Orantı, iki oranın eşitliğidir, örneğin \(2:3 = 8:12\). Orantıları çözmek için tek bir araca ihtiyacınız var: orantının temel özelliği: dış terimlerin çarpımı, iç terimlerin çarpımına eşittir. Okulda buna "içler dışlar çarpımı" kuralı denir. Aşağıda oran ve orantının ne olduğu, bilinmeyen terimin nasıl bulunacağı, doğru orantının tersten farkı, tarif, ölçek ve fiyat problemleri, yüzdeler ve 10 soruluk bir alıştırma bulunmaktadır.
Oran ve orantı nedir
İki sayının oranı, onların bölümüdür. \(2:3\) oranı (iki bölü üç veya ikiye üç diye okunur), bir sayının diğerinden kaç kat büyük olduğunu veya birinin diğerinin kaçta kaçı olduğunu gösterir. İki şekilde yazılabilir: \(2:3\) veya \(\frac{2}{3}\) kesri — ikisi de aynı şeydir.
Orantı, iki oranın eşitliğidir:
Bir orantıda toplam dört sayı vardır ve bunların isimleri vardır. Yazıdaki uçlardaki sayılar dış terimler, ortadaki sayılar iç terimlerdir. Her iki oran da aynı sayıya eşit olduğunda orantı doğrudur.
Orantının temel özelliği: içler dışlar çarpımı kuralı
Orantının temel özelliği: dış terimlerin çarpımı, iç terimlerin çarpımına eşittir.
Neden böyle olur? \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) eşitliğinin her iki tarafını \(b \cdot d\) ile çarpalım. Solda \(b\), sağda \(d\) sadeleşir ve geriye \(a \cdot d = c \cdot b\) kalır. Sihir değil, eşitliklerin basit bir özelliği.
Öğrencilerin "içler dışlar çarpımı" dediği şey tam olarak budur: sayılar çapraz olarak çarpılır. Bu özellik tersi için de geçerlidir: dört sayı için (hiçbiri sıfır değilse) \(a \cdot d = b \cdot c\) sağlanıyorsa, bunlardan doğru bir orantı kurulabilir.
Buradan iki beceri doğar: orantının doğru olup olmadığını kontrol etmek ve içindeki bilinmeyen sayıyı bulmak.
Orantıda bilinmeyen terim nasıl bulunur
Temel özellikten iki kısa kural çıkar:
- bilinmeyen dış terim = içler çarpımı : bilinen dış terim;
- bilinmeyen iç terim = dışlar çarpımı : bilinen iç terim.
Bunları ezberlemek zorunda değilsiniz. Tek bir evrensel yöntem yeterlidir: içler dışlar çarpımı yapın, "sayı \(\cdot\, x\) = sayı" şeklinde bir eşitlik elde edin ve bölün. Bunu \(x : 7 = 12 : 21\) orantısı üzerinde adım adım inceleyelim.
Son adım olan kontrol, beş saniye sürer ve neredeyse her aritmetik hatayı yakalar, bu yüzden atlamamak gerekir.
Doğru ve ters orantı
İki çokluktan biri arttığında diğeri de aynı oranda artıyorsa, bu çokluklara doğru orantılı denir. İki kat fazla defter aldınız, iki kat fazla ödediniz. Bu çoklukların oranı sabittir.
Biri arttığında diğeri aynı oranda azalıyorsa, çokluklar ters orantılıdır. İki kat fazla işçi, aynı iş için iki kat daha az gün demektir. Bu çoklukların çarpımı sabittir.
Temel fark, orantıyı kurduğumuz anda görülür. Doğru orantı için "olduğu gibi" kurulur: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Ters orantı için ikinci oran ters çevrilir: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Neden? Ters orantıda çarpım sabittir: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Her iki tarafı \(a_2 \cdot b_1\) ile bölersek, tam olarak \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) elde ederiz. Yani "ters çevirme" ezberlenmesi gereken bir büyü değil, oranın değil çarpımın sabit kalmasının bir sonucudur.
| Özellik | Doğru | Ters |
|---|---|---|
| İlişki | fazla → fazla | fazla → az |
| Sabit | oran a : b | çarpım a × b |
| Yazım | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Örnek | 3 kalem — 90 TL, 5 kalem — 150 TL | 4 boyacı — 9 gün, 6 boyacı — 6 gün |
Problemlere orantı nasıl kurulur: tarif, ölçek, fiyat
"Orantı" problemleri tek bir senaryoya göre çözülür:
- Koşulu iki sütuna, aynı çokluklar alt alta gelecek şekilde yazın (porsiyonlar porsiyonların, gramlar gramların altına).
- Arananı \(x\) olarak işaretleyin.
- İlişki türünü belirleyin: zihninizde ilk çokluğu artırın ve ikincinin artıp artmadığına bakın.
- Orantıyı kurun — ters orantı için ikinci oranı ters çevirin.
- İçler dışlar çarpımı yapın ve cevabın mantıklı olup olmadığını kontrol edin.
Tarif üzerinde gösterelim. 4 porsiyon krep için 300 gr un lazım — 6 porsiyon için ne kadar un lazım? Porsiyon daha fazla, demek ki un da daha fazla: ilişki doğru, orantı "olduğu gibi" kurulur:
6 porsiyon için 450 gr un lazım. Cevap mantıklı: porsiyon bir buçuk kat arttı, un da bir buçuk kat arttı.
Ölçek (haritadaki mesafe, arazideki mesafeye 1'in ölçek sayısına oranı gibi) ve fiyat (ürün miktarı, fiyatın fiyata oranı gibi) problemleri de aynı şekilde çözülür. Tam çözümler aşağıdaki örneklerdedir.
Orantı ile yüzdeler
Yüzde, bir sayının yüzde biri demektir, bu yüzden herhangi bir basit yüzde problemi orantıya dönüşür:
Bir yerde dört sayıdan biri bilinmiyor — onu da içler dışlar çarpımı ile buluyoruz.
Kısmı bulma. 240'ın %15'i kaçtır? \(x : 240 = 15 : 100\) kuruyoruz, yani \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) ve \(x = 36\).
Bütünü bulma. 21 sayısı, bir sayının %35'idir. \(21 : x = 35 : 100\) kuruyoruz, yani \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) ve \(x = 60\).
Yüzdeyi bulma. 18 sayısı 45'in yüzde kaçıdır? \(18 : 45 = p : 100\) kuruyoruz, yani \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) ve \(p = 40\), yani %40.
Tek bir yöntem — üç farklı problem türü, ekstradan bir şey ezberlemeye gerek yok. Sadece "bir çokluk yüzde kaç arttı veya azaldı" sorusu ayrıdır: orada önce değişim bulunur, sonra ilk değere bölünür — bu basit bir orantı değil, yüzde değişim formülüdür.
Adım adım orantı çözme örnekleri
Örnek 1. Bilinmeyen iç terim
Problem. \(15 : x = 45 : 24\) orantısının bilinmeyen terimini bulun.
Adım 1. Hangi terimin nerede olduğunu belirliyoruz. Dışlar 15 ve 24, içler \(x\) ve 45.
Adım 2. Temel özelliği uyguluyoruz: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), yani \(360 = 45x\).
Adım 3. Bölüyoruz: \(x = 360 : 45 = 8\).
Kontrol. \(15 : 8 = 1{,}875\) ve \(45 : 24 = 1{,}875\) — oranlar eşittir.
Cevap: \(x = 8\).
Örnek 2. Doğru orantı: fiyat ve miktar
Problem. Altı defter 210 TL. Aynı defterden 10 tanesi ne kadar?
Adım 1. Defter daha fazla — maliyet daha fazla, demek ki ilişki doğru.
Adım 2. Koşulu aynı çokluklar yan yana gelecek şekilde yazıyoruz ve orantıyı "olduğu gibi" kuruyoruz:
Adım 3. İçler dışlar: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), yani \(x = 2100 : 6 = 350\).
Kontrol. Bir defter \(210 : 6 = 35\) TL, on tanesi \(35 \cdot 10 = 350\) TL. Tutuyor.
Cevap: 350 TL.
Örnek 3. Ters orantı: işçiler ve günler
Problem. Sekiz işçi bir siparişi 15 günde bitiriyor. Aynı siparişi 12 işçi aynı hızla çalışırsa kaç günde bitirir?
Adım 1. İşçi sayısı arttı — gün sayısı azalacak. İlişki ters.
Adım 2. İkinci oranı ters çevirerek orantıyı kuruyoruz:
Burada \(x\) 12 işçi için gün sayısı, 15 ise 8 işçi için gün sayısıdır: yer değiştirdiler çünkü ilişki ters.
Adım 3. İçler dışlar: \(8 \cdot 15 = 12x\), yani \(120 = 12x\) ve \(x = 10\).
Kontrol. Çarpım sabit: \(8 \cdot 15 = 120\) ve \(12 \cdot 10 = 120\). Tutuyor ve cevap mantıklı — gün sayısı azaldı.
Cevap: 10 gün.
Örnek 4. Harita ölçeği
Problem. Harita ölçeği \(1 : 200\,000\). Haritadaki yerleşim yerleri arası mesafe 7 cm. Arazideki mesafe nedir?
Adım 1. \(1 : 200\,000\) ölçeği şu anlama gelir: haritadaki 1 cm, arazide 200 000 cm'ye karşılık gelir. Bu hazır bir orandır.
Adım 2. Orantıyı kuruyoruz:
Adım 3. İçler dışlar: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), yani \(x = 1\,400\,000\) cm.
Adım 4. Uygun birimlere çeviriyoruz: bir kilometrede 100 000 cm vardır, bu yüzden \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Cevap: 14 km.
Örnek 5. Orantı ile yüzdeler
Problem. Bir sınıfta 25 öğrenci var, %60'ı geziye gitti. Geziye kaç kişi gitti?
Adım 1. Bütün — 25 öğrencinin tamamı, %100'e karşılık gelir. Aranan kısım — \(x\) kişi, %60'a karşılık gelir.
Adım 2. "Kısım : bütün = yüzde : 100" orantısını kuruyoruz:
Adım 3. İçler dışlar: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), yani \(x = 15\).
Kontrol. 25 kişiden 15'i — \(15 : 25 = 0{,}6\), yani tam %60.
Cevap: 15 kişi.
Orantı çözerken sık yapılan hatalar
-
Sayıları içler dışlar değil, "yan yana" çarpmak: 5 : 2 = 20 : 8 orantısında 5 · 2 ve 20 · 8'i hesaplamak.
Temel özellik dış terimleri iç terimlerle, yani çapraz olanları bağlar: 5 · 8 = 40 ve 2 · 20 = 40. Çarpımlar eşleşti — orantı doğru. 5 · 2 ve 20 · 8 eşit değildir ve hiçbir şey ifade etmez.
-
Ters orantı probleminde "doğru" orantı kurmak. Altı pompa havuzu 10 saatte dolduruyor; 6 : 15 = 10 : x yazımı 15 pompa için 25 saat verir.
Pompa sayısı arttı — zaman azalmalı, ama daha fazla çıktı: demek ki orantı yanlış yöne kurulmuş. İkinci oran ters çevrilmeli: 6 : 15 = x : 10, o zaman 15x = 60 ve x = 4 saat. Cevabı her zaman sağduyu ile kontrol edin.
-
"İçler dışlar"dan sonra ters bölmek: 8x = 96 eşitliğinden x = 8 : 96 elde etmek.
x'i bulmak için çarpım, x'in yanındaki katsayıya bölünür: x = 96 : 8 = 12. Bulunan sayıyı yerine koymak faydalı bir alışkanlıktır: 8 · 12 = 96, her şey doğru.
-
Ölçü birimlerini eşitlememek. 1 : 50 000 ölçekli bir problemde haritada 3 cm için birimsiz "1,5" cevabını yazmak veya ona metre demek.
Önce ölçeğin verildiği birimle hesaplıyoruz: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Ve ancak sonra çeviriyoruz: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Cevaptaki birimler, sayının kendisi kadar önemlidir.
-
Oran ve orantıyı karıştırmak: orantı kurma isteğine "12 : 4" gibi tek bir oran yazmak.
Oran — tek bir bölmedir: 12 : 4 = 3. Orantı — iki oranın eşitliğidir, içinde mutlaka dört sayı ve bir eşittir işareti bulunur: 12 : 4 = 30 : 10 (kontrol: 12 · 10 = 120 ve 4 · 30 = 120).
Sorular ve cevaplar
Oran ve orantı arasındaki fark nedir?
Oran — iki sayının bölümüdür, örneğin 12 : 4. Orantı — iki oranın eşitliğidir, içinde dört sayı vardır: 12 : 4 = 30 : 10. Oran "kaç kat" sorusuna cevap verir, orantı ise iki karşılaştırmanın aynı sonucu verdiğini iddia eder.
Orantının dış ve iç terimleri nelerdir?
a : b = c : d yazımında dış terimler uçlarda duranlardır, yani a ve d. İç terimler ortada duranlardır, yani b ve c. Orantı kesirlerle yazılmışsa, dış terimler ilk kesrin payı ve ikinci kesrin paydasıdır, iç terimler ise ilk kesrin paydası ve ikinci kesrin payıdır.
Orantının doğru olup olmadığı nasıl kontrol edilir?
İçler dışlar çarpımı yapın ve çarpımları karşılaştırın. Örneğin 9 : 12 = 15 : 20 için 9 · 20 = 180 ve 12 · 15 = 180 hesaplıyoruz — sayılar eşleşti, demek ki orantı doğru. Çarpımlar farklıysa orantı yanlıştır.
Orantı terimlerinin yeri değiştirilebilir mi?
Evet, kurallara göre yapılırsa. Doğru bir orantıda dış terimlerin yeri değiştirilebilir, iç terimlerin yeri değiştirilebilir veya her iki taraf aynı anda ters çevrilebilir — orantı doğru kalır. 4 : 6 = 10 : 15'ten 4 : 10 = 6 : 15 veya 6 : 4 = 15 : 10 elde ederiz — çapraz çarpım her yerde 60'a eşittir. Ancak sadece bir sayının yerini değiştiremezsiniz.
"Orantıyı çapraz çözmek" ne demektir?
Bu, orantının temel özelliğinin konuşma dilindeki adıdır. Sayılar çapraz olarak çarpılır: dış dışla, iç içle. Tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir ve tek bir bölme ile çözülür. Temel özellik dışında ayrı bir "çapraz yöntem" yoktur.
Bir problemde doğru orantı mı ters orantı mı olduğunu nasıl anlarım?
Zihninizde ilk çokluğu 2 kat artırın ve ikinciye bakın. O da iki kat arttıysa — ilişki doğru, orantı "olduğu gibi" kurulur. İki kat azaldıysa — ilişki ters, ikinci oran ters çevrilmelidir. Bir diğer işaret: doğru orantıda çoklukların oranı sabittir, ters orantıda çarpımları.
Orantı ile yüzde problemleri nasıl çözülür?
"Kısım : bütün = yüzde : 100" orantısını kurun ve bilinmeyeni içler dışlar çarpımı ile bulun. Örneğin 350'nin %12'si: x : 350 = 12 : 100 elde ederiz, yani 100x = 4200 ve x = 42. Aynı yöntemle bilinen kısımdan bütünü ve yüzdeyi de bulabilirsiniz.
