точка на осі \(x\) на відстані \(b\) від початку;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — вершина на відстані \(a\) від початку під кутом \(C\) до осі \(x\).
Сторона \(c\) — це довжина відрізка \(AB\). Рахуємо її за формулою відстані між двома точками:
Розкриваємо дужки:
Групуємо доданки з \(a^2\) і застосовуємо основну тригонометричну тотожність \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Що й треба було довести. Зверни увагу: ніде не знадобилося, щоб кут \(C\) був гострим. Якщо він тупий, косинус від'ємний, координата \(a\cos C\) йде вліво від осі \(y\), але всі викладки залишаються тими ж — тому теорема вірна для будь-якого трикутника.
Наслідок: як знайти кут за трьома сторонами
З теореми косинусів виражають сам косинус — це її головний наслідок. За ним знаходять кут, коли відомі всі три сторони:
У чисельнику — сума квадратів двох сторін, прилеглих до кута, мінус квадрат сторони, що лежить проти нього. У знаменнику — подвоєний добуток прилеглих сторін. Для інших кутів формули такі ж:
Порядок розв'язання:
- вибрати шуканий кут і визначити, яка сторона лежить проти нього — її квадрат іде в чисельник зі знаком мінус;
- порахувати дріб (знаменник завжди додатний, знак задає тільки чисельник);
- за таблицею значень або через арккосинус знайти сам кут.
Корисний прийом: починати з найбільшої сторони. Проти неї лежить найбільший кут, і тільки він може виявитися прямим або тупим — решта два кути в трикутнику завжди гострі.
Косинуси тупих кутів від'ємні: таблиця значень
У шкільних задачах кути майже завжди «табличні»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. У гострих кутів косинус додатний, у прямого дорівнює нулю, а в тупих — від'ємний. Значення для тупих кутів отримують зі значень для гострих за правилом зведення \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): наприклад, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Що це означає на практиці: при тупому куті вираз \(-2ab\cos C\) перетворюється на плюс — мінус на мінус. Для кута \(120°\) формула виглядає так:
Саме тут втрачають бали найчастіше: підставляють \(0{,}5\) замість \(-0{,}5\) і отримують сторону коротшою за обидві дані. Це явно неможливо — проти тупого кута лежить найдовша сторона трикутника.
| Кут | Косинус |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Як визначити вид трикутника за трьома сторонами
Теорема косинусів дозволяє дізнатися вид трикутника, не вимірюючи кути транспортиром. Знак дробу \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) залежить тільки від чисельника: знаменник \(2ab\) завжди додатний. Отже, достатньо порівняти квадрат найбільшої сторони із сумою квадратів двох інших.
Нехай \(c\) — найбільша сторона, тоді проти неї лежить найбільший кут \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → кут \(C\) гострий. Інші кути менші за нього, отже всі три кути гострі — трикутник гострокутний;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — трикутник прямокутний (це і є обернена теорема Піфагора);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → кут \(C\) тупий — трикутник тупокутний.
Перевіряти інші кути не потрібно: прямий або тупий кут у трикутнику буває тільки один. І не забудь про нерівність трикутника — якщо найбільша сторона не менша за суму двох інших, трикутника з такими сторонами взагалі не існує.
Теорема синусів або косинусів: як вибрати
Обидві теореми розв'язують одне завдання — знаходять невідомі сторони та кути трикутника, — але включаються від різних наборів даних. Теорема синусів пов'язує сторону та протилежний їй кут:
Звідси й правило вибору: якщо в умові вже є пара «сторона і кут навпроти неї» — працює теорема синусів; якщо такої пари немає — починаємо з теореми косинусів. Пам'ятка за чотирма шкільними наборами даних — у таблиці.
Часто задача розв'язується у два кроки: спочатку теорема косинусів дає третю сторону, а потім теорема синусів швидко знаходить решту кутів.
| Що відомо | Що застосовуємо |
|---|---|
| СУСДві сторони та кут між ними | Теорема косинусівзнаходимо третю сторону |
| СССВсі три сторони | Теорема косинусівзнаходимо будь-який кут і вид трикутника |
| УСУСторона і два кути | Теорема синусівзнаходимо дві інші сторони |
| ССУДві сторони і кут проти однієї з них | Теорема синусівзнаходимо протилежний кут |
Теорема косинусів у задачах ЗНО
На ЗНО з математики теорема косинусів трапляється у планіметричних завданнях — і в першій частині, і в задачах з розгорнутою відповіддю. Типові сюжети такі:
- Знайти сторону за двома сторонами та кутом між ними — пряме застосування формули, найчастіше з кутами 60° або 120°.
- Знайти кут або його косинус за трьома сторонами — наслідок \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Якщо в завданні написано «знайдіть \(\cos\angle A\)», арккосинус брати не потрібно: відповідь — той самий дріб, його й записують.
- Діагоналі паралелограма. Діагональ відсікає трикутник з двох сторін та кута між ними. Суміжні кути паралелограма дають у сумі 180°, тому їх косинуси протилежні: проти гострого кута лежить менша діагональ, проти тупого — більша.
- Вид трикутника за трьома числами — порівняння \(a^2 + b^2\) з \(c^2\).
- Медіана трикутника. Формула \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) виводиться подвійним застосуванням теореми косинусів до двох суміжних кутів при основі.
Порада на екзамені: перш ніж рахувати, познач на кресленні кут, який «затиснутий» між відомими сторонами. Якщо такого кута немає — теорема косинусів поки не застосовна, треба шукати інший шлях.
Приклади розв'язання задач на теорему косинусів
Приклад 1. Знайти сторону за двома сторонами та кутом 60°
Задача. У трикутнику \(ABC\) сторони \(a = 7\) і \(b = 15\), кут між ними \(C = 60°\). Знайдіть сторону \(c\).
Крок 1. Кут \(C\) укладений між сторонами \(a\) і \(b\) — це саме той випадок, для якого теорема і придумана:
Крок 2. Підставляємо числа, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Крок 3. Добуваємо корінь: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Відповідь: \(13\). Перевірка за змістом: кут \(60°\) гострий, тому сторона проти нього не найдовша — і справді, \(13 < 15\).
Приклад 2. Тупий кут: мінус на мінус
Задача. У трикутнику \(ABC\) відомо: \(AB = 6\), \(BC = 10\), кут \(B = 120°\). Знайдіть сторону \(AC\).
Крок 1. Кут \(B\) укладений між сторонами \(AB\) і \(BC\), а сторона \(AC\) лежить проти нього:
Крок 2. Кут тупий, тому \(\cos 120° = -0{,}5\). Мінус перед добутком і мінус у косинуса дають плюс:
Крок 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Відповідь: \(14\). Перевірка: проти тупого кута лежить найдовша сторона — \(14\) більше і \(6\), і \(10\).
Приклад 3. Знайти кут за трьома сторонами
Задача. Сторони трикутника дорівнюють \(3\), \(5\) і \(7\). Знайдіть його найбільший кут.
Крок 1. Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони, тобто проти сторони \(7\). Позначимо його \(C\), тоді \(c = 7\), а прилеглі сторони \(a = 3\) і \(b = 5\).
Крок 2. Застосовуємо наслідок:
Крок 3. Косинус від'ємний — кут тупий. За таблицею значень \(\cos 120° = -0{,}5\), отже \(C = 120°\).
Відповідь: \(120°\). Попутно з'ясувалося, що трикутник тупокутний.
Приклад 4. Визначити вид трикутника
Задача. Визначте вид трикутника зі сторонами \(6\), \(7\) і \(10\).
Крок 1. Перевіряємо нерівність трикутника: \(6 + 7 = 13 > 10\) — трикутник існує. Найбільша сторона — \(10\).
Крок 2. Порівнюємо суму квадратів двох менших сторін з квадратом найбільшої:
Крок 3. \(85 < 100\), отже чисельник дробу від'ємний і \(\cos C < 0\) — кут проти сторони \(10\) тупий. За бажанням можна знайти і сам кут:
Відповідь: трикутник тупокутний. Зверни увагу: «на око» це не видно — сторони майже рівні, а кут вже перевалив за \(90°\).
Приклад 5. Задача рівня ЗНО: діагональ паралелограма
Задача. Сторони паралелограма дорівнюють \(5\) і \(8\), гострий кут дорівнює \(60°\). Знайдіть меншу діагональ.
Крок 1. Діагональ відсікає трикутник, у якого відомі дві сторони (\(5\) і \(8\)) та кут між ними. Менша діагональ лежить проти гострого кута \(60°\).
Крок 2. Рахуємо:
Крок 3. Перевірка. Друга діагональ лежить проти кута \(120°\) (суміжні кути паралелограма в сумі дають \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), тобто \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Сума квадратів діагоналей дорівнює \(49 + 129 = 178\), а подвоєна сума квадратів сторін — \(2(25 + 64) = 178\). Збіглося, отже рахунок вірний.
Відповідь: \(7\).
Часті помилки в задачах на теорему косинусів
-
Беруть косинус тупого кута зі знаком плюс. Для сторін $4$ і $9$ з кутом $120°$ між ними пишуть $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ і отримують $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), а мінус на мінус дає плюс: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), тобто \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Швидка перевірка: проти тупого кута лежить найдовша сторона, тому відповідь зобов'язана бути більшою за \(9\).
-
Підставляють кут, який не укладений між даними сторонами: в умові дано один кут, і його беруть «як є», не дивлячись на креслення.
У записі \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) сторони \(a\) і \(b\) утворюють кут \(C\), а сторона \(c\) лежить проти нього. Якщо відомий кут прилягає до шуканої сторони, цей запис не підходить — потрібен інший з трьох або теорема синусів.
-
Забувають добути корінь і записують у відповідь квадрат сторони: отримали $c^2 = 225$ і пишуть «сторона дорівнює 225».
Формула завжди дає саме квадрат сторони. Останній крок обов'язковий: \(c = \sqrt{225} = 15\). Перечитуй питання задачі перед тим, як записати відповідь.
-
Плутають порядок доданків у наслідку і пишуть $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Правильний чисельник — \(a^2 + b^2 - c^2\): сума квадратів прилеглих сторін мінус квадрат протилежної. При перестановці знак дробу змінюється на протилежний, і замість тупого кута \(120°\) виходить гострий \(60°\).
-
Знаходять кут за модулем косинуса: отримали −0,25, а у відповідь пишуть гострий кут, ніби косинус був +0,25.
Від'ємний косинус — це завжди тупий кут. Знак втрачати не можна: cos 60° = 0,5, а cos 120° = −0,5; арккосинус від'ємного числа більший за 90°.
-
Намагаються розв'язати задачу «дві сторони і кут між ними» теоремою синусів і застрягають на першому рядку.
Теоремі синусів потрібна готова пара «сторона і протилежний кут». При двох сторонах і куті між ними такої пари немає — спочатку теорема косинусів дає третю сторону, і тільки потім підключається теорема синусів.
Запитання та відповіді
Як звучить теорема косинусів?
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Теорема вірна для будь-якого трикутника, а не тільки для прямокутного.
Як знайти сторону трикутника за двома сторонами та кутом між ними?
Підставити дані у формулу c² = a² + b² − 2ab·cos C та добути корінь. Наприклад, при сторонах 4 і 6 та куті 60° між ними: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, отже c = √28 ≈ 5,3.
Як знайти кут трикутника, якщо відомі три сторони?
За наслідком з теореми косинусів: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), де c — сторона навпроти шуканого кута. Наприклад, для сторін 2, 3 і 4 косинус найбільшого кута дорівнює (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, отже кут тупий, приблизно 104°.
Чому теорема Піфагора — окремий випадок теореми косинусів?
Тому що при прямому куті cos 90° = 0, і доданок −2ab·cos C обнулюється. Від формули залишається c² = a² + b² — це і є теорема Піфагора для прямокутного трикутника.
Чи працює теорема косинусів у тупокутному трикутнику?
Так, і працює без змін. У тупого кута косинус від'ємний, тому доданок −2ab·cos C стає додатним і додається до суми квадратів. Саме через це сторона проти тупого кута виявляється найдовшою.
Коли застосовувати теорему синусів, а коли теорему косинусів?
Теорема синусів потрібна, коли в умові вже є пара «сторона і протилежний їй кут» — наприклад, дана сторона і два кути. Теорема косинусів — коли такої пари немає: дані дві сторони і кут між ними або всі три сторони. Часто задачу розв'язують у два кроки: спочатку косинуси, потім синуси.
Як визначити вид трикутника за трьома сторонами?
Порівняти квадрат найбільшої сторони c² із сумою квадратів двох інших. Якщо a² + b² > c² — трикутник гострокутний, якщо a² + b² = c² — прямокутний, якщо a² + b² < c² — тупокутний. Знак цієї різниці збігається зі знаком косинуса найбільшого кута.
В якому класі проходять теорему косинусів?
У 9 класі на уроках геометрії, в темі «Співвідношення між сторонами та кутами трикутника» — разом з теоремою синусів. Далі вона постійно використовується в задачах ЗНО та ЗНО з планіметрії та в стереометрії.
