Bir \(a\) sayısının karekökü, karesi \(a\) olan sayıdır. Aritmetik karekök ise sadece negatif olmayan değerini ifade eder: \(\sqrt{25} = 5\). Kök alma işlemi sadece negatif olmayan sayılar için geçerlidir, ancak karekökün özellikleri karmaşık ifadeleri kısaltır. Bu sayfada tanım ve tanım kümesi, karekökün tüm özellikleri formüllerle, 1'den 20'ye kadar karekök tablosu, kök alma ve çarpan çıkarma teknikleri, çözümlü örnekler, sık yapılan hatalar ve interaktif alıştırma bulunmaktadır.
Bir sayının karekökü nedir?
Bir \(a\) sayısının karekökü, karesi \(a\) olan sayıdır. Kök alma ve karesini alma işlemleri birbirinin tersidir: \(7^2 = 49\) ise, 49'un karekökü 7'dir.
Ancak pozitif bir sayının tam olarak iki karekökü vardır ve bunlar sadece işaretleriyle farklılaşır: \(5^2 = 25\) ve \((-5)^2 = 25\), yani 25'in karekökleri hem \(5\) hem de \(-5\)'tir. \(\sqrt{25}\) yazımının tek bir sayı ifade etmesi için, \(\sqrt{\phantom{a}}\) işaretinin sadece negatif olmayan kökü temsil ettiği kabul edilmiştir. Buna aritmetik karekök denir.
Yazımın kendine özgü adları vardır: \(\sqrt{\phantom{a}}\) işareti radikal, altındaki sayı veya ifade ise radikandaki ifade olarak adlandırılır.
Aritmetik karekök: Tanım ve tanım kümesi
Negatif olmayan bir \(a\) sayısının aritmetik karekökü, karesi \(a\) olan negatif olmayan sayıdır. \(\sqrt{a}\) ile gösterilir ve «a'nın kökü» olarak okunur.
Tanımda iki koşul gizlidir ve her ikisi de eşit derecede önemlidir:
- Radikandaki ifade negatif olmamalıdır: \(a \ge 0\);
- Kökün değeri negatif olmamalıdır: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Buradan hemen şunu elde ederiz: \(\sqrt{25} = 5\), \(-5\) değil; \(\sqrt{0} = 0\); ve \(\sqrt{-9}\) yazımının reel sayılarda bir anlamı yoktur - karesi negatif olan bir sayı yoktur.
İlk koşul, köklü ifade için tanım kümesini belirler. Örneğin, \(\sqrt{x-7}\) ifadesi \(x - 7 \ge 0\), yani \(x \ge 7\) olduğunda anlamlıdır: \(x\)'in bundan küçük herhangi bir değeri, kökün altına negatif bir sayı sokar.
Tanımdan ayrıca \((\sqrt{a})^2 = a\) eşitliği de çıkar, \(a \ge 0\) için: kökün karesini almak, radikandaki sayıyı geri verir. Kökün kendisini tam olarak hesaplayamadığımız durumlarda bile işe yarar: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Karekök Tablosu: 1'den 20'ye Kadar Sayıların Kareleri
Kök, sadece radikandaki sayı tam kare olduğunda tam olarak çıkarılır. Bu nedenle kareler tablosu karekök tablosu olarak da işe yarar: her iki yönde de okunur - \(14^2 = 196\), yani \(\sqrt{196} = 14\).
Tablo sadece tam sayılarla değil, aynı zamanda şunlarla da yardımcı olur:
- ondalık sayılar: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), çünkü \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- basit kesirler: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - kök ayrı ayrı pay ve paydadan alınır;
- yuvarlak sayılar: \(\sqrt{2500} = 50\), çünkü \(2500 = 25 \cdot 100\) ve her çarpanın kökü bilinmektedir.
Karekök Özellikleri
Karekök özellikleri, her kökü ayrı ayrı almadan ifadeleri hesaplamayı ve cevabı basitleştirmeyi sağlar.
Çarpımın kökü, köklerin çarpımına eşittir: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), \(a \ge 0\) ve \(b \ge 0\) için. Örneğin, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - bu, \(\sqrt{144}\) ile aynı cevaptır.
Bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), \(a \ge 0\) ve \(b > 0\) için. Örneğin, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). \(b > 0\) koşulu kesindir: sıfıra bölme yapılamaz.
Karesel kökün kökü, mutlak değere eşittir: \(\sqrt{a^2} = |a|\), ve bu herhangi bir \(a\) sayısı için geçerlidir. Burada konunun en önemli inceliği var. Eğer \(a \ge 0\) ise, hiçbir şey değişmez: \(\sqrt{7^2} = 7\). Ancak negatif \(a\) için işaret «düzeltilir»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), \(-6\) değil - çünkü aritmetik karekök negatif olamaz.
Kökün karesi, radikandaki sayıyı geri verir: \((\sqrt{a})^2 = a\), \(a \ge 0\) için.
Ancak toplam ve fark için benzer özellikler yoktur: toplamın kökü köklerin toplamına eşit değildir. Bu konudaki en sık yapılan hatadır, incelemesi aşağıdadır.
| Özellik ve Koşul | Örnek |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √ba ≥ 0 ve b ≥ 0 için | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √ba ≥ 0 ve b > 0 için | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|herhangi bir a için | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aa ≥ 0 için | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bb ≥ 0 için | √(25 · 3) = 5√3 |
Bir Sayıdan Karekök Nasıl Alınır?
Hesap makinesi her zaman yanımızda olmayabilir, ancak okul ödevleri neredeyse her zaman kökün alınabileceği şekilde ayarlanır. İşlem sırası şöyledir.
- Kareler tablosunu kontrol edin. Sayı tabloda varsa, cevap hazırdır: \(\sqrt{289} = 17\).
- Yuvarlak çarpanı ayırın. Sıfırlı sayılarda \(100\), \(10\,000\) gibi çarpanları ayırmak uygundur: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Asal çarpanlara ayırın. Bu evrensel bir yöntemdir: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), üsleri ikiye böleriz ve \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\) elde ederiz.
- Ondalık sayıyı basit kesre çevirin. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Aynı zamanda basamak kaybını önler.
- Tam kare yoksa - kök irrasyoneldir. O zaman ya sembolle cevapta bırakılır (böyle yazılır: \(\sqrt{30}\)), ya da komşu kareler arasında tahmin edilir.
Kontrol bir saniye sürer: elde edilen sayının karesini alırız ve radikandaki sayının geri dönüp dönmediğine bakarız. \(24^2 = 576\) - doğru.
Kök İşaretinin Dışına Çarpan Çıkarma
Kök nadiren «ham» bırakılır - dışına alınabilen her şey çıkarılır. \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) özelliği, \(b \ge 0\) için işe yarar: radikandaki sayının en büyük karesel bölenini ararız.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Ters işlem - çarpanı kök içine alma: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\), \(a \ge 0\) için. Örneğin, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Negatif çarpanla dikkatli olmak gerekir: eksi kökün içine girmez ve dışarıda kalır. Doğru yazım \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\) şeklindedir, \(\sqrt{12}\) değil.
Bu neden gerekli: çarpanı çıkardıktan sonra, aynı radikandaki kökler benzer terimler haline gelir ve toplanabilir. Çarpanı kök içine almak ise iki köklü ifadeyi karşılaştırmanın en hızlı yoludur.
Tam Çıkmayan Karekök Kaçtır?
Eğer radikandaki sayı tam kare değilse, kök irrasyonel bir sayıdır: ondalık gösterimi sonsuz ve devirsizdir. Örneğin, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\) ve tam değer sadece \(\sqrt{2}\) sembolüyle yazılır. Yuvarlanmış cevap ancak görevde istenirse yazılır.
Böyle bir kökü hesap makinesi olmadan tahmin edebilirsiniz: radikandaki sayının arasına düştüğü iki komşu tam kareyi bulun. Karşılaştırma kuralı işe yarar: \(a \ge 0\) ve \(b \ge 0\) için \(a < b\) ise \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) olur - daha büyük radikand daha büyük köke karşılık gelir.
Karekök Hesaplama Örnekleri
Örnek 1. Kökleri Olan İfadenin Değeri
Hesaplayın \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Adım 1. \(\sqrt{121} = 11\), çünkü \(11^2 = 121\).
Adım 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), çünkü \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Adım 3. Kesrin kökünü pay ve paydadan ayrı ayrı alırız: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Adım 4. Toplarız: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Cevap: 11.
Örnek 2. Çarpımın Kökü
Hesaplayın \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Adım 1. Bu kökler ayrı ayrı alınamaz, bu yüzden onları tek bir kök altında birleştiririz: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Adım 2. Kök altındaki çarpımı hesaplarız: \(8 \cdot 18 = 144\).
Adım 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Başka bir yol - çarpanları önceden çıkarmak: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), o zaman \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Cevaplar eşleşti.
Cevap: 12.
Örnek 3. Çarpanlara Ayırarak Kök Alma
Hesaplayın \(\sqrt{576}\) ve \(\sqrt{6400}\).
Adım 1. 576 sayısı kareler tablosunda yok, bu yüzden asal çarpanlarına ayırıyoruz: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Adım 2. Üsleri ikiye bölüyoruz: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Adım 3. Kontrol. \(24^2 = 576\) - doğru.
Adım 4. 6400 sayısı için yuvarlak çarpanı ayırmak daha uygundur: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kontrol: \(80^2 = 6400\).
Cevap: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Örnek 4. Çarpan Çıkarma ve Benzer Terimleri Birleştirme
Basitleştirin \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Adım 1. Her kökün dışına çarpan çıkarıyoruz: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), yani \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Adım 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Adım 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Adım 4. Sadece aynı radikandaki kökler toplanabilir: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), ve \(\sqrt{3}\)'lü terim ayrı kalır.
Cevap: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Örnek 5. Değişkenli Karekök İfadesi
Basitleştirin \(\sqrt{(x-4)^2}\), \(x < 4\) için.
Adım 1. Karekök özelliği \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) gereği - hemen mutlak değeri yazarız, \(x - 4\) değil.
Adım 2. Koşula göre mutlak değeri açıyoruz. Eğer \(x < 4\) ise, \(x - 4\) farkı negatiftir ve negatif sayının mutlak değeri - zıt işaretli sayısıdır: \(|x-4| = 4 - x\).
Adım 3. Kontrol. \(x = 1\) alalım: solda \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), sağda \(4 - 1 = 3\) - eşleşti.
Cevap: \(4 - x\). Karşılaştırma için, \(x \ge 4\) durumunda cevap \(x - 4\) olurdu.
Örnek 6. Kökleri Olan İfadeleri Karşılaştırma
Karşılaştırın \(3\sqrt{5}\) ve \(5\sqrt{2}\).
Adım 1. Her iki sayı da pozitiftir, bu yüzden çarpanları kök içine alıyoruz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Adım 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Adım 3. Radikandaki sayıları karşılaştırıyoruz: \(45 < 50\), ve daha büyük radikand daha büyük köke karşılık gelir.
Cevap: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Karekök ile İlgili Sık Yapılan Hatalar
-
Modülü unutarak $\sqrt{a^2} = a$ yazarlar.
Doğru eşitlik - \(\sqrt{a^2} = |a|\). Negatif bir sayı için bu kritiktir: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), \(-13\) değil. Aritmetik karekök negatif olamaz, bu yüzden kökün altındaki işaret «düzeltilir».
-
Köklerin toplamının köklerin toplamına eşit olduğunu düşünürler: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Böyle bir özellik yoktur. Önce kökün altındaki işlemi yaparız: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), 7 değil. Özellikler sadece çarpım ve bölüm için vardır: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) ve \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
$\sqrt{49} = \pm 7$ diye cevap verirler.
\(\sqrt{49} = 7\) - aritmetik karekök her zaman tektir ve negatif değildir. İki değer başka bir görevde ortaya çıkar: \(x^2 = 49\) denkleminin kökleri \(x = 7\) ve \(x = -7\)'dir. Kök yazımını denklem çözümüyle karıştırmamak gerekir.
-
«Eksi çarpı eksi» diye düşünerek $\sqrt{-16} = -4$ yazarlar.
Kökün altında negatif bir sayı olamaz: \((-4)^2 = 16\), \(-16\) değil, bu yüzden \(\sqrt{-16}\) reel sayılarda mevcut değildir. Ancak \(-\sqrt{16} = -4\) ifadesi tamamen doğrudur - eksi kökün önündedir, altında değil.
-
Negatif çarpanı kök içine alırlar: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) kuralı sadece \(a \ge 0\) için geçerlidir. Eksi dışarıda kalır: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). İşaret kontrolü: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ve \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - sayılar zıttır.
-
Ondalık sayının basamağını kaybederler: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Tersini kare alarak kontrol edin: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), eşleşmiyor. Doğrusu \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), çünkü \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Güvenilir yöntem - basit kesre geçmek: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Kökün her zaman sayıdan küçük olduğundan emin olurlar.
Bu sadece birimden büyük sayılar için geçerlidir. 0 ile 1 arasındaki aralıkta tam tersi olur: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ve \(0{,}5\) sayısı \(0{,}25\)'ten büyüktür. 0 ve 1 için ise kök sayının kendisine eşittir.
Sorular ve Cevaplar
Aritmetik karekök nedir, basit bir dille anlatır mısınız?
Karesi alındığında radikandaki sayıyı veren negatif olmayan sayıdır. \(\sqrt{a}\) ile gösterilir ve radikandaki ifade negatif olmamalıdır: \(a \ge 0\). Örneğin, \(\sqrt{64} = 8\), çünkü \(8 \ge 0\) ve \(8^2 = 64\).
Karekök ile aritmetik karekök arasındaki fark nedir?
Pozitif bir sayının iki karekökü vardır - işaretleri zıttır. Aritmetik karekök ise sadece negatif olmayanını ifade eder ve \(\sqrt{\phantom{a}}\) işareti bunu gösterir. Bu nedenle \(\sqrt{25} = 5\), ancak \(x^2 = 25\) denkleminin kökleri 5 ve \(-5\)'tir.
Bir sayıdan karekök nasıl alınır, hesap makinesi olmadan?
Önce sayıyı kareler tablosunda kontrol edin. Eğer orada yoksa - çarpanlara ayırın ve tam kareleri ayırın: \(784 = 16 \cdot 49\), bu nedenle \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Cevabı her zaman ters işlemle kontrol edin: \(28^2 = 784\).
Negatif bir sayıdan karekök alınabilir mi?
Reel sayılarda - hayır: herhangi bir sayının karesi negatif değildir, bu nedenle \(\sqrt{-9}\) ifadesi anlamsızdır. Tanım kümesini ararken bu koşuldan yola çıkılır: örneğin, \(\sqrt{x-7}\) sadece \(x \ge 7\) olduğunda mevcuttur.
Bir sayının karesinin kökü kaç eder?
Bu sayının mutlak değerine eşittir: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Negatif olmayan \(a\) için sayı kendisi, negatif \(a\) için - zıt işaretlisi elde edilir: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Kök işaretinin dışına çarpan nasıl çıkarılır?
Radikandaki sayının en büyük karesel bölenini bulun ve \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) özelliğini uygulayın. Örneğin, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Ters işlem - çarpanı kök içine almak: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
2'nin karekökü kaç eder?
\(\sqrt{2}\) sayısı irrasyoneldir: ondalık gösterimi sonsuz ve devirsizdir, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Kesir olarak tam bir değeri yoktur, bu nedenle cevaplarda \(\sqrt{2}\) sembolüyle bırakılır, yuvarlama ancak koşul gerektiriyorsa yapılır.
Kökleri olan iki sayıyı, değerlerini hesaplamadan nasıl karşılaştırabiliriz?
Çarpanları kök içine alın ve radikandaki sayıları karşılaştırın: daha büyük radikand daha büyük köke karşılık gelir. Örneğin, \(\sqrt{17}\) ve 4: \(4 = \sqrt{16}\) ve \(17 > 16\) olduğundan, \(\sqrt{17} > 4\).
Karekökler hangi sınıfta işlenir?
- sınıfta cebir derslerinde: önce aritmetik karekök tanımı ve özellikleri, ardından köklü ifadelerin dönüşümleri ve \(x^2 = a\) türündeki denklemlerin çözümü. Daha sonra diskriminant formülünde ve OGE ve EGE görevlerinde kökler karşımıza çıkar.
