Aritmetik dizi, her bir terimin bir önceki terimden sabit bir \(d\) sayısı (dizi farkı) kadar büyük olduğu bir dizidir. Herhangi bir terimi \(a_n = a_1 + (n-1)d\) formülüyle, ilk \(n\) terimin toplamı ise \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) formülüyle bulunur. Bu sayfada tanım, dizi farkı, her iki toplam formülü, karakteristik özellik, bir sayının diziye ait olup olmadığının kontrolü, geometrik diziden farkı, tipik LGS soruları ve öz değerlendirme için interaktif bir alıştırma yer almaktadır.
Aritmetik dizi nedir
Aritmetik dizi, her bir terimin bir önceki terime aynı sayının eklenmesiyle elde edildiği bir sayı dizisidir. Bu sayıya dizi farkı denir ve \(d\) harfi ile gösterilir.
Tek formülle tanımı: \(a_1, a_2, a_3, \dots\) dizisi, herhangi bir \(n\) numarası için şu eşitlik sağlanıyorsa aritmetik dizidir:
3, 7, 11, 15, 19, … dizisini ele alalım. Burada ilk terim \(a_1 = 3\) ve fark \(d = 4\)'tür: her bir sonraki sayı bir öncekinden tam olarak 4 fazladır. Bu nedenle bir sonraki terim 23'tür ve 3'ten önce (geriye doğru devam edilirse) eksi işaretli bir birim olurdu.
Dizi tamamen iki sayı ile belirlenir: ilk terim \(a_1\) ve fark \(d\). Bu ikiliyi bilerek herhangi bir terimi adlandırabilir, istenen sayıda ilk terimin toplamını hesaplayabilir ve belirli bir sayının dizide olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Dizi \((a_n)\) sembolüyle, terimleri ise \(a_1, a_2, a_3\) şeklinde gösterilir; alt indis her zaman numarayı ifade eder, değeri değil.
Aritmetik dizi farkı: d nasıl bulunur
Fark her zaman bir sonraki terim eksi bir önceki terimdir:
Çıkarma sırası önemlidir: tersi yapılırsa, farkın işareti zıt olur. 20, 17, 14, 11, 8 dizisi için fark \(17 - 20 = -3\)'tür, \(+3\) değil.
\(d\)'nin işareti dizinin davranışını tamamen belirler:
- \(d > 0\) — dizi artan, terimler büyür;
- \(d < 0\) — dizi azalan, terimler küçülür;
- \(d = 0\) — tüm terimler aynıdır, örneğin 6, 6, 6, 6, … Bu da bir aritmetik dizidir, sadece sabit bir dizidir.
Farklı numaralara sahip iki terim biliniyorsa, fark şu formülle bulunur:
Örnek. \(a_4 = 30\) ve \(a_{10} = 6\) olsun. O halde \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\) ve ilk terim \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\) olur. Dizinin başlangıcını kontrol edelim: 42, 38, 34, 30 — dördüncü terim gerçekten 30.
Fark tam sayı olmak zorunda değildir: 1; 1,5; 2; 2,5 dizisinde fark 0,5'tir ve bu tam bir aritmetik dizidir.
Aritmetik dizi n. terim formülü
Konunun ana formülü, tüm önceki terimleri yazmadan herhangi bir terimi bulmanızı sağlar:
\(n - 1\) nereden geliyor? İlk terimden \(n\). terime ulaşmak için fark \(n\) kez değil, bir eksik kez eklenir: ikinci terime bir adım, üçüncüye iki, yirminciye on dokuz adım.
Örnek. 3, 7, 11, 15, 19, … dizisi için \(a_1 = 3\) ve \(d = 4\) olduğundan
Böyle bir kısaltılmış kayıt çok kullanışlıdır: \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\) ve \(a_{100} = 399\) olduğu hemen görülür. Aynı zamanda farkı da söyler: herhangi bir aritmetik dizide \(n\). terim formülü \(a_n = dn + c\) şeklinde lineerdir ve \(n\)'in önündeki katsayı farktır.
Bazen ilk terim bilinmez ancak başka bir terim verilir. O zaman aynı fikir genel biçimde çalışır: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Aritmetik dizinin karakteristik özelliği
İlk terim hariç dizinin her terimi, komşularının aritmetik ortalamasına eşittir:
Bu yüzden dizi aritmetik olarak adlandırılır. Bu eşitlik ters yönde de çalışır: eğer bir dizide her orta terim komşularının yarım toplamına eşitse, o dizi bir aritmetik dizidir. Bu ifadeye aritmetik dizinin belirtisi denir ve sorularda üç sayının bir dizi oluşturduğunu kanıtlamak için kullanılır.
Örnek. 7, \(x\), 23 sayıları dizinin ardışık üç terimidir. O halde \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kontrol: 7, 15, 23 — farklar 8 ve 8, her şey uyumlu.
Özelliğin kullanışlı bir yazım biçimi: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), yani orta terimin iki katı uç terimlerin toplamına eşittir. Bu biçimde özellik, terimler harfli ifadelerle verildiğinde daha kolay uygulanır.
Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı
\(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) toplamı iki formülden biriyle hesaplanır:
İlk formülün fikri, efsaneye göre 1'den 100'e kadar sayıları toplayan öğrenci Gauss tarafından bulunan fikirdir. İlk terimi sonuncuyla, ikincisini sondan bir öncekiyle vb. toplarsanız, tüm çiftler aynı toplamı verir. Buradan \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
İkinci formül, ilkine \(a_n = a_1 + (n-1)d\) koyularak elde edilir; son terim verilmediğinde ve onu ayrıca hesaplamak istemediğinizde gereklidir.
Örnek. 3, 7, 11, 15, 19, … dizisinin ilk yirmi teriminin toplamını bulalım.
İlk formüle göre: \(a_{20} = 79\), bu yüzden \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
İkinciye göre: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Cevaplar eşleşti — bu, hesaplamaların en iyi kontrolüdür.
Bir sayının aritmetik diziye ait olup olmadığı nasıl anlaşılır
Bir sayının dizinin bir terimi olup olmadığı sorusu bir denklemle çözülür. Bir sayı, ancak ve ancak numarası \(n\) doğal sayı (1, 2, 3 vb.) ise diziye aittir. Kesirli veya pozitif olmayan bir \(n\), böyle bir terim olmadığını gösterir.
Örnek 1. 99 sayısı 3, 7, 11, 15, 19, … dizisine ait mi? \(n\). terim formülü burada \(a_n = 4n - 1\), bu yüzden \(4n - 1 = 99\) denklemini çözeriz, buradan \(4n = 100\) ve \(n = 25\). Numara doğal sayı — demek ki 99 dizide var, bu onun yirmi beşinci terimi.
Örnek 2. Peki ya 2026 sayısı? \(4n - 1 = 2026\) denkleminden \(4n = 2027\) ve \(n = 506{,}75\) elde ederiz. Numara kesirli, bu yüzden 2026 bu dizinin bir terimi değildir.
Sözlü tahmin için kullanışlı bir ipucu: \(a_n = 4n - 1\) formüllü dizide tüm terimler 4'e bölündüğünde 3 kalanını verir. 2026 sayısı 2 kalanını verir, bu yüzden diziyi "ıskalar".
Aritmetik dizi üzerine tipik LGS soruları
LGS matematik sınavında diziler her yıl karşımıza çıkar ve neredeyse tüm görevler dört senaryoya indirgenir.
Numaraya göre terim bulma. \(a_1\) ve \(d\) (veya birkaç ilk terim) verilmiştir — \(a_n = a_1 + (n-1)d\) formülüne koyarız.
Değere göre numara bulma. Bir sayı verilmiştir — \(n\). terim formülünü ona eşitler ve \(n\)'e göre denklemi çözeriz.
Toplam bulma. \(S_n\)'i iki formülden biriyle hesaplarız; eğer \(a_n\) eksikse, önce onu buluruz.
Terim sayısı bulma. \(n\). terim formülünden kullanışlı bir sonuç elde edilir: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Öyküye gizlenmiş metin sorusu ayrıca değerlendirilmelidir. Örneğin: bir işçi ilk gün 12 parça üretti, her sonraki gün bir öncekinden 3 parça daha fazla; 15 günde kaç parça yapar? Burada \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Son terimi hesaplarız: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). O halde \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) parça.
Bu tür görevler için ana tavsiye: önce neyin verildiğini (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) ve neyin bulunması gerektiğini ayrı bir satıra yazın. Sınavdaki hataların yarısı formüllerden değil, numaranın terim değeriyle karıştırılmasından kaynaklanır.
Aritmetik ve geometrik dizi: fark nedir
Her iki dizi de bir terimden bir sonrakini elde etme kurallarıdır. Fark eylemde yatar: aritmetikte terime aynı \(d\) sayısı eklenir, geometrikte ise dizi farkı (ortak çarpan) denilen aynı \(q\) sayısı ile çarpılır.
Buradan farklı davranışlar doğar. Aritmetik dizi düzenli olarak, "basamaklar halinde" büyür: 3, 7, 11, 15 — her adım 4 ekler. Geometrik dizi çığ gibi büyür: 3, 6, 12, 24 — her adım sayıyı ikiye katlar ve on adım sonra terim bin beş yüzden büyük olur.
Dizi tipini kontrol etmek basittir: komşu terimlerin farklarını ve oranlarını hesaplayın. Aynı farklar — aritmetik dizi, aynı oranlar — geometrik dizi. Eğer ikisi de eşleşmiyorsa, önünüzde sadece bir dizi vardır: örneğin, 1, 4, 9, 16 — bunlar doğal sayıların kareleridir ve bir dizi değildir (farklar 3, 5, 7 farklı, oranlar da).
Okul müfredatında her iki konu 9. sınıfta art arda gelir, bu yüzden formülleri karıştırmak kolaydır. Aklınızda tutun: aritmetikte \(d\) farkı eklenir, geometrikte \(q\) çarpanı çarpılır. Geri kalan her şey sonuçtur.
Aritmetik dizi soruları için çözüm örnekleri
Örnek 1. İki terimden ilk terimi ve farkı bulma
Verilen. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). \(a_1\), \(d\) ve \(a_{20}\)'yi bulun.
Adım 1. Üçüncü terimden yedinciye tam \(7 - 3 = 4\) adım vardır, her birinde \(d\) eklenir. Yani \(a_7 = a_3 + 4d\), yani \(30 = 14 + 4d\), buradan \(4d = 16\) ve \(d = 4\).
Adım 2. İlk terime geri dönüyoruz: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Adım 3. \(n\). terim formülünü yazıyoruz: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Adım 4. İstenen terimi hesaplıyoruz: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Kontrol. Dizinin başlangıcını yazalım: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Üçüncü terim 14, yedinci 30 — eşleşti.
Cevap: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Örnek 2. İlk 30 terimin toplamı (her iki formül)
Verilen. Dizi -5, -2, 1, 4, … \(S_{30}\)'u bulun.
Adım 1. Parametreleri belirliyoruz: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Adım 2. Otuzuncu terimi buluyoruz: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Adım 3. İlk formülle hesaplıyoruz: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Adım 4. İkinci formülle kontrol. Önce pay: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Üçüncü adımdaki gibi devam ediyoruz: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Her iki yol da 1155 verdi — demek ki aritmetik doğru.
Cevap: \(S_{30} = 1155\).
Örnek 3. 7'nin katı olan tüm iki basamaklı sayıların toplamı
Görev. 7'ye bölünen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Adım 1. Bu sayılar 7 farkla bir aritmetik dizi oluşturur. Yediye bölünen en küçük iki basamaklı sayı 14, en büyüğü 98'dir (bir sonraki, 105, üç basamaklıdır). \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\) elde ederiz.
Adım 2. Terim sayısını hesaplıyoruz: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Adım 3. Toplamı hesaplıyoruz: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Adım 4. İkinci formülle kontrol. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Cevap: 728.
Örnek 4. Bir sayının diziye ait olup olmadığını kontrol etme
Görev. 145 sayısı 7, 12, 17, … dizisinin bir terimi midir? Peki 142 sayısı?
Adım 1. Dizinin parametreleri: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), yani \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Adım 2. 145'i kontrol ediyoruz: \(5n + 2 = 145\) denklemi \(5n = 143\) ve \(n = 28{,}6\) verir. Numara kesirli, bu yüzden 145 dizinin bir terimi değildir.
Adım 3. 142'yi kontrol ediyoruz: \(5n + 2 = 142\), buradan \(5n = 140\) ve \(n = 28\). Numara doğal sayı — sayı diziye aittir.
Adım 4. Yerine koyarak kontrol. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Doğru.
Cevap: 145 diziye ait değildir; 142 aittir ve 28. terimidir.
Örnek 5. Harfli terimlerle karakteristik özellik
Görev. \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) sayıları hangi \(x\) değeri için bir aritmetik dizinin ardışık üç terimidir?
Adım 1. Karakteristik özelliğe göre orta terimin iki katı uç terimlerin toplamına eşittir:
Adım 2. Parantezleri açıyoruz: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Adım 3. Çözüyoruz: \(2 + 4 = 5x - 4x\), yani \(x = 6\).
Adım 4. Kontrol. \(x = 6\) koyuyoruz: ilk terim \(6 - 3 = 3\), ikinci \(2\cdot 6 + 1 = 13\), üçüncü \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Farklar: \(13 - 3 = 10\) ve \(23 - 13 = 10\) — aynı.
Cevap: \(x = 6\), 10 farkla 3, 13, 23 dizisi.
Örnek 6. Dizide kaç negatif terim var
Görev. -21, -18, -15, … dizisinde kaç negatif terim var?
Adım 1. Parametreler: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). \(n\). terim formülü: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Adım 2. "Terim negatiftir" koşulunu yazıyoruz: \(3n - 24 < 0\), buradan \(3n < 24\) ve \(n < 8\).
Adım 3. Numaralar doğal sayıdır, bu yüzden \(n = 1, 2, \dots, 7\) uygundur — toplam yedi terim.
Adım 4. Sınır kontrolü. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negatif. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — sıfır negatif bir sayı değildir, bu yüzden sekizinci terimi saymıyoruz. \(a_9 = 3\) — pozitif.
Cevap: yedi negatif terim.
Aritmetik dizi sorularında sık yapılan hatalar
-
n. terim formülünde $a_n = a_1 + (n-1)d$ yerine $a_n = a_1 + nd$ yazmak.
İlk terimden \(n\). terime, numaradan bir eksik adım atılır. 5, 9, 13, … dizisi için onuncu terim \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\)'dir, 45 değil. Formülün hızlı kontrolü: \(n = 1\) koyun — tam \(a_1\) çıkmalıdır.
-
Farkı ters hesaplamak: $d = a_1 - a_2$ ve işaretin zıt çıkması.
Fark, bir sonraki terim eksi bir önceki terimdir: \(d = a_2 - a_1\). 40, 34, 28, … dizisi için \(d = 34 - 40 = -6\) doğrudur. Buradaki eksi işareti hata değil, azalan dizinin belirtisidir.
-
Toplam formülünde 2'ye bölmeyi veya $n$ ile çarpmayı unutmak: $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$ yazmak.
"İlk ile son" çiftleri toplanır, bunların sayısı tam \(\dfrac{n}{2}\)'dir, bu yüzden 2'ye bölmek zorunludur. 2, 9, 16, … dizisi için \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) ve \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\)'tir, 670 değil.
-
Bir sayının diziye aitliğini kontrol ederken $n = 0$ veya negatif $n$ bulup yine de "aittir" cevabını vermek.
Terim numarası doğal sayıdır, sayma birden başlar. Örneğin, 10, 14, 18, … dizisi için \(10 + 4(n-1) = 6\) denklemi \(n = 0\) verir, yani 6 diziye ait değildir: bu sayı ilk terimden önce gelirdi.
-
Neyin bulunduğunu karıştırmak: terim değerini, numarasının gerektiği yere koymak ve tersi.
\(a_n\) değerdir, \(n\) sıra numarasıdır. Soruda "kaçıncı terim 142'dir" diye soruluyorsa, cevap 142 değil 28 olacaktır. Kullanışlı alışkanlık: çözmeden önce "verilen: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), bulunacak: \(n\)" satırını yazmak.
-
Dizinin artması ve tam sayılardan oluşması gerektiğini düşünmek.
Fark negatif (20, 17, 14, …), kesirli (1; 1,5; 2; 2,5) ve hatta sıfır (8, 8, 8, …) olabilir. Her üç durum da geçerli aritmetik dizilerdir ve tüm formüller onlar için değişiklik olmadan çalışır.
Sorular ve cevaplar
Aritmetik dizi basit kelimelerle nedir?
Her bir sonraki sayının bir önceki sayıya aynı \(d\) sayısının (dizi farkı) eklenmesiyle elde edildiği bir sayı dizisidir. Örneğin, 3, 7, 11, 15, 19, … — ilk terimi 3 ve farkı 4 olan bir dizidir.
Aritmetik dizinin n. terim formülü nedir?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), burada \(a_1\) ilk terim, \(d\) fark, \(n\) numaradır. İlk terim değil de başka bir terim biliniyorsa, genel form \(a_n = a_k + (n-k)d\) çalışır.
Aritmetik dizi farkı nasıl bulunur?
Herhangi bir terimden bir öncekini çıkarın: \(d = a_n - a_{n-1}\). Farklı numaralara sahip iki terim verilmişse, \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\) kullanın. Örneğin, \(a_5 = 23\) ve \(a_9 = 43\) olduğunda \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\) elde ederiz ve ilk terim \(23 - 4\cdot 5 = 3\) olur.
Aritmetik dizinin ilk terimi nasıl bulunur?
\(n\). terim formülünden: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Örneğin, \(a_{12} = 60\) ve \(d = 4\) ise, \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Kontrol: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı nasıl bulunur?
Son terim biliniyorsa \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\) formülüyle veya sadece ilk terim ve fark biliniyorsa \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\) formülüyle. İkisi de aynı sonucu verir, bu yüzden ikincisini birincinin kontrolü olarak kullanmak uygundur.
Aritmetik dizinin terim sayısı nasıl bulunur?
\(n\). terim formülünden: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Örneğin, 8, 13, 18, …, 98 dizisinde fark 5'tir, bu yüzden \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) terim vardır.
Aritmetik dizi geometrik diziden nasıl farklıdır?
Aritmetikte her terime \(d\) farkı eklenir, geometrikte her terim \(q\) çarpanı ile çarpılır. \(n\). terim formülleri: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) karşı \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Tipi belirlemek için komşu terimlerin farklarını ve oranlarını hesaplayın: aynı farklar — aritmetik, aynı oranlar — geometrik.
Fark negatif veya sıfıra eşit olabilir mi?
Evet. \(d < 0\) olduğunda dizi azalır (örneğin, 20, 17, 14, 11), \(d = 0\) olduğunda tüm terimler aynıdır (6, 6, 6, …) — bu sabit bir dizidir. Fark kesirli de olabilir: 1; 1,5; 2; 2,5 — bu da bir aritmetik dizidir.
Aritmetik dizi kaçıncı sınıfta işlenir?
- sınıfta cebir derslerinde, geometrik dizi ve sayı dizileriyle birlikte. Dizi soruları LGS'ye dahildir: genellikle numaraya göre terim, değere göre numara, terim sayısı veya ilk \(n\) terimin toplamını bulmak istenir.
