Aritmetik ortalama, medyan, mod ve açıklık, bir sayı grubunu tanımlamanın dört yoludur. Bunlardan üçü —aritmetik ortalama, medyan ve mod— merkezi eğilim ölçüleridir: size "tipik" bir değerin neye benzediğini söylerler. Dördüncüsü olan açıklık ise verilerin ne kadar dağıldığını ölçer. Bu sayfada her birinin net tanımını, tam olarak nasıl hesaplanacağını (çift sayılı medyanlar dahil), hangisinin ne zaman kullanılacağını, çözümlü örnekleri, yaygın hataları ve pratik yapabileceğiniz etkileşimli bir testi bulacaksınız.
Aritmetik ortalama, medyan, mod ve açıklık nedir?
Her ölçü, verileriniz hakkında farklı bir soruya yanıt verir:
- Aritmetik Ortalama — ortalama. Tüm değerleri tek bir sayıda dengeler.
- Medyan — sayılar sıralandığında ortadaki değer.
- Mod — en sık görünen değer.
- Açıklık — en küçük değerden en büyüğe kadar olan yayılım.
Aşağıdaki tablo, her birinin ne olduğunu ve tam olarak nasıl hesaplanacağını gösterir. Sadece modun frekans (sıklık) ile ilgili olduğuna ve sadece açıklığın merkezi bir değer yerine yayılımı tanımladığına dikkat edin.
| Ölçü | Nedir | Nasıl hesaplanır |
|---|---|---|
| Aritmetik Ortalama | Ortalama değer | Tüm sayıları toplayın, sonra kaç tane sayı varsa ona bölün |
| Medyan | Sıralamadaki orta değer | Sayıları sıralayın; ortadakini seçin. İki orta sayı varsa, ortalamasını alın |
| Mod | En sık görünen değer | En çok tekrar eden değeri bulun. Hiç olmayabilir, bir tane veya birkaç tane olabilir |
| Açıklık | Verilerin yayılımı | En büyük değerden en küçük değeri çıkarın |
Aritmetik ortalama, medyan ve mod nasıl bulunur
Nasıl farklı olduklarını görebilmeniz için hepsini tek bir veri seti üzerinde hesaplayalım. 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 sayılarını ele alalım (yedi değer).
Aritmetik Ortalama. Toplayalım: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. 7 değer var, yani ortalama 42 ÷ 7 = 6.
Medyan. Önce sıralayalım: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. 7 değer olduğunda ortadaki 4. sıradakidir, yani medyan 6'dır. (Seçmeden önce mutlaka sıralayın — bu en yaygın hatadır.)
Mod. 8 değeri üç kez görünüyor, diğerlerinden daha fazla, yani mod 8'dir.
Açıklık. En büyük değer 8 ve en küçük 3, yani açıklık 8 − 3 = 5'tir.
Bir veri seti, dört farklı cevap — işte bu yüzden dört farklı ölçümüz var.
Her ölçü ne zaman kullanılır
Ölçüler birbirine rakip değildir — her biri farklı türde bir soru için en iyisidir.
- Aritmetik Ortalama günlük "ortalama"dır ve değerler, sınav notları veya günlük sıcaklıklar gibi birbirine yakın olduğunda harikadır. Zayıf yönü: tek bir çok büyük veya çok küçük değer (aykırı değer), onu merkezden çok uzağa çekebilir.
- Medyan orta değerdir, bu yüzden aykırı değerler onu pek etkilemez. Ev fiyatlarının ve gelirlerin genellikle medyan olarak rapor edilmesinin nedeni budur — bir malikane tipik değeri bozmaz.
- Mod, en çok satılan ayakkabı numarası veya sınıftaki favori renk gibi ortalamasını alamayacağınız şeyler için çalışan tek ölçüdür. Bir veri setinin bir modu, birkaç modu veya hiç modu olmayabilir.
- Açıklık tipik bir değeri tanımlamaz — verilerin ne kadar dağıldığını söyler. Küçük bir açıklık değerlerin birbirine yakın olduğu, büyük bir açıklık ise uzak olduğu anlamına gelir.
Çözümlü örnekler: adım adım
Örnek 1. Tek bir veri setinde dört ölçü
Veri seti: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
Adım 1 — Sayıları sıralayın. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
Adım 2 — Aritmetik Ortalama. Toplayın: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. 7 değer var, yani ortalama 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
Adım 3 — Medyan. 7 değer olduğunda ortadaki, sıralı listedeki 4. sıradakidir: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Medyan 6'dır.
Adım 4 — Mod. 3 değeri üç kez görünüyor, diğerlerinden daha fazla, yani mod 3'tür.
Adım 5 — Açıklık. En büyükten en küçüğü çıkarın: 10 − 3 = 7.
Cevap: ortalama ≈ 5,57, medyan = 6, mod = 3, açıklık = 7.
Örnek 2. Çift sayıda değer ile medyan
Veri seti: 12, 5, 8, 20 (dört değer — çift sayı).
Adım 1 — Sıralayın. 5, 8, 12, 20.
Adım 2 — İki orta değeri bulun. Çift sayıda değer olduğunda tek bir orta sayı yoktur. Burada iki orta değer 8 ve 12'dir.
Adım 3 — Ortalamasını alın. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Medyan 10'dur — 10 orijinal sayılardan biri olmasa bile. Bu, çift sayılı medyanlar için normaldir.
Örnek 3. Modu olmayan bir veri seti
Veri seti: 2, 5, 9, 11, 14.
Her değer tam olarak bir kez görünüyor, yani hiçbir değer tekrar etmiyor. Bu veri setinin modu yoktur — bu geçerli bir cevaptır, hata değildir.
Buna karşılık, 4, 4, 7, 7, 9 veri setinin iki modu (4 ve 7) vardır çünkü her ikisi de en sık görünmektedir. İki modu olan bir sete iki modlu (bimodal) denir.
Kaçınılması gereken yaygın hatalar
-
Sayıları önce sıralamadan medyanı bulmak.
Medyan, sıralı sayıların orta değeridir. Ortadakini seçmeden önce her zaman küçükten büyüğe sıralayın. 7, 2, 9 setinde medyan 7'dir (sıralı: 2, 7, 9), 9 değildir.
-
Çift sayıda değer için, iki orta sayıdan sadece birini seçmek.
Çift sayıda değer olduğunda tek bir orta yoktur. İki orta değeri alın ve ortalamasını hesaplayın. 5, 8, 12, 20 için medyan (8 + 12) ÷ 2 = 10'dur, 8 veya 12 değildir.
-
Her veri setinin tam olarak bir modu olması gerektiğini varsaymak.
Bir veri setinin modu olmayabilir (hiçbir şey tekrar etmiyorsa) veya birkaç modu olabilir (iki veya daha fazla değer en sık görünme konusunda eşitse). Her ikisi de doğru cevaptır — tek bir mod olmaya zorlamayın.
-
Aritmetik ortalama ile medyanı karıştırmak ve onları aynı şeymiş gibi ele almak.
Aritmetik ortalama ortalamadır (topla ve böl); medyan sıralamadaki orta değerdir. Özellikle aykırı bir değer olduğunda genellikle farklıdırlar. 2, 3, 4, 100 için ortalama 27,25 iken medyan sadece 3,5'tir.
-
Açıklığı mod ile karıştırmak veya çıkarmayı unutmak.
Açıklık bir yayılım ölçüsüdür: en büyük değer eksi en küçük değer. Yayılımı tanımlayan tek bir sayıdır, en sık görünen değer değildir. 4, 9, 15 için açıklık 15 − 4 = 11'dir.
Sıkça sorulan sorular
Aritmetik ortalama, medyan, mod ve açıklık nedir?
Aritmetik ortalama ortalamadır (tüm değerleri topla ve kaç tane varsa ona böl). Medyan, sayılar sıralandığında ortadaki değerdir. Mod, en sık görünen değerdir. Açıklık, en büyük değerden en küçük değerin çıkarılmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan ve mod tipik bir değeri tanımlar; açıklık verilerin ne kadar dağıldığını tanımlar.
Bir veri setinin aritmetik ortalaması nasıl bulunur?
Toplamı elde etmek için tüm sayıları toplayın, sonra toplamı kaç sayı varsa ona bölün. Örneğin, 4, 6, 8, 2'nin ortalaması (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5'tir.
Çift sayıda değer olduğunda medyan nasıl bulunur?
Sayıları sıralayın, sonra ortadaki iki değeri alın ve ortalamasını hesaplayın (toplayın ve 2'ye bölün). 5, 8, 12, 20 için iki orta değer 8 ve 12'dir, yani medyan (8 + 12) ÷ 2 = 10'dur. Sonuç, orijinal sette olmayan bir sayı olabilir.
Aritmetik ortalama ile medyan arasındaki fark nedir?
Aritmetik ortalama tüm değerlerin ortalamasıdır, bu yüzden her sayı onu etkiler. Medyan sadece sıralamadaki orta değerdir, bu yüzden çok büyük veya çok küçük sayılardan (aykırı değerler) neredeyse hiç etkilenmez. Bir veri setinde aykırı değerler olduğunda, medyan genellikle ortalamadan daha tipik bir değer verir.
Bir veri setinin birden fazla modu olabilir mi veya hiç modu olmayabilir mi?
Evet. Hiçbir değer tekrar etmiyorsa, veri setinin modu yoktur. İki veya daha fazla değer en çok görünme konusunda eşitse, setin birden fazla modu vardır — iki modu olana iki modlu (bimodal) denir. Mod olmaması veya birkaç mod olması tamamen geçerlidir.
Merkezi eğilim ölçüleri nelerdir?
Merkezi eğilim ölçüleri, bir veri setinin merkezini veya tipik değerini tanımlayan tek sayılardır. Üç ana ölçü aritmetik ortalama, medyan ve moddur. Açıklık bir merkezi eğilim ölçüsü değildir — bunun yerine yayılımı ölçer.
