Ang Teorema ng Cosine ay nag-uugnay sa tatlong panig ng tatsulok at isa sa mga anggulo nito: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Gumagana ito sa anumang tatsulok, kaya sa baitang 9, ito ang pumapalit sa teorema ni Pythagoras kung walang tamang anggulo (right angle). Ginagamit ito upang mahanap ang ikatlong panig kung alam ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, at gamit ang corollary na \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), mahahanap ang anumang anggulo gamit ang tatlong panig at matutukoy ang uri ng tatsulok. Sa pahinang ito — ang pormulasyon at tatlong bersyon ng formula, patunay, talahanayan ng cosine, gabay sa 'sine o cosine', mga solusyon sa problema ng OGE, at pagsasanay para sa self-check.
Teorema ng Cosine: pormulasyon at formula
Ang Teorema ng Cosine ay gumagana sa anumang tatsulok — hindi nito kailangan ng tamang anggulo. Iniuugnay nito ang tatlong panig at isang anggulo, kaya ginagamit ito upang mahanap ang isang panig kung alam ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Pormulasyon. Ang parisukat ng isang panig ng tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng dalawa pang panig minus ang doble ng produkto ng mga panig na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.
Dito, ang \(a\), \(b\), at \(c\) ay mga panig ng tatsulok, at ang \(C\) ay ang anggulo sa pagitan ng mga panig na \(a\) at \(b\); ang panig na \(c\) ay nasa tapat ng anggulong ito. Maaaring gumamit ng anumang titik — ang formula ay simetriko, kaya mayroon itong tatlong pantay na bersyon:
Ang pangunahing panuntunan sa pagpapalit: gamitin ang anggulo na nasa pagitan ng dalawang panig sa produkto, at hanapin ang panig na nasa tapat nito. Kung gagamitin ang 'katabing' anggulo, ang lahat ng numero ay magmumula sa kondisyon, ngunit ang sagot ay magiging mali.
Bakit ang teorema ni Pythagoras ay isang espesyal na kaso ng teorema ng cosine
Ipalit natin ang tamang anggulo sa formula, i.e., \(C = 90°\). Ang cosine ng tamang anggulo ay zero, kaya ang ikatlong termino ay nagiging zero:
Nakuha natin ang mismong teorema ni Pythagoras na pamilyar mula sa baitang 8. Kaya naman ang teorema ng cosine ay tinatawag na generalization nito: ang Pythagoras ay isang 'espesyal na kaso sa 90°', habang ang teorema ng cosine ay gumagana para sa lahat ng anggulo nang sabay-sabay.
Ang terminong \(-2ab\cos C\) ay madaling intindihin bilang pagwawasto para sa hindi tamang anggulo:
- ang anggulo ay acute, \(\cos C > 0\) — ang pagwawasto ay ibinabawas, ang panig na \(c\) ay nagiging mas maikli kaysa sa ibibigay ni Pythagoras;
- ang anggulo ay tama, \(\cos C = 0\) — walang pagwawasto, natitira ang \(c^2 = a^2 + b^2\);
- ang anggulo ay obtuse, \(\cos C < 0\) — ang pagwawasto ay idinadagdag, ang panig na \(c\) ay nagiging mas mahaba.
Patunay ng teorema ng cosine
Ang pinakamaikling patunay sa paaralan ay ang coordinate method. Ilagay ang vertex \(C\) sa origin, at ang panig na \(b = CA\) sa kahabaan ng x-axis. Ang mga coordinate ng mga vertex ay:
- \(C(0;\ 0)\) — origin;
- \(A(b;\ 0)\) — punto sa x-axis sa distansyang \(b\) mula sa origin;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vertex sa distansyang \(a\) mula sa origin sa anggulong \(C\) sa x-axis.
Ang panig na \(c\) — ay ang haba ng segment na \(AB\). Kinakalkula natin ito gamit ang formula ng distansya sa pagitan ng dalawang punto:
Buksan ang mga panaklong:
Igrupo ang mga termino na may \(a^2\) at ilapat ang pangunahing trigonometric identity na \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Ito ang dapat patunayan. Pansinin: hindi kinailangan kahit saan na ang anggulo \(C\) ay acute. Kung ito ay obtuse, ang cosine ay negatibo, ang coordinate na \(a\cos C\) ay papunta sa kaliwa ng y-axis, ngunit ang lahat ng kalkulasyon ay nananatiling pareho — kaya ang teorema ay totoo para sa anumang tatsulok.
Corollary: paano mahanap ang anggulo gamit ang tatlong panig
Mula sa teorema ng cosine, kinukuha ang cosine mismo — ito ang pangunahing corollary nito. Ginagamit ito upang mahanap ang anggulo kapag alam ang lahat ng tatlong panig:
Sa numerator — ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig na katabi ng anggulo, minus ang parisukat ng panig na nasa tapat nito. Sa denominator — ang doble ng produkto ng mga katabing panig. Para sa ibang mga anggulo, ang mga formula ay pareho:
Pagkakasunod-sunod ng paglutas:
- piliin ang hinahanap na anggulo at tukuyin kung aling panig ang nasa tapat nito — ang parisukat nito ay mapupunta sa numerator na may negatibong tanda;
- kalkulahin ang fraction (ang denominator ay laging positibo, ang tanda ay tinutukoy lamang ng numerator);
- gamit ang talahanayan ng mga halaga o sa pamamagitan ng arccosine, hanapin ang anggulo mismo.
Kapaki-pakinabang na tip: magsimula sa pinakamahabang panig. Ang pinakamalaking anggulo ay nasa tapat nito, at ito lamang ang maaaring maging tama o obtuse — ang dalawa pang anggulo sa tatsulok ay laging acute.
Ang mga cosine ng obtuse angles ay negatibo: talahanayan ng mga halaga
Sa mga problema sa paaralan, ang mga anggulo ay halos laging 'standard': 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Para sa mga acute angle, ang cosine ay positibo, para sa tamang anggulo ay zero, at para sa mga obtuse angle — negatibo. Ang mga halaga para sa mga obtuse angle ay nakukuha mula sa mga halaga para sa mga acute angle gamit ang reduction rule na \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): halimbawa, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Ano ang ibig sabihin nito sa praktika: sa isang obtuse angle, ang ekspresyong \(-2ab\cos C\) ay nagiging plus — dahil ang minus sa minus ay plus. Para sa anggulo na \(120°\), ang formula ay ganito:
Dito madalas nawawalan ng puntos: nagpapalit ng \(0{,}5\) sa halip na \(-0{,}5\) at nakakakuha ng panig na mas maikli kaysa sa dalawang ibinigay. Ito ay imposible — ang pinakamahabang panig ng tatsulok ay nasa tapat ng obtuse angle.
| Anggulo | Cosine |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Paano matutukoy ang uri ng tatsulok gamit ang tatlong panig
Pinapayagan tayo ng teorema ng cosine na malaman ang uri ng tatsulok nang hindi gumagamit ng protractor. Ang tanda ng fraction na \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) ay nakadepende lamang sa numerator: ang denominator na \(2ab\) ay laging positibo. Ibig sabihin, sapat na ikumpara ang parisukat ng pinakamahabang panig sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawa pang panig.
Hayaan ang \(c\) na maging pinakamahabang panig, kung gayon ang pinakamalaking anggulo \(C\) ay nasa tapat nito:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → ang anggulo \(C\) ay acute. Ang ibang mga anggulo ay mas maliit kaysa dito, kaya ang lahat ng tatlong anggulo ay acute — ang tatsulok ay acute-angled;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — ang tatsulok ay right-angled (ito ang kabaligtaran ng teorema ni Pythagoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → ang anggulo \(C\) ay obtuse — ang tatsulok ay obtuse-angled.
Hindi na kailangang suriin ang ibang mga anggulo: ang tama o obtuse na anggulo sa isang tatsulok ay isa lamang. At huwag kalimutan ang triangle inequality — kung ang pinakamahabang panig ay hindi mas maliit sa kabuuan ng dalawa pang panig, ang tatsulok na may ganitong mga panig ay hindi umiiral.
Teorema ng sine o cosine: paano pumili
Ang parehong teorema ay lumulutas sa iisang problema — paghahanap ng mga hindi kilalang panig at anggulo ng tatsulok — ngunit gumagana batay sa iba't ibang hanay ng data. Ang teorema ng sine ay nag-uugnay sa isang panig at ang tapat nitong anggulo:
Kaya ito ang panuntunan sa pagpili: kung sa kondisyon ay mayroon nang pares na 'panig at anggulo sa tapat nito' — gumagana ang teorema ng sine; kung walang ganitong pares — magsimula sa teorema ng cosine. Ang gabay para sa apat na hanay ng data sa paaralan — ay nasa talahanayan.
Madalas na ang problema ay nalulutas sa dalawang hakbang: una, ang teorema ng cosine ay nagbibigay ng ikatlong panig, at pagkatapos ay mabilis na mahahanap ng teorema ng sine ang mga natitirang anggulo.
| Ano ang alam | Ano ang gagamitin |
|---|---|
| SASDalawang panig at anggulo sa pagitan nila | Teorema ng Cosinehanapin ang ikatlong panig |
| SSSLahat ng tatlong panig | Teorema ng Cosinehanapin ang anumang anggulo at uri ng tatsulok |
| ASAIsang panig at dalawang anggulo | Teorema ng Sinehanapin ang dalawa pang panig |
| SSADalawang panig at anggulo sa tapat ng isa sa kanila | Teorema ng Sinehanapin ang tapat na anggulo |
Teorema ng cosine sa mga problema ng OGE
Sa OGE sa matematika, ang teorema ng cosine ay matatagpuan sa mga problemang planimetric — kapwa sa unang bahagi at sa mga problema na may detalyadong sagot. Ang mga tipikal na plot ay:
- Paghahanap ng panig gamit ang dalawang panig at anggulo sa pagitan nila — direktang paggamit ng formula, kadalasan na may mga anggulo na 60° o 120°.
- Paghahanap ng anggulo o cosine nito gamit ang tatlong panig — corollary na \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Kung sa gawain ay nakasulat na 'hanapin ang \(\cos\angle A\)', hindi na kailangang kumuha ng arccosine: ang sagot — ay ang mismong fraction, iyon ang isusulat.
- Mga diagonal ng parallelogram. Ang diagonal ay naghihiwalay ng tatsulok mula sa dalawang panig at anggulo sa pagitan nila. Ang mga katabing anggulo ng parallelogram ay nagbibigay ng kabuuan na 180°, kaya ang kanilang mga cosine ay magkasalungat: ang mas maikling diagonal ay nasa tapat ng acute angle, ang mas mahaba — sa tapat ng obtuse.
- Uri ng tatsulok gamit ang tatlong numero — paghahambing ng \(a^2 + b^2\) sa \(c^2\).
- Median ng tatsulok. Ang formula na \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) ay nagmumula sa dobleng paggamit ng teorema ng cosine sa dalawang katabing anggulo sa base.
Tip sa pagsusulit: bago magkalkula, markahan sa drawing ang anggulo na 'naipit' sa pagitan ng mga kilalang panig. Kung walang ganitong anggulo — ang teorema ng cosine ay hindi pa magagamit, kailangang maghanap ng ibang paraan.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa teorema ng cosine
Halimbawa 1. Paghahanap ng panig gamit ang dalawang panig at anggulo na 60°
Problema. Sa tatsulok na \(ABC\), ang mga panig ay \(a = 7\) at \(b = 15\), ang anggulo sa pagitan nila ay \(C = 60°\). Hanapin ang panig na \(c\).
Hakbang 1. Ang anggulo \(C\) ay nasa pagitan ng mga panig na \(a\) at \(b\) — ito ang kaso kung saan ginawa ang teorema:
Hakbang 2. Ipalit ang mga numero, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Hakbang 3. Kunin ang root: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Sagot: \(13\). Pagsusuri ayon sa kahulugan: ang anggulo na \(60°\) ay acute, kaya ang panig sa tapat nito ay hindi ang pinakamahaba — at totoo nga, \(13 < 15\).
Halimbawa 2. Obtuse angle: minus sa minus
Problema. Sa tatsulok na \(ABC\) ay alam na: \(AB = 6\), \(BC = 10\), anggulo \(B = 120°\). Hanapin ang panig na \(AC\).
Hakbang 1. Ang anggulo \(B\) ay nasa pagitan ng mga panig na \(AB\) at \(BC\), at ang panig na \(AC\) ay nasa tapat nito:
Hakbang 2. Ang anggulo ay obtuse, kaya \(\cos 120° = -0{,}5\). Ang minus bago ang produkto at ang minus sa cosine ay nagbibigay ng plus:
Hakbang 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Sagot: \(14\). Pagsusuri: ang pinakamahabang panig ay nasa tapat ng obtuse angle — ang \(14\) ay mas malaki sa \(6\) at \(10\).
Halimbawa 3. Paghahanap ng anggulo gamit ang tatlong panig
Problema. Ang mga panig ng tatsulok ay \(3\), \(5\), at \(7\). Hanapin ang pinakamalaking anggulo nito.
Hakbang 1. Ang pinakamalaking anggulo ay nasa tapat ng pinakamahabang panig, i.e., sa tapat ng panig na \(7\). Tawagin natin itong \(C\), kung gayon \(c = 7\), at ang mga katabing panig ay \(a = 3\) at \(b = 5\).
Hakbang 2. Ilapat ang corollary:
Hakbang 3. Ang cosine ay negatibo — ang anggulo ay obtuse. Sa talahanayan ng mga halaga, \(\cos 120° = -0{,}5\), kaya \(C = 120°\).
Sagot: \(120°\). Nalaman din na ang tatsulok ay obtuse-angled.
Halimbawa 4. Pagtukoy sa uri ng tatsulok
Problema. Tukuyin ang uri ng tatsulok na may mga panig na \(6\), \(7\), at \(10\).
Hakbang 1. Suriin ang triangle inequality: \(6 + 7 = 13 > 10\) — ang tatsulok ay umiiral. Ang pinakamahabang panig ay \(10\).
Hakbang 2. Ikumpara ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang mas maikling panig sa parisukat ng pinakamahabang panig:
Hakbang 3. \(85 < 100\), kaya ang numerator ng fraction ay negatibo at \(\cos C < 0\) — ang anggulo sa tapat ng panig na \(10\) ay obtuse. Kung nais, mahahanap din ang anggulo mismo:
Sagot: ang tatsulok ay obtuse-angled. Pansinin: hindi ito nakikita 'sa mata' — ang mga panig ay halos magkapareho, ngunit ang anggulo ay lumampas na sa \(90°\).
Halimbawa 5. Problema sa antas ng OGE: diagonal ng parallelogram
Problema. Ang mga panig ng parallelogram ay \(5\) at \(8\), ang acute angle ay \(60°\). Hanapin ang mas maikling diagonal.
Hakbang 1. Ang diagonal ay naghihiwalay ng tatsulok kung saan alam ang dalawang panig (\(5\) at \(8\)) at ang anggulo sa pagitan nila. Ang mas maikling diagonal ay nasa tapat ng acute angle na \(60°\).
Hakbang 2. Kalkulahin:
Hakbang 3. Pagsusuri. Ang pangalawang diagonal ay nasa tapat ng anggulo na \(120°\) (ang mga katabing anggulo ng parallelogram ay nagbibigay ng kabuuan na \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), i.e., \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ay \(49 + 129 = 178\), at ang doble ng kabuuan ng mga parisukat ng mga panig — \(2(25 + 64) = 178\). Nagtugma, kaya tama ang kalkulasyon.
Sagot: \(7\).
Mga madalas na pagkakamali sa mga problema sa teorema ng cosine
-
Kinukuha ang cosine ng obtuse angle na may positibong tanda. Para sa mga panig na $4$ at $9$ na may anggulo na $120°$ sa pagitan nila, isinusulat ang $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ at nakakakuha ng $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), at ang minus sa minus ay nagbibigay ng plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), i.e., \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Mabilis na pagsusuri: ang pinakamahabang panig ay nasa tapat ng obtuse angle, kaya ang sagot ay dapat na mas malaki sa \(9\).
-
Nagpapalit ng anggulo na hindi nasa pagitan ng mga ibinigay na panig: sa kondisyon ay may ibinigay na isang anggulo, at ginagamit ito 'kung ano ito', nang hindi tumitingin sa drawing.
Sa pagsulat ng \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), ang mga panig na \(a\) at \(b\) ay bumubuo ng anggulo \(C\), at ang panig na \(c\) ay nasa tapat nito. Kung ang kilalang anggulo ay katabi ng hinahanap na panig, ang pagsulat na ito ay hindi angkop — kailangan ng isa pa sa tatlo o teorema ng sine.
-
Nakalimutang kunin ang root at isinusulat sa sagot ang parisukat ng panig: nakuha ang $c^2 = 225$ at isinulat na 'ang panig ay 225'.
Ang formula ay laging nagbibigay ng parisukat ng panig. Ang huling hakbang ay mandatory: \(c = \sqrt{225} = 15\). Basahin muli ang tanong ng problema bago isulat ang sagot.
-
Nagkakamali sa pagkakasunod-sunod ng mga termino sa corollary at isinusulat ang $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Ang tamang numerator — \(a^2 + b^2 - c^2\): kabuuan ng mga parisukat ng mga katabing panig minus ang parisukat ng panig sa tapat. Sa pagpapalit, ang tanda ng fraction ay nagbabago sa kabaligtaran, at sa halip na obtuse angle na \(120°\), nakakakuha ng acute na \(60°\).
-
Paghahanap ng anggulo gamit ang modulus ng cosine: nakakuha ng −0,25, ngunit sa sagot ay isinusulat ang acute angle, na parang ang cosine ay +0,25.
Ang negatibong cosine — ay laging obtuse angle. Hindi dapat mawala ang tanda: cos 60° = 0,5, at cos 120° = −0,5; ang arccosine ng negatibong numero ay mas malaki sa 90°.
-
Sinusubukang lutasin ang problema na 'dalawang panig at anggulo sa pagitan nila' gamit ang teorema ng sine at naiipit sa unang linya.
Ang teorema ng sine ay nangangailangan ng handang pares na 'panig at tapat na anggulo'. Sa dalawang panig at anggulo sa pagitan nila, walang ganitong pares — una, ang teorema ng cosine ay nagbibigay ng ikatlong panig, at pagkatapos lamang papasok ang teorema ng sine.
Mga tanong at sagot
Paano binibigkas ang teorema ng cosine?
Ang parisukat ng isang panig ng tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng dalawa pang panig minus ang doble ng produkto ng mga panig na ito sa cosine ng anggulo sa pagitan nila: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Ang teorema ay totoo para sa anumang tatsulok, hindi lamang para sa right-angled.
Paano mahanap ang panig ng tatsulok gamit ang dalawang panig at anggulo sa pagitan nila?
Ipalit ang data sa formula na c² = a² + b² − 2ab·cos C at kunin ang root. Halimbawa, sa mga panig na 4 at 6 at anggulo na 60° sa pagitan nila: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, kaya c = √28 ≈ 5,3.
Paano mahanap ang anggulo ng tatsulok kung alam ang tatlong panig?
Gamit ang corollary ng teorema ng cosine: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kung saan ang c ay ang panig sa tapat ng hinahanap na anggulo. Halimbawa, para sa mga panig na 2, 3, at 4, ang cosine ng pinakamalaking anggulo ay (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, i.e., ang anggulo ay obtuse, humigit-kumulang 104°.
Bakit ang teorema ni Pythagoras ay isang espesyal na kaso ng teorema ng cosine?
Dahil sa tamang anggulo, ang cos 90° = 0, at ang terminong −2ab·cos C ay nagiging zero. Mula sa formula ay natitira ang c² = a² + b² — ito ang teorema ni Pythagoras para sa right-angled triangle.
Gumagana ba ang teorema ng cosine sa obtuse-angled triangle?
Oo, at gumagana nang walang pagbabago. Sa obtuse angle, ang cosine ay negatibo, kaya ang terminong −2ab·cos C ay nagiging positibo at idinadagdag sa kabuuan ng mga parisukat. Dahil dito, ang panig sa tapat ng obtuse angle ay nagiging pinakamahaba.
Kailan gagamitin ang teorema ng sine at kailan ang teorema ng cosine?
Ang teorema ng sine ay kailangan kapag sa kondisyon ay mayroon nang pares na 'panig at tapat na anggulo' — halimbawa, may ibinigay na panig at dalawang anggulo. Ang teorema ng cosine — kapag walang ganitong pares: may ibinigay na dalawang panig at anggulo sa pagitan nila o lahat ng tatlong panig. Madalas na ang problema ay nalulutas sa dalawang hakbang: una, cosine, pagkatapos ay sine.
Paano matutukoy ang uri ng tatsulok gamit ang tatlong panig?
Ikumpara ang parisukat ng pinakamahabang panig na c² sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawa pang panig. Kung a² + b² > c² — ang tatsulok ay acute-angled, kung a² + b² = c² — right-angled, kung a² + b² < c² — obtuse-angled. Ang tanda ng pagkakaibang ito ay tumutugma sa tanda ng cosine ng pinakamalaking anggulo.
Sa anong baitang itinuturo ang teorema ng cosine?
Sa baitang 9 sa mga aralin sa geometry, sa paksang 'Relasyon sa pagitan ng mga panig at anggulo ng tatsulok' — kasama ang teorema ng sine. Pagkatapos nito, patuloy itong ginagamit sa mga problema ng OGE at EGE sa planimetry at stereometry.
