Ang Teorema ni Pythagoras ay ang pangunahing pormula sa geometry para sa Grade 8: sa isang right-angled triangle, ang suma ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, ibig sabihin, \(a^2 + b^2 = c^2\). Mula dito, ang mga pormula ay nahango upang mahanap ang hypotenuse at anumang binti, ang dayagonal ng isang parihaba, at ang distansya sa pagitan ng mga punto. Sa pahinang ito - ang kahulugan at pormula, malinaw na pagpapatunay sa pamamagitan ng mga lugar, kabaligtaran na teorema, Egyptian triangle 3-4-5, mga hakbang-hakbang na pagtalakay ng mga problema, at isang interactive na simulator upang subukan ang iyong sarili.
Ano ang Teorema ni Pythagoras at paano ito isinusulat
Ang Teorema ni Pythagoras ay gumagana lamang sa isang right-angled triangle - isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay \(90°\). Ang mga gilid ng gayong tatsulok ay may iba't ibang pangalan:
- Mga binti (legs) - ang dalawang gilid na bumubuo sa right angle;
- Hypotenuse - ang gilid na katapat ng right angle, ang pinakamahabang gilid ng tatsulok.
Pahayag ng Teorema: Sa isang right-angled triangle, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng suma ng mga parisukat ng mga binti.
Dito, ang \(a\) at \(b\) ay ang mga binti, at ang \(c\) ay ang hypotenuse. Minsan ang teorema ay binibigkas "geometrically": ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng suma ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ito ay parehong teorema, sinabi lamang tungkol sa mga lugar, hindi tungkol sa mga numero.
Ang simpleng tuntunin ay tumutulong upang matandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga titik: sa ilalim ng malaking titik na \(c\) ay palaging nakatago ang pinakamahabang gilid. Kung ang hypotenuse ay mapagkamalan sa isang binti sa problema, ang sagot ay magiging mali.
Pagpapatunay ng Teorema ni Pythagoras
Mayroong higit sa isang daang kilalang mga patunay para sa teorema ni Pythagoras. Ang pinakamalinaw na pagpapatunay na itinuturo sa paaralan ay ang pagpapatunay sa pamamagitan ng mga lugar. Kumuha tayo ng dalawang magkaparehong parisukat na may gilid na \(a + b\) at ilagay sa bawat isa ang apat na magkaparehong right-angled triangles na may mga binti na \(a\) at \(b\) - ngunit sa iba't ibang paraan.
- Sa unang parisukat, ilipat ang mga tatsulok sa mga sulok upang magkaroon ng dalawang parisukat na natitira: isa na may gilid na \(a\) at isa na may gilid na \(b\). Ang kanilang mga lugar ay \(a^2\) at \(b^2\).
- Sa pangalawang parisukat, ayusin ang parehong apat na tatsulok sa isang "pinwheel" na paraan. Isang pahilig na parisukat na may gilid na \(c\) ang natitira, na may lugar na \(c^2\).
- Ang mga lugar ng malalaking parisukat ay magkapareho: bawat isa ay katumbas ng \((a+b)^2\). Ang suma ng mga lugar ng mga tatsulok ay magkapareho rin: bawat isa ay sumasakop ng \(\frac{ab}{2}\), at apat na tatsulok ay \(2ab\).
Dahil ang buong parisukat at ang bahaging ibinawas ay magkapareho, ang mga natitira ay magkapareho rin: \(a^2 + b^2 = c^2\). Ang teorema ay napatunayan - ang balanse ng mga lugar para sa parehong parisukat ay nakasulat sa ilalim ng diagram.
Paano Hanapin ang Hypotenuse at Leg Gamit ang Teorema ni Pythagoras
Mula sa isang pormula \(a^2 + b^2 = c^2\), lahat ng mga pormula na ginagamit sa paksa ay nagmumula: ang hindi kilalang gilid ay ipinapahayag mula sa pagkakapantay-pantay at ang square root ay kinukuha. Mayroon lamang isang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang kaso - at ito ang madalas na nagkakamali:
- Hypotenuse ay hinahanap sa pamamagitan ng suma ng mga parisukat ng mga binti - dapat itong maging mas mahaba kaysa sa alinman sa mga ito;
- Leg - sa pamamagitan ng pagkakaiba: ang parisukat ng isang kilalang binti ay ibinabawas mula sa parisukat ng hypotenuse, at ang resulta ay dapat na mas maikli kaysa sa hypotenuse.
Kung ang resulta sa ilalim ng ugat ay negatibo, nangangahulugan ito na ang hypotenuse ay napagkamalan sa isang binti - bumalik sa diagram at hanapin ang right angle. At isa pang detalye: ang ugat ay kinakailangan sa dulo, ang mga puntos ay nawawala dito ang pinakamadalas.
Ang kumpletong gabay sa lahat ng mga pormula ay nasa ibaba.
| What are we looking for | Formula and explanation |
|---|---|
| Hypotenuse | c = √a2 + b2square root of the sum of the squares of the legs |
| Leg a | a = √c2 − b2square root of the difference between the square of the hypotenuse and the square of the other leg |
| Leg b | b = √c2 − a2symmetrically: subtract the square of the other leg |
| Check | a2 + b2 = c2 ?equality holds → triangle is right-angled (converse theorem) |
Kabaligtaran na Teorema ni Pythagoras at Egyptian Triangle
Kabaligtaran na Teorema ni Pythagoras: Kung ang parisukat ng isang gilid ng tatsulok ay katumbas ng suma ng mga parisukat ng dalawang iba pang gilid, kung gayon ang tatsulok na ito ay right-angled, at ang right angle ay nakalagay sa tapat ng pinakamahabang gilid.
Ito ay isang tool na magagamit: gamit ang tatlong numero, maaari mong malaman ang uri ng tatsulok nang hindi sinusukat ang anumang bagay gamit ang isang protractor. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay ang mga sumusunod:
- hanapin ang pinakamahabang gilid - ito ang kandidato para sa hypotenuse;
- i-square ang dalawang iba pang gilid at idagdag ang mga ito;
- ihambing sa parisukat ng pinakamahabang gilid.
Kung ang pagkakapantay-pantay ay nakuha - ang tatsulok ay right-angled. Halimbawa, mga gilid na 6, 8, at 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), kaya ang tatsulok ay right-angled.
Ang mga set ng mga buong numero kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo ay tinatawag na Pythagorean triples. Ang pinakakilala ay 3, 4, 5: ang gayong tatsulok ay tinatawag na Egyptian dahil ang mga tagapagtayo sa Sinaunang Ehipto ay sumusukat ng 12 pantay na bahagi sa isang lubid at binubuo ito sa isang tatsulok na may mga gilid na 3, 4, at 5 upang makakuha ng isang eksaktong right angle sa konstruksyon. Ang pamamaraang ito ay ginagamit pa rin ngayon.
Saan Ginagamit ang Teorema ni Pythagoras: Mga Problema mula sa Buhay at Geometry
Ang Teorema ni Pythagoras ay kailangan sa tuwing ang isang right-angled triangle ay maaaring makita sa isang hugis:
- Dayagonal ng isang parihaba. Ang dayagonal ay naghahati sa parihaba sa dalawang right-angled triangles, kaya \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Ito ay kung paano kinakalkula ang dayagonal ng isang screen ng TV o ang sukat ng isang silid.
- Taas ng isang isosceles triangle. Ang taas na iginuhit sa base ay hinahati ito sa kalahati at lumilikha ng isang right-angled triangle - ang parehong pormula ay gumagana dito.
- Dayagonal ng isang parisukat. Kung ang gilid ay \(a\), kung gayon \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Distansya sa pagitan ng mga punto sa coordinate plane. Ang pormula \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) ay ang Teorema ni Pythagoras para sa tatsulok na itinayo sa mga pagkakaiba ng mga coordinate.
- Praktikal na mga problema. Isang hagdan na nakasandal sa dingding; ang taas ng isang puno ayon sa anino nito; ang haba ng isang lubid, suporta, kable - sa lahat ng mga problemang ito, isang right-angled triangle ang idinadagdag at ang pormula ay inilalapat.
Mahalagang tandaan ang pangunahing limitasyon: ang Teorema ni Pythagoras ay totoo lamang para sa isang right-angled triangle. Kung walang right angle, ang mga gilid ay pinag-uugnay ng Law of Cosines, na pinag-aaralan sa Grade 9.
Mga Halimbawa ng Paglutas ng Problema sa Teorema ni Pythagoras
Halimbawa 1. Paghahanap ng Hypotenuse
Problema. Ang mga binti ng isang right-angled triangle ay 9 cm at 12 cm. Hanapin ang hypotenuse.
Hakbang 1. Isulat ang teorema para sa ating tatsulok: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Hakbang 2. I-square ang mga binti at idagdag ang mga ito:
Hakbang 3. Kunin ang square root: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Sagot: \(15\) cm. Pag-check ayon sa kahulugan: ang hypotenuse ay naging mas mahaba kaysa sa bawat binti - ito ay dapat na.
Halimbawa 2. Paghahanap ng Leg
Problema. Ang hypotenuse ng isang right-angled triangle ay 25 cm, ang isang binti ay 7 cm. Hanapin ang pangalawang binti.
Hakbang 1. I-express ang hindi kilalang binti mula sa pormula \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Dito ay pagkakaiba, hindi suma - hinahanap natin ang binti, hindi ang hypotenuse.
Hakbang 2. Ilagay ang mga numero:
Hakbang 3. Kunin ang square root: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Sagot: \(24\) cm. Sa pamamagitan nito, nalaman din natin ang Pythagorean triple \(7 - 24 - 25\).
Halimbawa 3. Problema sa Hagdan
Problema. Isang hagdan na 5 m ang haba ay nakasandal sa dingding. Ang ibabang dulo nito ay 3 m ang layo mula sa dingding. Sa anong taas dumidikit ang hagdan sa dingding?
Hakbang 1. Gumawa ng diagram: ang dingding at ang lupa ay bumubuo ng isang right angle, ang hagdan ay ang hypotenuse. Kaya, \(c = 5\) m, ang isang binti \(a = 3\) m, ang taas \(h\) ay ang pangalawang binti.
Hakbang 2. Hanapin ang binti sa pamamagitan ng pagkakaiba:
Hakbang 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Sagot: \(4\) m. Ito ang Egyptian triangle na \(3 - 4 - 5\).
Halimbawa 4. Suriin ang Tatsulok Gamit ang Kabaligtaran na Teorema
Problema. Ang mga gilid ng tatsulok ay 10, 24, at 26. Ito ba ay right-angled?
Hakbang 1. Hanapin ang pinakamahabang gilid - ito ay 26. Kung ang tatsulok ay right-angled, ito ang magiging hypotenuse.
Hakbang 2. Kalkulahin ang suma ng mga parisukat ng dalawang mas maikling gilid: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Hakbang 3. Ihambing sa parisukat ng mas mahabang gilid: \(26^2 = 676\). Ang mga numero ay magkatugma.
Sagot: oo, ang tatsulok ay right-angled, ang right angle ay nakalagay sa tapat ng gilid na 26. Ito ay ang triple na \(5 - 12 - 13\) na pinarami ng 2.
Halimbawa 5. Dayagonal ng Parihaba
Problema. Ang mga gilid ng parihaba ay 8 cm at 15 cm. Hanapin ang dayagonal nito.
Hakbang 1. Ang dayagonal ay naghahati sa parihaba sa dalawang magkaparehong right-angled triangles: ang mga gilid ng parihaba ay nagiging mga binti, at ang dayagonal ay nagiging hypotenuse.
Hakbang 2. Ilapat ang pormula: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Hakbang 3. \(d = 17\) cm.
Sagot: \(17\) cm. Ang Pythagorean triple na \(8 - 15 - 17\) ay gumagana dito.
Mga Karaniwang Pagkakamali sa Mga Problema sa Teorema ni Pythagoras
-
Pagkalito ng binti sa hypotenuse: paglalagay ng pinakamahabang gilid bilang binti at pagkuha ng negatibong numero sa ilalim ng ugat.
Ang hypotenuse ay palaging ang gilid na katapat ng right angle at palaging ang pinakamahaba. Simulan ang solusyon sa isang diagram: markahan ang right angle, at makikita kung aling gilid ang katapat nito.
-
Pagdaragdag ng mga mismong gilid, hindi ang kanilang mga parisukat: pagsusulat ng $a + b = c$ at para sa mga binti na 6 at 8, nakakakuha ng 14.
Ang teorema ay nag-uugnay sa mga parisukat mismo: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), kaya \(c = 10\). Ang suma ng mga binti mismo ay palaging mas malaki kaysa sa hypotenuse - hindi ito ang sagot, kundi isang tanda ng pagkakamali.
-
Pagkalimot na kunin ang square root at isulat ang $c^2$ sa sagot sa halip na $c$: "ang hypotenuse ay 225".
Pagkatapos ng mga kalkulasyon, ang parisukat ng gilid ay palaging nananatili. Ang huling hakbang ay ang ugat: \(c = \sqrt{225} = 15\). Gawing isang tuntunin na basahin muli ang tanong ng problema bago isulat ang sagot.
-
Paghahanap ng binti gamit ang suma: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Ang suma ay ginagamit lamang upang hanapin ang hypotenuse. Ang binti ay hinahanap gamit ang pagkakaiba: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Ang pag-check ay simple: ang binti ay dapat na mas maikli kaysa sa hypotenuse.
-
Paglalapat ng teorema sa isang tatsulok na walang right angle - halimbawa, sa isang isosceles o sa isang arbitraryong tatsulok na may mga gilid na 5, 6, 7.
Ang Teorema ni Pythagoras ay gumagana lamang sa isang right-angled triangle. Kung walang right angle, ito ay "nililikha" muna - sa pamamagitan ng pagguhit ng taas - o ginagamit ang Law of Cosines mula sa kurso ng Grade 9.
-
Sa kabaligtaran na teorema, hindi ihinahambing sa tamang gilid: pag-square ng dalawang arbitraryong gilid at pagdaragdag ng mga ito.
Ang parisukat ng pinakamahabang gilid ay dapat katumbas ng suma ng mga parisukat ng dalawang iba pang gilid. Para sa mga gilid na 6, 8, 11, ihambing natin ang \(6^2 + 8^2 = 100\) at \(11^2 = 121\): walang pagkakapantay-pantay, ang tatsulok ay hindi right-angled.
Mga Tanong at Sagot
Paano binibigkas ang pormula ng Teorema ni Pythagoras?
a² + b² = c², kung saan ang a at b ay ang mga binti ng isang right-angled triangle, at ang c ay ang hypotenuse. Sa salita: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng suma ng mga parisukat ng mga binti.
Paano hanapin ang hypotenuse kung ang mga binti ay kilala?
I-square ang mga binti, idagdag ang mga ito, at kunin ang square root: c = √(a² + b²). Halimbawa, para sa mga binti na 6 at 8, nakakakuha tayo ng c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Paano hanapin ang isang binti kung ang hypotenuse at ang pangalawang binti ay kilala?
Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga parisukat: a = √(c² − b²). Halimbawa, para sa hypotenuse na 13 at binti na 5, ang pangalawang binti ay √(169 − 25) = √144 = 12.
Sa anong baitang itinuturo ang Teorema ni Pythagoras?
Sa Grade 8 sa mga klase ng Geometry, sa paksang "Right-Angled Triangle". Doon din pinag-aaralan ang kabaligtaran na teorema ni Pythagoras at ang mga Pythagorean triples, at sa hinaharap ang teorema ay ginagamit sa Grade 9 at sa mga problema sa OGE at EGE.
Ano ang kabaligtaran na teorema ni Pythagoras?
Ito ay isang pahayag sa kabaligtaran na direksyon: kung ang parisukat ng isang gilid ng tatsulok ay katumbas ng suma ng mga parisukat ng dalawang iba pang gilid, kung gayon ang tatsulok ay right-angled. Pinapayagan nitong matukoy ang uri ng tatsulok gamit ang tatlong numero, nang hindi sinusukat ang mga anggulo.
Anong tatsulok ang tinatawag na Egyptian?
Isang tatsulok na may mga gilid na 3, 4, at 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Sa Sinaunang Ehipto, gamit ang isang lubid na nahahati sa 12 pantay na bahagi, nakakuha sila ng isang eksaktong right angle mula dito kapag nagmamarka ng mga gusali.
Gumagana ba ang Teorema ni Pythagoras sa isang hindi right-angled triangle?
Hindi. Ang pagkakapantay-pantay na a² + b² = c² ay totoo lamang kapag may right angle. Para sa isang arbitraryong tatsulok, ginagamit ang Law of Cosines c² = a² + b² − 2ab·cos C, na kapag ang anggulo ay 90° ay nagiging eksaktong Teorema ni Pythagoras.
Paano patunayan ang Teorema ni Pythagoras sa isang simpleng paraan?
Ang pinakamalinaw na patunay sa paaralan ay sa pamamagitan ng mga lugar. Dalawang magkaparehong parisukat na may gilid na a + b ang kinukuha, at apat na magkaparehong right-angled triangles na may mga binti na a at b ang inilalagay sa bawat isa. Sa una, ang mga parisukat na a² at b² ay natitira, sa pangalawa - ang parisukat na c². Dahil ang malalaking parisukat at ang mga tatsulok ay magkapareho, kaya a² + b² = c².
