Ang isang circle ay lumilikha ng dalawang pangunahing uri ng mga angle: central angle — na may vertex sa gitna, at inscribed angle — na may vertex sa mismong circle. Ang ugnayan sa pagitan nila ay simple: ang central angle ay katumbas ng arc na sinasakop nito, habang ang inscribed angle ay kalahati nito. Sa pahinang ito, matututunan mo ang mga kahulugan, ang inscribed angle theorem kasama ang lahat ng corollaries nito, mga malinaw na diagram, sunud-sunod na paglutas ng mga problema, at isang interactive na trainer kung saan maaari mong subukan agad ang iyong kaalaman.
Mga Uri ng Angle sa isang Circle: Central at Inscribed
Kung gagawa tayo ng dalawang line segment mula sa iisang punto sa isang circle, makakabuo tayo ng isang angle. Depende sa kung nasaan ang vertex nito, mayroong dalawang pangunahing uri ng mga angle sa isang circle:
- Central angle — isang angle na may vertex sa gitna ng circle na \(O\). Ang mga gilid nito ay mga radius.
- Inscribed angle — isang angle na ang vertex ay nasa circle, at ang mga gilid nito ay tumatawid sa circle (ibig sabihin, mga chord).
Bawat isa sa mga angle na ito ay nakasubtend sa isang arc — isang bahagi ng circle na nasa loob ng angle. Ang arc ang nag-uugnay sa central at inscribed angles: ang sukat ng pareho ay ipinapahayag sa pamamagitan ng sukat ng arc sa degrees.
Kung ang vertex ng angle ay nasa loob ng circle (ngunit hindi sa gitna) o sa labas nito — hindi na ito inscribed o central angle: may sariling mga formula para sa mga ganitong angle, na tatalakayin sa dulo ng pahina.
∠AOC = arc AC = 120°
∠ABC = ½ arc AC = 60°
Inscribed Angle Theorem at ang Sukat ng Inscribed Angle
Ang central angle ay katumbas ng arc na sinasakop nito — ito ang paraan kung paano binibigyan ng sukat sa degrees ang isang arc. Kung ang \(\angle AOC = 120°\), ang arc \(AC\) ay katumbas din ng \(120°\).
Inscribed Angle Theorem: ang sukat ng isang inscribed angle ay kalahati ng sukat ng arc na sinasakop nito:
Dito nagmumula ang pangunahing ugnayan sa pagitan ng inscribed at central angles: ang inscribed angle ay kalahati ng central angle na nakasubtend sa parehong arc:
Ang sukat ng isang inscribed angle ay hindi nakadepende sa eksaktong lokasyon ng vertex nito sa circle — ang mahalaga lamang ay ang arc na sinasakop nito. Kaya't ang diagram sa ibaba ay dapat tandaan bilang "working picture" para sa buong paksa: ang berdeng arc at ang dalawang angle na nakatingin dito.
Mga Inscribed at Central Angle: Mga Katangian at Corollaries
Mula sa inscribed angle theorem, direktang nagmumula ang mga katangian na siyang batayan ng karamihan sa mga problema sa paaralan:
- Ang mga inscribed angle na nakasubtend sa parehong arc ay magkatumbas. Bawat isa sa kanila ay katumbas ng kalahati ng parehong arc — kaya't sila ay magkatumbas din, saanman matatagpuan ang kanilang mga vertex.
- Ang isang inscribed angle na nakasubtend sa isang diameter ay isang right angle. Hinahati ng diameter ang circle sa dalawang semicircle na may sukat na \(180°\) bawat isa, kaya ang ganitong angle ay katumbas ng \(180° : 2 = 90°\). Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang isang inscribed angle ay right angle, ito ay nakasubtend sa isang diameter.
- Ang isang inscribed angle ay maaaring maging obtuse. Kung ang arc ay mas malaki sa \(180°\), ang angle ay mas malaki sa \(90°\) — ang formula na "kalahati ng arc" ay gumagana nang walang exception.
Ang mga katangiang ito ay gumagana rin "pabaliktad": halimbawa, sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga angle na nakasubtend sa iisang segment, maaaring patunayan na ang apat na puntos ay nasa iisang circle.
Mga Inscribed at Circumscribed Angle: Quadrilateral sa isang Circle
Kung ang lahat ng apat na vertices ng isang quadrilateral ay nasa isang circle, ito ay tinatawag na inscribed o cyclic (at ang circle ay circumscribed sa paligid nito). Ang mga angle ng ganitong quadrilateral ay mga inscribed angle, kaya ang parehong theorem ay nalalapat sa kanila.
- Ang kabuuan ng magkasalungat na angles sa isang cyclic quadrilateral ay \(180°\). Ang mga angle na \(A\) at \(C\) ay nakasubtend sa dalawang arc na bumubuo sa buong circle (\(360°\)), kaya \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Ang exterior angle ng isang cyclic quadrilateral ay katumbas ng interior opposite angle. Ang exterior angle ay supplementary sa katabi nitong interior angle — tulad din ng opposite angle nito.
- Ang katangian ng kabuuan ng mga angle ay isa ring test: kung ang kabuuan ng magkasalungat na angles ng isang quadrilateral ay \(180°\), maaaring mag-circumscribe ng isang circle sa paligid nito. Kaya't anumang rectangle ay maaaring i-inscribe sa isang circle, ngunit ang isang rhombus (maliban sa square) ay hindi.
Kasama ng mga inscribed angle, madalas ding lumalabas sa mga problema ang mga circumscribed angle — mga angle sa pagitan ng dalawang tangent na iginuhit mula sa iisang punto sa labas ng circle. Ang isang circumscribed angle ay katumbas ng kalahati ng difference ng mga arc na nabubuo nito sa circle.
Mga Halimbawa ng Paglutas ng Problema sa Inscribed at Central Angles
Halimbawa 1. Inscribed Angle mula sa Arc
Problema. Ang inscribed angle na \(ABC\) ay nakasubtend sa arc \(AC\) na may sukat na \(120°\). Hanapin ang \(\angle ABC\).
Hakbang 1. Alalahanin ang theorem: ang inscribed angle ay katumbas ng kalahati ng arc na sinasakop nito.
Hakbang 2. I-substitute: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Sagot: \(60°\).
Halimbawa 2. Central Angle mula sa Inscribed Angle
Problema. Ang inscribed angle na \(ABC\) ay \(40°\). Hanapin ang central angle na \(AOC\) na nakasubtend sa parehong arc \(AC\).
Hakbang 1. Ang central angle ay doble ng inscribed angle na nakasubtend sa parehong arc: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Hakbang 2. Kalkulahin: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Nalaman din natin ang sukat ng arc: \(AC = 80°\).
Sagot: \(80°\).
Halimbawa 3. Angle na Nakasubtend sa Diameter
Problema. Ang \(AC\) ay diameter ng circle, ang punto \(B\) ay nasa circle, \(\angle BAC = 35°\). Hanapin ang \(\angle BCA\).
Hakbang 1. Ang angle \(ABC\) ay nakasubtend sa diameter \(AC\), kaya \(\angle ABC = 90°\) — ang triangle na \(ABC\) ay isang right triangle.
Hakbang 2. Ang kabuuan ng mga angle sa isang triangle ay \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Sagot: \(55°\).
Halimbawa 4. Cyclic Quadrilateral
Problema. Ang quadrilateral na \(ABCD\) ay inscribed sa isang circle, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Hanapin ang mga angle na \(C\) at \(D\).
Hakbang 1. Ang kabuuan ng magkasalungat na angles sa isang cyclic quadrilateral ay \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Hakbang 2. Gayundin, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Pagsusuri. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — ang kabuuan ng mga angle ng quadrilateral ay tama.
Sagot: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Mga Karaniwang Pagkakamali sa mga Problema tungkol sa Angles sa isang Circle
-
Napagpapalit ang inscribed angle sa central angle: kinukuha ang kalahati ng arc para sa angle na may vertex sa gitna (o vice versa).
Tingnan muna ang vertex. Kung ang vertex ay nasa gitna \(O\) — ito ay central angle, at katumbas ito ng buong arc. Kung ang vertex ay nasa circle — ito ay inscribed angle, at katumbas ito ng kalahati ng arc.
-
Kinukuha ang maling arc: para sa isang inscribed angle, kinakalkula ang arc kung saan nakalagay ang vertex nito.
Ang isang inscribed angle ay nakasubtend sa arc na nasa "loob" ng angle — ang vertex ay laging nasa kabilang arc. Sa notasyong \(\angle ABC\), ang angle ay nakasubtend sa arc \(AC\) na hindi naglalaman ng punto \(B\).
-
Nagmu-multiply at nagdi-divide sa 2 'sa maling direksyon': mula sa inscribed angle papuntang central angle, nagdi-divide sa halip na mag-multiply.
Tandaan: ang inscribed ay "maliit" (kalahati ng arc), ang central ay "malaki" (buong arc). Mula sa inscribed papuntang central — i-multiply sa 2. Mula sa central papuntang inscribed — i-divide.
-
Itinuturing na inscribed ang anumang angle na ang mga gilid ay tumatawid sa circle — halimbawa, ang angle sa pagitan ng mga chord na nagtatagpo sa loob ng circle.
Ang vertex ng isang inscribed angle ay dapat na nasa mismong circle. Ang angle na may vertex sa loob ng circle ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga intercepted arcs, habang ang may vertex sa labas ng circle ay kalahati ng difference: iba ang mga formula na ito.
-
Sa isang cyclic quadrilateral, ang kabuuan ng magkatabing angles ang ginagawang $180°$ sa halip na magkasalungat.
Ang katangian ay gumagana lamang para sa magkasalungat na vertices: \(\angle A + \angle C = 180°\) at \(\angle B + \angle D = 180°\). Ang magkatabing angles ng isang cyclic quadrilateral ay maaaring magkaroon ng anumang sukat.
Mga Tanong at Sagot
Ano ang katumbas ng isang inscribed angle?
Ang isang inscribed angle ay katumbas ng kalahati ng arc na sinasakop nito. Halimbawa, kung ang arc ay 120°, ang inscribed angle ay 60°. Ito ang Inscribed Angle Theorem — ang pangunahing formula sa paksang ito.
Paano magkaugnay ang inscribed at central angles na nakasubtend sa iisang arc?
Ang central angle ay doble ng inscribed angle: ∠AOC = 2·∠ABC. Ang central angle ay katumbas ng mismong arc, habang ang inscribed angle ay kalahati nito.
Bakit 90° ang inscribed angle na nakasubtend sa isang diameter?
Ang diameter ay sumasakop sa isang semicircle — isang arc na 180°. Ang inscribed angle ay katumbas ng kalahati ng arc: 180° : 2 = 90°. Kaya't anumang triangle na ang isang gilid ay diameter ng circumscribed circle nito ay isang right triangle.
Maaari bang maging obtuse ang isang inscribed angle?
Oo. Kung ang arc na sinasakop ng angle ay mas malaki sa 180°, ang angle ay obtuse: halimbawa, ang isang arc na 210° ay tumutugma sa isang inscribed angle na 105°. Gayunpaman, ang isang inscribed angle ay laging mas mababa sa 180°.
Ano ang isang circumscribed angle at paano ito naiiba sa isang inscribed angle?
Ang isang circumscribed angle ay nabubuo sa pamamagitan ng dalawang tangent na iginuhit sa isang circle mula sa iisang panlabas na punto. Ang vertex nito ay nasa labas ng circle, at ito ay katumbas ng kalahati ng difference ng mga intercepted arcs. Sa isang inscribed angle, ang vertex ay nasa circle, at ito ay katumbas ng kalahati ng isang arc.
Ano pang ibang uri ng angles sa isang circle ang mayroon?
Bukod sa central at inscribed, mayroon ding angle sa pagitan ng mga chord (vertex sa loob ng circle — kalahati ng kabuuan ng mga arc), angle sa pagitan ng mga secant mula sa isang panlabas na punto (kalahati ng difference ng mga arc), at angle sa pagitan ng isang tangent at isang chord (kalahati ng arc na nasa loob nito). Lahat sila ay ipinapahayag sa pamamagitan ng mga arc ng circle.
