Подібні трикутники — це трикутники однакової форми, але різного розміру: їхні кути відповідно рівні, а відповідні сторони пропорційні. Число, що показує, у скільки разів один трикутник більший за інший, називають коефіцієнтом подібності \(k\). Довести подібність допомагають три ознаки, а відношення периметрів і площ підкоряються простому правилу: периметри відносяться як \(k\), а площі — як \(k^2\). На цій сторінці — визначення та запис подібності з правильним порядком вершин, усі три ознаки, подібність прямокутних трикутників і висота з прямого кута, розбори завдань ЗНО «знайдіть сторону» та інтерактивний тренажер.
Що таке подібні трикутники та коефіцієнт подібності
Два трикутники називають подібними, якщо виконуються одразу дві умови:
- їхні кути відповідно рівні — кожному куту першого трикутника відповідає рівний йому кут другого;
- їхні відповідні сторони пропорційні — усі три відношення дають одне й те саме число.
Відповідні (сходственні) сторони — це сторони, які лежать проти рівних кутів. Саме вони утворюють пари, між якими рахують відношення.
Подібність записують знаком \(\sim\):
Коефіцієнт подібності \(k\) — те саме однакове відношення відповідних сторін:
Якщо \(k > 1\), другий трикутник більший за перший; якщо \(k < 1\) — менший; при \(k = 1\) трикутники просто рівні, адже рівність — це окремий випадок подібності.
Порядок вершин у записі — не формальність
Запис \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) читається строго за позиціями: \(A\) відповідає \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Звідси одразу випливає, які кути рівні (\(\angle A = \angle A_1\)) і які сторони відповідні (\(AB\) і \(A_1B_1\), \(BC\) і \(B_1C_1\), \(AC\) і \(A_1C_1\)).
Якщо переставити літери і написати \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), вийде інше твердження: тепер $ \angle A = \angle B_1$, а відповідною до \(AB\) стане сторона \(B_1A_1\). Складати пропорцію за «схоже розташованими» сторонами не можна — тільки за позиціями в записі. Тому перш за все виписують пари рівних кутів і вже під них підлаштовують порядок літер.
Три ознаки подібності трикутників
Перевіряти всі шість умов з означення не потрібно: подібність доводять за однією з трьох ознак. Кожна — це мінімальний набір даних, з якого автоматично випливає і рівність усіх кутів, і пропорційність усіх сторін.
Як обирати ознаку. Подивись, що дано в задачі: якщо про кути — перша, якщо про дві сторони та кут — друга, якщо про всі три сторони — третя.
- Перша ознака (за двома кутами) — робоча конячка шкільного курсу: майже всі задачі ЗНО розв'язуються саме нею. Третій кут перевіряти не потрібно, він рівний автоматично: сума кутів трикутника завжди \(180°\). Шукай готові пари рівних кутів — спільний кут двох трикутників, вертикальні кути, накрест-лежні та відповідні при паралельних прямих, два прямі кути.
- Друга ознака (за двома сторонами та кутом між ними) вимагає, щоб кут був саме між цими двома сторонами. Якщо рівний кут лежить навпроти однієї з них, ознака не працює і подібність не доведена.
- Третя ознака (за трьома сторонами) — коли кутів в умові немає зовсім, а є тільки довжини. Випиши сторони кожного трикутника за зростанням і поділи найменшу на найменшу, середню на середню, найбільшу на найбільшу: так пари точно не переплутаються. Подібність є, тільки якщо всі три відношення співпали.
Щоб не плутати ознаки подібності з ознаками рівності, тримай у голові різницю: в рівності сторони мають збігатися, в подібності — бути пропорційними.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Відношення периметрів і площ подібних трикутників
У подібності є два наслідки, які запитують найчастіше, і один із них — головна пастка теми.
Периметри відносяться як \(k\). Кожна сторона другого трикутника в \(k\) разів більша за відповідну сторону першого, тому і сума сторін зростає рівно в \(k\) разів:
Так само — «в \(k\) разів» — поводяться всі лінійні величини: висоти, медіани, бісектриси, радіуси вписаного та описаного кіл, середні лінії.
Площі відносяться як \(k^2\). Площа залежить від двох вимірів одразу: і основа, і висота збільшуються в \(k\) разів, а добуток — в \(k \cdot k\) разів:
Нехай \(k = 5\). Тоді периметр більший у 5 разів (наприклад, було 14 см — стало 70 см), а площа — вже в 25 разів (було 6 см² — стало 150 см²). Різниця величезна, і підставити сюди \(k\) замість \(k^2\) — найчастіша помилка на екзамені.
Зворотний хід. Якщо в умові дано відношення площ, коефіцієнт подібності дістають коренем: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Наприклад, площі відносяться як \(16 : 1\), отже сторони — як \(4 : 1\).
| k | Периметри P₂ : P₁ | Площі S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| будь-яке | k : 1 | k² : 1 |
Подібність прямокутних трикутників і висота з прямого кута
Для прямокутних трикутників перша ознака спрощується: прямі кути в них рівні заздалегідь, тому достатньо рівності одного гострого кута, щоб трикутники були подібні. З цього ж випливає ознака за двома катетами: якщо катети одного пропорційні катетам іншого, трикутники подібні (це друга ознака, адже кут між катетами — прямий).
Найкорисніша конфігурація всієї теми — висота, проведена з вершини прямого кута. Вона розбиває трикутник на два, і всі три отримані трикутники подібні один одному.
Чому так: у трикутника \(AHC\) прямий кут при \(H\) і спільний з великим трикутником кут \(A\), отже \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). У трикутника \(CHB\) прямий кут при \(H\) і спільний кут \(B\), отже \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Звідси подібні і два маленькі трикутники між собою.
З цих подібностей виходять формули середнього геометричного (їх називають пропорційними відрізками в прямокутному трикутнику):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — висота є середнім геометричним відрізків, на які вона ділить гіпотенузу;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) і \(BC^2 = HB \cdot AB\) — катет є середнім геометричним усієї гіпотенузи та своєї проєкції на неї.
Головне — не переплутати, який відрізок «свій»: у катета \(AC\) проєкція \(AH\), у катета \(BC\) проєкція \(HB\). Проєкція завжди примикає до того ж кінця гіпотенузи, що й катет.
Задачі ЗНО на подібність: як знайти сторону
Майже всі задачі на подібність розв'язуються за одним алгоритмом:
- Знайти пару рівних кутів — спільний кут, вертикальні, накрест-лежні при паралельних прямих або два прямі.
- Записати подібність у правильному порядку вершин — так, щоб рівні кути стояли на однакових позиціях.
- Скласти пропорцію з відповідних сторін (беремо сторони, що стоять на однакових місцях у записі).
- Виразити невідому і порахувати; в кінці перевірити відповідь за змістом — сторона меншого трикутника зобов'язана вийти меншою.
Типових конфігурацій на ЗНО небагато, і їх варто впізнавати з першого погляду:
- Пряма, паралельна стороні. Пряма відсікає від трикутника маленький трикутник, подібний вихідному. Ключова тонкість: в пропорцію йде відношення цілих сторін від спільної вершини (\(BM : BA\)), а не відрізків (\(BM : MA\)).
- «Метелик». Два відрізки перетинаються, а їхні кінці з'єднані паралельними прямими — виходять два подібні трикутники, розгорнуті один відносно одного.
- Висота з прямого кута — конфігурація з попереднього розділу; на ЗНО за нею шукають висоту, катет або відрізок гіпотенузи.
- Тінь і висота предмета. Сонячні промені паралельні, тому предмет зі своєю тінню і дерево зі своєю тінню дають подібні прямокутні трикутники.
- Середня лінія — окремий випадок з \(k = 2\): вона паралельна стороні і вдвічі коротша за неї.
кут B спільний, кути при M і A відповідні
кути при O вертикальні, кути A і C накрест-лежні
Приклади розв'язання задач на подібність трикутників
Приклад 1. Знайти сторони за коефіцієнтом подібності
Задача. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Відомо, що \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) і \(PQ = 21\). Знайдіть \(QR\) і \(PR\).
Крок 1. Розбираємо запис за позиціями: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Отже, відповідні пари такі: \(MN\) і \(PQ\), \(NK\) і \(QR\), \(MK\) і \(PR\).
Крок 2. Рахуємо коефіцієнт за єдиною парою, де відомі обидві сторони:
Крок 3. Інші сторони другого трикутника в 3 рази більші за відповідні:
Відповідь: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Перевірка: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — усі відношення співпали.
Приклад 2. Довести подібність за другою ознакою
Задача. У трикутниках \(ABC\) і \(DEF\) відомо: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), а кути \(A\) і \(D\) рівні. Доведіть, що трикутники подібні.
Крок 1. Перевіряємо головну умову другої ознаки: кут \(A\) укладений між сторонами \(AB\) і \(AC\), кут \(D\) — між \(DE\) і \(DF\). Кути між даними сторонами — ознака застосовна.
Крок 2. Рахуємо відношення відповідних сторін:
Крок 3. Дві пари сторін пропорційні з одним коефіцієнтом \(k = 3\), кути між ними рівні — за другою ознакою \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Відповідь: трикутники подібні, \(k = 3\). Зауваж: якби рівними були кути \(B\) і \(D\), ознака не спрацювала б — кут \(B\) не лежить між \(AB\) і \(AC\).
Приклад 3. Пряма, паралельна стороні (задача ЗНО)
Задача. У трикутнику \(ABC\) точка \(M\) лежить на стороні \(AB\), точка \(N\) — на стороні \(BC\), причому \(MN \parallel AC\). Відомо, що \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Знайдіть \(AC\).
Крок 1. Оскільки \(MN \parallel AC\), кути \(BMN\) і \(BAC\) рівні як відповідні, а кут \(B\) — спільний. За першою ознакою \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (порядок вершин: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Крок 2. Знаходимо повну сторону від спільної вершини: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Це головна тонкість — у пропорцію йде \(BA\), а не \(MA\).
Крок 3. Складаємо пропорцію за відповідними сторонами:
Крок 4. Звідси \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Відповідь: \(AC = 20\). Коефіцієнт подібності тут дорівнює 4: великий трикутник вчетверо більший за відсічений.
Приклад 4. Периметри та площі
Задача. Периметри подібних трикутників дорівнюють 18 см і 45 см. Площа меншого трикутника дорівнює 16 см². Знайдіть площу більшого.
Крок 1. Периметри відносяться як коефіцієнт подібності:
Крок 2. Площі відносяться як квадрат коефіцієнта: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Крок 3. Множимо площу меншого трикутника на \(k^2\):
Відповідь: 100 см². Якби ми помножили на \(k = 2{,}5\), отримали б 40 см² — типова помилка, через яку втрачають весь бал.
Приклад 5. Висота з вершини прямого кута
Задача. У прямокутному трикутнику \(ABC\) з прямим кутом при вершині \(C\) проведено висоту \(CH\) до гіпотенузи. Відомо, що \(AH = 4\) см, \(HB = 9\) см. Знайдіть висоту \(CH\) і площу трикутника.
Крок 1. Висота з прямого кута — середнє геометричне відрізків гіпотенузи, тому що \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Крок 2. Витягуємо корінь: \(CH = 6\) см.
Крок 3. Гіпотенуза \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) см. Площу рахуємо через гіпотенузу та проведену до неї висоту:
Відповідь: \(CH = 6\) см, \(S = 39\) см².
Приклад 6. Висота дерева за тінню
Задача. Вертикальний жердини заввишки 2 м відкидає тінь завдовжки 1,5 м. У той самий момент тінь дерева дорівнює 9 м. Яка висота дерева?
Крок 1. Сонячні промені паралельні, тому кут падіння променя для жердини і для дерева однаковий. Жердина з тінню і дерево з тінню утворюють прямокутні трикутники з рівним гострим кутом — отже, вони подібні.
Крок 2. Складаємо пропорцію «висота до своєї тіні»:
Крок 3. Виражаємо невідому висоту:
Відповідь: 12 м. Перевірка за змістом: тінь дерева в 6 разів довша за тінь жердини, отже і дерево в 6 разів вище: \(2 \cdot 6 = 12\) м.
Часті помилки в задачах на подібність трикутників
-
Рахують, що площі подібних трикутників відносяться як $k$: при $k = 3$ збільшують площу втричі.
Площі відносяться як квадрат коефіцієнта: при \(k = 3\) площа більша в \(3^2 = 9\) разів. Як \(k\) відносяться тільки лінійні величини — сторони, периметр, висоти, медіани. Правило-підказка: площа вимірюється в квадратних одиницях, отже і коефіцієнт у неї входить у квадраті.
-
Ігнорують порядок вершин: із запису $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ складають пропорцію $AB : LM$.
Відповідність вершин задається позиціями в записі: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Відповідною до \(AB\) буде \(KL\), а до \(BC\) — \(LM\). Перш ніж писати пропорцію, випиши пари вершин стовпчиком — це займає п'ять секунд і знімає більшість помилок.
-
Доводять подібність за одним рівним кутом або за двома пропорційними сторонами без кута.
Одного рівного кута замало: у двох трикутників може збігтися кут при абсолютно різній формі. Потрібна повна ознака — два кути, або дві сторони та кут між ними, або всі три сторони.
-
У другій ознаці беруть кут, який не лежить між даними сторонами.
Друга ознака працює тільки з кутом між двома даними сторонами. Якщо відомі \(AB\), \(AC\) і рівний кут \(B\), ознака незастосовна — шукай інший шлях: пару рівних кутів або третю сторону.
-
Перевертають коефіцієнт: знаходять $k$ як «менша сторона до більшої», а потім множать на нього, щоб отримати сторону більшого трикутника.
Домовся сам із собою про напрямок: якщо \(k\) — відношення сторін другого трикутника до першого, то сторони першого множать на \(k\), а сторони другого на \(k\) ділять. Фінальна перевірка за змістом: сторона меншого трикутника зобов'язана вийти меншою.
-
У задачі з прямою, паралельною стороні, складають пропорцію з відрізків: $BM : MA = MN : AC$.
Подібні трикутники \(BMN\) і \(BAC\), а їхні відповідні сторони — \(BM\) і \(BA\) (ціла сторона від спільної вершини), а не відрізок \(MA\). Спочатку знайди \(BA = BM + MA\), і тільки потім складай пропорцію.
-
Плутають подібність із рівністю і у відповіді пишуть, що сторони просто рівні.
Рівність — окремий випадок подібності при \(k = 1\). Якщо \(k \ne 1\), у трикутників збігаються тільки кути, а сторони відрізняються в \(k\) разів. Ознаки теж різні: у рівності це СУС, УСУ, ССС з відповідними сторонами, у подібності — пропорційні сторони.
Запитання та відповіді
Які трикутники називаються подібними?
Подібними називаються трикутники, у яких кути відповідно рівні, а відповідні сторони пропорційні. Простіше кажучи, це трикутники однакової форми, але різного розміру. Записують подібність знаком ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Що таке коефіцієнт подібності трикутників?
Коефіцієнт подібності k — це число, рівне відношенню відповідних сторін подібних трикутників: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Воно показує, у скільки разів один трикутник більший за інший. При k = 1 трикутники рівні.
Скільки ознак подібності трикутників і які вони?
Ознак три. Перша — за двома кутами: два кути одного трикутника рівні двом кутам іншого. Друга — за двома сторонами та кутом між ними: дві сторони пропорційні та кути між ними рівні. Третя — за трьома сторонами: усі три пари відповідних сторін пропорційні.
Як відносяться площі подібних трикутників?
Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності: S₂ : S₁ = k². Наприклад, при k = 4 площа більша в 16 разів. Зворотно: якщо площі відносяться як 25 : 1, то сторони відносяться як 5 : 1.
Як відносяться периметри подібних трикутників?
Периметри відносяться як коефіцієнт подібності: P₂ : P₁ = k. Так само поводяться всі лінійні елементи — висоти, медіани, бісектриси, середні лінії, радіуси вписаного та описаного кіл.
Чим подібність трикутників відрізняється від рівності?
У рівних трикутників збігаються і кути, і сторони, тому фігури можна накласти одна на одну. У подібних збігаються тільки кути, а сторони пропорційні з коефіцієнтом k. Рівність — це окремий випадок подібності при k = 1.
Як довести подібність прямокутних трикутників?
Достатньо рівності одного гострого кута: прямі кути в них вже рівні, отже працює перша ознака. Другий спосіб — пропорційність катетів: кут між катетами прямий, тому застосовна друга ознака подібності.
Чому висота з прямого кута дає три подібні трикутники?
Висота CH з вершини прямого кута C ділить трикутник ABC на трикутники AHC і CHB. У AHC прямий кут при H і спільний з ABC кут A, у CHB — прямий кут при H і спільний кут B, тому обидва подібні вихідному, а отже і один одному. Звідси виходять формули CH² = AH · HB, AC² = AH · AB і BC² = HB · AB.
В якому класі проходять подібність трикутників?
У 8 класі на уроках геометрії — одразу після теми про пропорційні відрізки. Там же вивчають три ознаки подібності, відношення площ і застосування подібності до прямокутного трикутника. Далі тема використовується в 9 класі та в завданнях ЗНО.
