ในวงกลม เราจะพบมุมหลักๆ สองชนิดคือ: มุมที่จุดศูนย์กลาง — ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และ มุมในส่วนโค้งของวงกลม — ซึ่งมีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง ความสัมพันธ์ระหว่างมุมทั้งสองนั้นเรียบง่าย: มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเท่ากับส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น ส่วนมุมในส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งนั้น ในหน้านี้ เราจะได้เรียนรู้คำจำกัดความ, ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลมพร้อมผลที่ตามมาทั้งหมด, ภาพวาดที่ชัดเจน, การวิเคราะห์โจทย์ทีละขั้นตอน และแบบฝึกหัดอินเทอร์แอคทีฟที่คุณสามารถทดสอบความเข้าใจได้ทันที
ชนิดของมุมในวงกลม: มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม
เมื่อเราลากส่วนของเส้นตรงสองเส้นจากจุดเดียวกันในวงกลม จะเกิดเป็นมุมขึ้นมา เราสามารถแบ่งชนิดของมุมในวงกลมได้เป็น 2 ชนิดหลักๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดยอดมุม:
- มุมที่จุดศูนย์กลาง — คือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง \(O\) ของวงกลม แขนของมุมคือรัศมี
- มุมในส่วนโค้งของวงกลม — คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง และแขนของมุมตัดกับวงกลม (ซึ่งก็คือคอร์ดนั่นเอง)
มุมแต่ละชนิดจะ รองรับ ด้วยส่วนโค้ง ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงที่อยู่ภายในมุมนั้นๆ และส่วนโค้งนี่เองที่เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม: ขนาดของมุมทั้งสองจะถูกกำหนดโดยขนาดของส่วนโค้งนี้
ถ้าจุดยอดของมุมอยู่ภายในวงกลม (แต่ไม่ใช่ที่จุดศูนย์กลาง) หรืออยู่นอกวงกลม มุมนั้นจะไม่ใช่มุมในส่วนโค้งหรือมุมที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งมุมเหล่านี้จะมีสูตรคำนวณของตัวเอง ซึ่งเราจะกล่าวถึงในตอนท้ายของหน้านี้
∠AOC = ส่วนโค้ง AC = 120°
∠ABC = ½ ของส่วนโค้ง AC = 60°
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลมและขนาดของมุม
มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น — นี่คือวิธีการกำหนดขนาดของส่วนโค้งเป็นองศา ถ้า \(\angle AOC = 120°\) ดังนั้นส่วนโค้ง \(AC\) ก็จะมีขนาดเท่ากับ \(120°\) เช่นกัน
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลม: มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของขนาดของส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น:
จากนี้ เราจะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญที่สุดระหว่างมุมในส่วนโค้งและมุมที่จุดศูนย์กลาง: มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลาง ที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน:
ขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดยอดบนเส้นรอบวง แต่ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้นเท่านั้น ดังนั้น ควรจดจำภาพวาดด้านล่างนี้ไว้เป็น 'ภาพหลัก' ของหัวข้อนี้: ส่วนโค้งสีเขียวและมุมสองมุมที่มองไปยังส่วนโค้งนั้น
มุมในส่วนโค้งและมุมที่จุดศูนย์กลาง: คุณสมบัติและผลที่ตามมา
จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลม เราสามารถสรุปคุณสมบัติต่างๆ ที่เป็นพื้นฐานของโจทย์ในโรงเรียนส่วนใหญ่ได้โดยตรง:
- มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันย่อมมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากแต่ละมุมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งเดียวกัน ดังนั้นมุมเหล่านั้นจึงเท่ากัน ไม่ว่าจุดยอดของมุมจะอยู่ที่ใดก็ตาม
- มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก เส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน คือครึ่งวงกลมซึ่งมีขนาด \(180°\) ดังนั้นมุมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนี้จึงมีขนาดเท่ากับ \(180° : 2 = 90°\) ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมเป็นมุมฉาก แสดงว่ามุมนั้นรองรับด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง
- มุมในส่วนโค้งของวงกลมสามารถเป็นมุมป้านได้ ถ้าส่วนโค้งมีขนาดใหญ่กว่า \(180°\) มุมก็จะมีขนาดใหญ่กว่า \(90°\) — สูตร 'ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง' ยังคงใช้ได้โดยไม่มีข้อยกเว้น
คุณสมบัติเหล่านี้ยังสามารถใช้ใน 'ทางกลับกัน' ได้ด้วย: ตัวอย่างเช่น จากการที่มุมที่รองรับด้วยส่วนของเส้นตรงเดียวกันมีขนาดเท่ากัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดสี่จุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน
รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีจุดยอดทั้งสี่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม เราจะเรียกรูปสี่เหลี่ยมนั้นว่า รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม (และเรียกวงกลมว่า วงกลมล้อมรอบ รูปสี่เหลี่ยม) มุมของรูปสี่เหลี่ยมชนิดนี้เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม ดังนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทเดียวกันได้
- ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมเท่ากับ \(180°\) มุม \(A\) และ \(C\) รองรับด้วยส่วนโค้งสองส่วนที่รวมกันเป็นวงกลมทั้งวง (\(360°\)) ดังนั้น \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\)
- มุมภายนอกของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม เนื่องจากมุมภายนอกรวมกับมุมภายในที่อยู่ติดกันได้ \(180°\) ซึ่งเท่ากับผลบวกของมุมตรงข้ามพอดี
- คุณสมบัติเรื่องผลบวกของมุมนี้ยังเป็น เงื่อนไข ด้วย: ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีผลบวกของมุมตรงข้ามเท่ากับ \(180°\) เราจะสามารถสร้างวงกลมล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมนั้นได้ ด้วยเหตุนี้ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทุกรูปจึงสามารถแนบในวงกลมได้ แต่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ยกเว้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ไม่สามารถทำได้
นอกจากมุมแนบในแล้ว ในโจทย์ต่างๆ เรายังอาจพบ มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัส — คือมุมระหว่างเส้นสัมผัสสองเส้นที่ลากจากจุดเดียวกันภายนอกวงกลม มุมชนิดนี้จะมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของขนาดของส่วนโค้งที่ถูกตัดบนวงกลม
ตัวอย่างการแก้โจทย์เกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งและมุมที่จุดศูนย์กลาง
ตัวอย่างที่ 1: หามุมในส่วนโค้งจากส่วนโค้ง
โจทย์: มุมในส่วนโค้ง \(ABC\) รองรับด้วยส่วนโค้ง \(AC\) ซึ่งมีขนาด \(120°\) จงหาขนาดของ \(\angle ABC\)
ขั้นตอนที่ 1: ทบทวนทฤษฎีบท: มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่รองรับ
ขั้นตอนที่ 2: แทนค่า: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\)
คำตอบ: \(60°\)
ตัวอย่างที่ 2: หามุมที่จุดศูนย์กลางจากมุมในส่วนโค้ง
โจทย์: มุมในส่วนโค้ง \(ABC\) มีขนาด \(40°\) จงหามุมที่จุดศูนย์กลาง \(AOC\) ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง \(AC\) เดียวกัน
ขั้นตอนที่ 1: มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\)
ขั้นตอนที่ 2: คำนวณ: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\) และเรายังทราบด้วยว่าส่วนโค้ง \(AC = 80°\)
คำตอบ: \(80°\)
ตัวอย่างที่ 3: มุมที่รองรับด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง
โจทย์: \(AC\) เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม, จุด \(B\) อยู่บนเส้นรอบวง, \(\angle BAC = 35°\) จงหาขนาดของ \(\angle BCA\)
ขั้นตอนที่ 1: มุม \(ABC\) รองรับด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง \(AC\) ดังนั้น \(\angle ABC = 90°\) — ทำให้สามเหลี่ยม \(ABC\) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ขั้นตอนที่ 2: ผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\)
คำตอบ: \(55°\)
ตัวอย่างที่ 4: รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
โจทย์: รูปสี่เหลี่ยม \(ABCD\) แนบในวงกลม, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\) จงหามุม \(C\) และ \(D\)
ขั้นตอนที่ 1: ผลบวกของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมเท่ากับ \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\)
ขั้นตอนที่ 2: ในทำนองเดียวกัน \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\)
ตรวจสอบ: \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — ผลรวมของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมถูกต้อง
คำตอบ: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์เกี่ยวกับมุมในวงกลม
-
สับสนระหว่างมุมในส่วนโค้งกับมุมที่จุดศูนย์กลาง: เช่น คำนวณมุมที่จุดศูนย์กลางโดยใช้ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง (หรือกลับกัน)
ให้ดูที่จุดยอดของมุมก่อนเสมอ ถ้าจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง \(O\) — นั่นคือมุมที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งมีขนาดเท่ากับส่วนโค้งทั้งหมด ถ้าจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง — นั่นคือมุมในส่วนโค้ง ซึ่งมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง
-
ใช้ส่วนโค้งผิดอัน: สำหรับมุมในส่วนโค้ง กลับไปใช้ส่วนโค้งที่จุดยอดของมุมนั้นตั้งอยู่
มุมในส่วนโค้งจะรองรับด้วยส่วนโค้งที่อยู่ 'ภายใน' มุมนั้น — โดยจุดยอดของมุมจะอยู่บนส่วนโค้งอีกด้านเสมอ ในสัญลักษณ์ \(\angle ABC\) มุมนี้จะรองรับด้วยส่วนโค้ง \(AC\) ที่ไม่มีจุด \(B\) อยู่
-
คูณและหารด้วย 2 'ผิดทิศทาง': เช่น เมื่อเปลี่ยนจากมุมในส่วนโค้งเป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง กลับนำไปหารแทนที่จะคูณ
จำไว้ว่า: มุมในส่วนโค้งคือมุม 'เล็ก' (ครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง), มุมที่จุดศูนย์กลางคือมุม 'ใหญ่' (เต็มส่วนโค้ง) ดังนั้น จากมุมในส่วนโค้งไปเป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง — ต้องคูณ 2, จากมุมที่จุดศูนย์กลางไปเป็นมุมในส่วนโค้ง — ต้องหาร 2
-
คิดว่ามุมใดๆ ที่มีแขนตัดกับวงกลมเป็นมุมในส่วนโค้งทั้งหมด — เช่น มุมที่เกิดจากคอร์ดตัดกันภายในวงกลม
มุมในส่วนโค้งของวงกลมต้องมีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงเท่านั้น มุมที่มีจุดยอดอยู่ภายในวงกลมจะมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของส่วนโค้งที่ถูกตัด ส่วนมุมที่มีจุดยอดอยู่นอกวงกลมจะมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง: ซึ่งเป็นสูตรที่แตกต่างกัน
-
ในรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม นำผลบวกของมุมที่อยู่ติดกันมาเท่ากับ $180°$ แทนที่จะเป็นมุมตรงข้าม
คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับมุมตรงข้ามเท่านั้น: \(\angle A + \angle C = 180°\) และ \(\angle B + \angle D = 180°\) ส่วนมุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมอาจมีขนาดเท่าใดก็ได้
คำถามที่พบบ่อย
มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่าใด?
มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าส่วนโค้งมีขนาด 120° มุมในส่วนโค้งจะมีขนาด 60° นี่คือทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลม ซึ่งเป็นสูตรหลักของหัวข้อนี้
มุมในส่วนโค้งและมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้ง: ∠AOC = 2·∠ABC มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับส่วนโค้งนั้นๆ ส่วนมุมในส่วนโค้งมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง
ทำไมมุมในครึ่งวงกลมจึงเท่ากับ 90°?
เส้นผ่านศูนย์กลางรองรับครึ่งวงกลม ซึ่งเป็นส่วนโค้งขนาด 180° มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง: 180° : 2 = 90° ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านหนึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ จะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ
มุมในส่วนโค้งของวงกลมเป็นมุมป้านได้หรือไม่?
ได้ ถ้าส่วนโค้งที่รองรับมุมมีขนาดใหญ่กว่า 180° มุมนั้นก็จะเป็นมุมป้าน ตัวอย่างเช่น ส่วนโค้งขนาด 210° จะมีมุมในส่วนโค้งขนาด 105° อย่างไรก็ตาม มุมในส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดน้อยกว่า 180° เสมอ
มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสคืออะไร และแตกต่างจากมุมในส่วนโค้งอย่างไร?
มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสคือมุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสสองเส้นที่ลากจากจุดภายนอกจุดเดียวกันมายังวงกลม จุดยอดของมุมนี้จะอยู่นอกวงกลม และมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของส่วนโค้งที่ถูกตัด ส่วนมุมในส่วนโค้งของวงกลมมีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง และมีขนาดเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่รองรับ
ยังมีมุมชนิดอื่นในวงกลมอีกหรือไม่?
นอกจากมุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งแล้ว ยังมีมุมที่เกิดจากคอร์ดตัดกัน (จุดยอดอยู่ภายในวงกลม — เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของส่วนโค้ง), มุมที่เกิดจากเส้นตัดวงกลมจากจุดภายนอก (เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของส่วนโค้ง) และมุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสและคอร์ด (เท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่อยู่ภายใน) ซึ่งทั้งหมดนี้สามารถคำนวณได้จากส่วนโค้งของวงกลม
