ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม: เกณฑ์และความสัมพันธ์ของอัตราส่วน

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

มาสคอตนักเรขาคณิตพร้อมวงเวียน ข้างรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดต่างกัน

รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดต่างกัน: มุมที่สมนัยกันจะเท่ากัน และด้านที่สมนัยกันจะแปรผันตามกัน ตัวเลขที่แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งใหญ่กว่าอีกรูปหนึ่งกี่เท่า เรียกว่า อัตราส่วนความคล้าย $k$ เกณฑ์สามข้อช่วยพิสูจน์ความคล้าย และอัตราส่วนของเส้นรอบรูปกับพื้นที่เป็นไปตามกฎง่ายๆ: เส้นรอบรูปแปรผันตาม $k$ และพื้นที่แปรผันตาม $k^2$ ในหน้านี้ - คำนิยามและการเขียนสัญลักษณ์ความคล้ายพร้อมลำดับจุดยอดที่ถูกต้อง เกณฑ์ทั้งสามข้อ ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และความสูงจากมุมฉาก การวิเคราะห์โจทย์ OGE "หาความยาวด้าน" และแบบฝึกหัดแบบโต้ตอบ

รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันคืออะไร และอัตราส่วนความคล้ายคืออะไร

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะถูกเรียกว่า คล้ายกัน หากเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

มุมที่สมนัยกัน เท่ากัน - มุมแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปแรกมีมุมที่เท่ากันในรูปสามเหลี่ยมรูปที่สอง
ด้านที่สมนัยกัน แปรผันตามกัน - อัตราส่วนทั้งสามคู่ให้ค่าเดียวกัน

ด้านที่สมนัยกัน (ด้านที่สอดคล้องกัน) คือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากัน เป็นด้านที่สร้างคู่เพื่อคำนวณอัตราส่วน

เขียนสัญลักษณ์ความคล้ายด้วยเครื่องหมาย $\sim$:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

อัตราส่วนความคล้าย $k$ คืออัตราส่วนที่เท่ากันของด้านที่สมนัยกัน:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

ถ้า $k > 1$ รูปสามเหลี่ยมรูปที่สองใหญ่กว่ารูปแรก ถ้า $k < 1$ รูปเล็กกว่า ถ้า $k = 1$ รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันพอดี เพราะความเท่ากันเป็นกรณีพิเศษของความคล้าย

ลำดับจุดยอดในการเขียนสัญลักษณ์ - ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย

การเขียน $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ อ่านตามตำแหน่งอย่างเคร่งครัด: $A$ สอดคล้องกับ $A_1$, $B$ สอดคล้องกับ $B_1$, $C$ สอดคล้องกับ $C_1$ จากตรงนี้จะเห็นได้ทันทีว่ามุมใดเท่ากัน ($\angle A = \angle A_1$) และด้านใดสมนัยกัน ($AB$ กับ $A_1B_1$, $BC$ กับ $B_1C_1$, $AC$ กับ $A_1C_1$)

หากสลับตัวอักษรและเขียน $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$ จะได้ ข้อความที่แตกต่างกัน: ตอนนี้ $\angle A = \angle B_1$ และด้านที่สมนัยกับ $AB$ คือ $B_1A_1$ ไม่สามารถสร้างสัดส่วนจากด้านที่ "ดูเหมือนจะอยู่ตำแหน่งเดียวกัน" ได้ - ต้องใช้ตำแหน่งในการเขียนเท่านั้น ดังนั้น สิ่งแรกที่ต้องทำคือเขียนคู่ของมุมที่เท่ากัน แล้วจึงปรับลำดับตัวอักษรให้สอดคล้องกัน

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: จุดยอดที่สมนัยกันถูกทำเครื่องหมายด้วยสีเดียวกัน - A และ A₁, B และ B₁, C และ C₁. อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันทั้งสามคู่ให้ค่าเดียวกัน

เกณฑ์สามข้อของความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม

ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขทั้งหกข้อจากนิยาม: ความคล้ายจะถูกพิสูจน์โดยใช้เกณฑ์ใดเกณฑ์หนึ่งจาก สามเกณฑ์ แต่ละเกณฑ์คือชุดข้อมูลขั้นต่ำที่ทำให้เกิดความเท่ากันของมุมทั้งหมดและความแปรผันของด้านทั้งหมดโดยอัตโนมัติ

วิธีเลือกเกณฑ์ ดูว่าโจทย์กำหนดอะไรมา: ถ้าเกี่ยวกับมุม ให้ใช้เกณฑ์แรก ถ้าเกี่ยวกับสองด้านและมุม ให้ใช้เกณฑ์ที่สอง ถ้าเกี่ยวกับสามด้าน ให้ใช้เกณฑ์ที่สาม

เกณฑ์ที่หนึ่ง (ตามสองมุม) - เป็นเครื่องมือหลักของหลักสูตร: โจทย์ OGE เกือบทั้งหมดแก้ได้ด้วยเกณฑ์นี้ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบมุมที่สาม มุมจะเท่ากันโดยอัตโนมัติ: ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมคือ $180°$ เสมอ มองหาคู่มุมที่เท่ากันที่เตรียมไว้ - มุมร่วมของรูปสามเหลี่ยมสองรูป, มุมตรงข้าม, มุมแย้งและมุมสม ในกรณีที่เส้นขนาน, มุมฉากสองมุม
เกณฑ์ที่สอง (ตามสองด้านและมุมระหว่างด้าน) ต้องการให้มุม อยู่ระหว่าง สองด้านนั้นพอดี หากมุมที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง เกณฑ์นี้จะใช้ไม่ได้และความคล้ายก็ยังไม่ถูกพิสูจน์
เกณฑ์ที่สาม (ตามสามด้าน) - เมื่อไม่มีมุมในโจทย์เลย มีแต่ความยาวเท่านั้น เขียนด้านของรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปจากน้อยไปมาก แล้วหารด้านที่สั้นที่สุดด้วยด้านที่สั้นที่สุด, ด้านกลางด้วยด้านกลาง, ด้านที่ยาวที่สุดด้วยด้านที่ยาวที่สุด: วิธีนี้จะทำให้ไม่สับสนคู่ด้านแน่นอน ความคล้ายจะมีก็ต่อเมื่ออัตราส่วนทั้งสามคู่เท่ากัน

เพื่อไม่ให้สับสนระหว่างเกณฑ์ความคล้ายกับเกณฑ์ความเท่ากัน ให้จำความแตกต่างไว้: ในกรณีความเท่ากัน ด้านต้อง ทับกันสนิท ในกรณีความคล้าย ด้านต้อง แปรผันตามกัน

เกณฑ์ที่ 1 ตามสองมุม ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

เกณฑ์ที่ 2 ตามสองด้านและมุมระหว่างด้าน A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

เกณฑ์ที่ 3 ตามสามด้าน A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

อัตราส่วนเส้นรอบรูปและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน

ความคล้ายมีผลสืบเนื่องสองข้อที่ถูกถามบ่อยที่สุด และข้อหนึ่งเป็นกับดักหลักของหัวข้อนี้

เส้นรอบรูปแปรผันตาม $k$ ด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สองใหญ่กว่าด้านที่สมนัยกันของรูปแรก $k$ เท่า ดังนั้น ผลรวมของด้านจึงเพิ่มขึ้น $k$ เท่าพอดี:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

เช่นเดียวกับ "$k$ เท่า" - สิ่งอื่นๆ ที่เป็นปริมาณเชิงเส้นทั้งหมดก็เป็นไปตามนี้: ความสูง, มัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่งมุม, รัศมีวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอก, เส้นมัธยฐาน

พื้นที่แปรผันตาม $k^2$ พื้นที่ขึ้นอยู่กับสองมิติพร้อมกัน: ทั้งฐานและความสูงเพิ่มขึ้น $k$ เท่า และผลคูณก็เพิ่มขึ้น $k \cdot k$ เท่า:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

สมมติว่า $k = 5$ ดังนั้น เส้นรอบรูปจะใหญ่ขึ้น 5 เท่า (เช่น จาก 14 ซม. เป็น 70 ซม.) แต่พื้นที่จะใหญ่ขึ้นถึง 25 เท่า (จาก 6 ตร.ซม. เป็น 150 ตร.ซม.) ความแตกต่างมีมาก และการแทนที่ $k$ ด้วย $k^2$ ที่นี่เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในการสอบ

การย้อนกลับ หากโจทย์กำหนดอัตราส่วนพื้นที่มา อัตราส่วนความคล้ายจะถูกหาโดยการถอดราก: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$ ตัวอย่างเช่น ถ้าพื้นที่แปรผันกันในอัตราส่วน $16 : 1$ แสดงว่าด้านแปรผันกันในอัตราส่วน $4 : 1$

เส้นมัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 4 รูปที่เท่ากัน ด้านของรูปใหญ่ใหญ่กว่า 2 เท่า และพื้นที่ใหญ่กว่า 4 เท่า: 2² = 4

k	เส้นรอบรูป P₂ : P₁	พื้นที่ S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
ใดๆ	k : 1	k² : 1

ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและความสูงจากมุมฉาก

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เกณฑ์แรกจะง่ายขึ้น: มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันอยู่แล้ว ดังนั้น เพียงแค่มีมุมแหลมหนึ่งมุมเท่ากัน ก็เพียงพอที่จะทำให้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันได้ จากสิ่งนี้จึงเกิดเกณฑ์ตามด้านประกอบมุมฉาก: หากด้านประกอบมุมฉากของรูปหนึ่งแปรผันตามด้านประกอบมุมฉากของอีกรูปหนึ่ง รูปสามเหลี่ยมจะคล้ายกัน (นี่คือเกณฑ์ที่สอง เพราะมุมระหว่างด้านประกอบมุมฉากคือมุมฉาก)

การจัดเรียงที่ใช้ประโยชน์ได้มากที่สุดของหัวข้อทั้งหมดคือ ความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก มันจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูป และรูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปที่เกิดขึ้นจะคล้ายกันทั้งหมด

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น: รูปสามเหลี่ยม $AHC$ มีมุมฉากที่ $H$ และมีมุม $A$ ร่วมกับรูปสามเหลี่ยมใหญ่ ดังนั้น $\triangle AHC \sim \triangle ACB$ รูปสามเหลี่ยม $CHB$ มีมุมฉากที่ $H$ และมีมุม $B$ ร่วม ดังนั้น $\triangle CHB \sim \triangle ACB$ จากตรงนี้ รูปสามเหลี่ยมเล็กทั้งสองรูปก็จะคล้ายกันด้วย

จากความคล้ายเหล่านี้จะได้สูตร ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (เรียกว่าส่วนของเส้นตรงที่แปรผันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก):

$CH^2 = AH \cdot HB$ - ความสูงคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของส่วนของเส้นตรงที่แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นส่วนๆ
$AC^2 = AH \cdot AB$ และ $BC^2 = HB \cdot AB$ - ด้านประกอบมุมฉากคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งหมดและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทอดลงมาตั้งฉาก

สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนว่าส่วนใดเป็น "ของตนเอง": ด้าน $AC$ มีส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $AH$, ด้าน $BC$ มีส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $HB$ ส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากจะอยู่ติดกับปลายด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกันกับด้านประกอบมุมฉากนั้น

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

ตรวจสอบตัวเลขบนแผนภาพ: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25

โจทย์ OGE เกี่ยวกับความคล้าย: วิธีหาความยาวด้าน

โจทย์ส่วนใหญ่เกี่ยวกับความคล้ายจะแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมเดียว:

หามุมที่เท่ากันหนึ่งคู่ - มุมร่วม, มุมตรงข้าม, มุมแย้งเมื่อมีเส้นขนาน หรือมุมฉากสองมุม
เขียนสัญลักษณ์ความคล้ายตามลำดับจุดยอดที่ถูกต้อง - เพื่อให้มุมที่เท่ากันอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน
สร้างสัดส่วน จากด้านที่สมนัยกัน (เลือกด้านที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันในการเขียนสัญลักษณ์)
แก้สมการหาค่าที่ไม่ทราบค่า และคำนวณ ในตอนท้าย ตรวจสอบคำตอบตามความหมาย - ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าต้องสั้นกว่า

การจัดเรียงที่พบบ่อยใน OGE มีไม่มาก และควรจดจำได้ทันที:

เส้นตรงขนานกับด้าน เส้นตรงจะตัดรูปสามเหลี่ยมใหญ่ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมเล็กที่คล้ายกับรูปเดิม ข้อควรระวังหลัก: ในสัดส่วนจะใช้อัตราส่วนของ ความยาวเต็ม จากจุดยอดร่วม ($BM : BA$) ไม่ใช่อัตราส่วนของส่วนของเส้นตรง ($BM : MA$)
"ผีเสื้อ" เส้นสองเส้นตัดกัน และปลายของเส้นเชื่อมต่อกันด้วยเส้นขนาน - จะเกิดรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันสองรูปที่หันหน้าเข้าหากัน
ความสูงจากมุมฉาก - การจัดเรียงจากหัวข้อก่อนหน้า ใน OGE จะใช้หาความสูง ด้านประกอบมุมฉาก หรือส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉาก
เงาและส่วนสูงของวัตถุ รังสีของดวงอาทิตย์ขนานกัน ดังนั้น วัตถุกับเงาของมัน และต้นไม้กับเงาของมัน จะสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน
เส้นมัธยฐาน - เป็นกรณีพิเศษที่มี $k = 2$: มันขนานกับด้านและยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านนั้น

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
มุม B ร่วม, มุมที่ M และ A สมกัน

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
มุมที่ O ตรงข้ามกัน, มุม A และ C เป็นมุมแย้ง

ตัวอย่างการแก้โจทย์เกี่ยวกับความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 1. หาความยาวด้านตามอัตราส่วนความคล้าย

โจทย์ $\triangle MNK \sim \triangle PQR$ ทราบว่า $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ และ $PQ = 21$ จงหา $QR$ และ $PR$

ขั้นตอนที่ 1 วิเคราะห์การเขียนสัญลักษณ์ตามตำแหน่ง: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$ ดังนั้นคู่ด้านที่สมนัยกันคือ: $MN$ และ $PQ$, $NK$ และ $QR$, $MK$ และ $PR$

ขั้นตอนที่ 2 คำนวณอัตราส่วนความคล้ายจากคู่ด้านเดียวที่ทราบทั้งสองค่า:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

ขั้นตอนที่ 3 ด้านอื่นๆ ของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สองใหญ่กว่าด้านที่สมนัยกัน 3 เท่า:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

คำตอบ: $QR = 33$, $PR = 27$ ตรวจสอบ: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ - อัตราส่วนทั้งหมดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2. พิสูจน์ความคล้ายตามเกณฑ์ที่สอง

โจทย์ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ และ $DEF$ ทราบว่า: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$ และมุม $A$ และ $D$ เท่ากัน จงพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบเงื่อนไขหลักของเกณฑ์ที่สอง: มุม $A$ อยู่ระหว่างด้าน $AB$ และ $AC$, มุม $D$ อยู่ระหว่าง $DE$ และ $DF$ มุม ระหว่างด้านที่กำหนด - สามารถใช้เกณฑ์นี้ได้

ขั้นตอนที่ 2 คำนวณอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

ขั้นตอนที่ 3 ด้านสองคู่แปรผันตามกันด้วยอัตราส่วนความคล้ายเดียวกัน $k = 3$ และมุมระหว่างด้านเท่ากัน - ตามเกณฑ์ที่สอง $\triangle ABC \sim \triangle DEF$

คำตอบ: รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน, $k = 3$ สังเกต: หากมุม $B$ และ $D$ เท่ากัน เกณฑ์นี้จะใช้ไม่ได้ - มุม $B$ ไม่อยู่ระหว่าง $AB$ และ $AC$ ให้หาทางอื่น: คู่มุมที่เท่ากัน หรือด้านที่สาม

ตัวอย่างที่ 3. เส้นตรงขนานกับด้าน (โจทย์ OGE)

โจทย์ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $M$ อยู่บนด้าน $AB$, จุด $N$ อยู่บนด้าน $BC$ โดยที่ $MN \parallel AC$ ทราบว่า $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$ จงหา $AC$

ขั้นตอนที่ 1 เนื่องจาก $MN \parallel AC$, มุม $BMN$ และ $BAC$ จะเท่ากันในฐานะมุมสมกัน และมุม $B$ เป็นมุมร่วม ตามเกณฑ์แรก $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (ลำดับจุดยอด: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$)

ขั้นตอนที่ 2 หาความยาวด้านเต็มจากจุดยอดร่วม: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$ นี่คือข้อควรระวังหลัก - ในสัดส่วนจะใช้ $BA$ ไม่ใช่ $MA$

ขั้นตอนที่ 3 สร้างสัดส่วนจากด้านที่สมนัยกัน:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

ขั้นตอนที่ 4 ดังนั้น $AC = 5 \cdot 4 = 20$

คำตอบ: $AC = 20$ อัตราส่วนความคล้ายที่นี่คือ 4: รูปสามเหลี่ยมใหญ่ใหญ่กว่ารูปที่ถูกตัดออก 4 เท่า

ตัวอย่างที่ 4. เส้นรอบรูปและพื้นที่

โจทย์ เส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันเท่ากับ 18 ซม. และ 45 ซม. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าเท่ากับ 16 ตร.ซม. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า

ขั้นตอนที่ 1 เส้นรอบรูปแปรผันตามอัตราส่วนความคล้าย:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

ขั้นตอนที่ 2 พื้นที่แปรผันตามกำลังสองของอัตราส่วนความคล้าย: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$

ขั้นตอนที่ 3 คูณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าด้วย $k^2$:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ ตร.ซม.}\]

คำตอบ: 100 ตร.ซม. หากเราคูณด้วย $k = 2{,}5$ จะได้ 40 ตร.ซม. - เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่ทำให้เสียคะแนนทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 5. ความสูงจากจุดยอดมุมฉาก

โจทย์ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ ที่มีมุมฉากที่จุดยอด $C$ ลากความสูง $CH$ ไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก ทราบว่า $AH = 4$ ซม., $HB = 9$ ซม. จงหาความสูง $CH$ และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ขั้นตอนที่ 1 ความสูงจากมุมฉากคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจาก $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

ขั้นตอนที่ 2 ถอดราก: $CH = 6$ ซม.

ขั้นตอนที่ 3 ด้านตรงข้ามมุมฉาก $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ ซม. คำนวณพื้นที่โดยใช้ด้านตรงข้ามมุมฉากและความสูงที่ลากไปยังด้านนั้น:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ ตร.ซม.}\]

คำตอบ: $CH = 6$ ซม., $S = 39$ ตร.ซม.

ตัวอย่างที่ 6. ความสูงของต้นไม้จากเงา

โจทย์ เสาแนวตั้งสูง 2 เมตร ทอดเงายาว 1.5 เมตร ในขณะเดียวกัน เงาของต้นไม้ยาว 9 เมตร ต้นไม้สูงเท่าใด

ขั้นตอนที่ 1 รังสีของดวงอาทิตย์ขนานกัน ดังนั้น มุมตกกระทบของรังสีสำหรับเสาและต้นไม้จะเท่ากัน เสากับเงา และต้นไม้กับเงา จะสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมเท่ากัน - แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน

ขั้นตอนที่ 2 สร้างสัดส่วน "ความสูงต่อเงาของตนเอง":

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

ขั้นตอนที่ 3 แก้สมการหาความสูงที่ไม่ทราบค่า:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ ม.}\]

คำตอบ: 12 เมตร ตรวจสอบตามความหมาย: เงาของต้นไม้ยาวกว่าเงาของเสา 6 เท่า ดังนั้นต้นไม้ก็สูงกว่า 6 เท่าเช่นกัน: $2 \cdot 6 = 12$ เมตร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์เกี่ยวกับความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม

คำนวณว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันแปรผันตาม $k$: เมื่อ $k = 3$ เพิ่มพื้นที่เป็นสามเท่า

พื้นที่แปรผันตาม กำลังสอง ของอัตราส่วนความคล้าย: เมื่อ $k = 3$ พื้นที่ใหญ่ขึ้น $3^2 = 9$ เท่า สิ่งที่แปรผันตาม $k$ มีเพียงปริมาณเชิงเส้นเท่านั้น - ด้าน, เส้นรอบรูป, ความสูง, มัธยฐาน กฎช่วยจำ: พื้นที่วัดเป็นหน่วยกำลังสอง ดังนั้นอัตราส่วนความคล้ายก็ต้องยกกำลังสองด้วย
ละเลยลำดับจุดยอด: จากการเขียน $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ สร้างสัดส่วน $AB : LM$

การสอดคล้องกันของจุดยอดถูกกำหนดโดยตำแหน่งในการเขียน: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$ ด้านที่สมนัยกับ $AB$ คือ $KL$ และด้านที่สมนัยกับ $BC$ คือ $LM$ ก่อนที่จะเขียนสัดส่วน ให้เขียนคู่จุดยอดเรียงกัน - ใช้เวลาห้าวินาทีและช่วยลดข้อผิดพลาดส่วนใหญ่
พิสูจน์ความคล้ายตามมุมที่เท่ากันเพียงมุมเดียว หรือตามด้านที่แปรผันตามกันสองด้านโดยไม่มีมุม

มุมที่เท่ากันเพียงมุมเดียวไม่เพียงพอ: รูปสามเหลี่ยมสองรูปอาจมีมุมเท่ากัน แต่มีรูปร่างต่างกันโดยสิ้นเชิง ต้องใช้เกณฑ์ที่สมบูรณ์ - สองมุม, หรือสองด้าน และมุมระหว่างด้าน, หรือทั้งสามด้าน
ในเกณฑ์ที่สอง ใช้มุมที่ไม่ใช่ระหว่างด้านที่กำหนด

เกณฑ์ที่สองใช้ได้เฉพาะกับมุมที่ อยู่ระหว่าง สองด้านที่กำหนดเท่านั้น หากทราบ $AB$, $AC$ และมุม $B$ เท่ากัน เกณฑ์นี้จะใช้ไม่ได้ - หาทางอื่น: คู่มุมที่เท่ากัน หรือด้านที่สาม
กลับอัตราส่วนความคล้าย: หา $k$ เป็น "ด้านที่เล็กกว่าต่อด้านที่ใหญ่กว่า" แล้วคูณด้วยค่านี้เพื่อหาด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า

ตกลงกับตัวเองเกี่ยวกับทิศทาง: หาก $k$ คืออัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สองต่อรูปแรก ดังนั้นด้านของรูปแรก ต้องคูณ ด้วย $k$ และด้านของรูปที่สอง ต้องหาร ด้วย $k$ การตรวจสอบขั้นสุดท้ายตามความหมาย: ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าต้องสั้นกว่าเสมอ
ในโจทย์ที่มีเส้นตรงขนานกับด้าน สร้างสัดส่วนจากส่วนของเส้นตรง: $BM : MA = MN : AC$

รูปสามเหลี่ยม $BMN$ และ $BAC$ คล้ายกัน และด้านที่สมนัยกันคือ $BM$ และ $BA$ (ด้านเต็มจากจุดยอดร่วม) ไม่ใช่ส่วนของเส้นตรง $MA$ ก่อนอื่น ให้หา $BA = BM + MA$ แล้วจึงสร้างสัดส่วน
สับสนระหว่างความคล้ายกับความเท่ากัน และตอบว่าด้านเท่ากัน

ความเท่ากันเป็นกรณีพิเศษของความคล้ายเมื่อ $k = 1$ หาก $k \ne 1$ รูปสามเหลี่ยมจะมีมุมเท่ากันเท่านั้น แต่ด้านจะแตกต่างกัน $k$ เท่า เกณฑ์ก็ต่างกัน: สำหรับความเท่ากันคือ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ด.ด.ด. โดยที่ด้าน ทับกันสนิท, สำหรับความคล้ายคือด้าน แปรผันตามกัน

คำถามและคำตอบ

รูปสามเหลี่ยมประเภทใดที่เรียกว่าคล้ายกัน?

รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันคือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมที่สมนัยกันเท่ากัน และด้านที่สมนัยกันแปรผันตามกัน พูดง่ายๆ คือรูปสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่ขนาดต่างกัน เขียนสัญลักษณ์ความคล้ายด้วยเครื่องหมาย ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁

อัตราส่วนความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร?

อัตราส่วนความคล้าย $k$ คือจำนวนที่เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC มันแสดงให้เห็นว่ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งใหญ่กว่าอีกรูปหนึ่งกี่เท่า เมื่อ $k = 1$ รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน

มีเกณฑ์ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมกี่ข้อ และคืออะไรบ้าง?

มีสามเกณฑ์ เกณฑ์แรก - ตามสองมุม: มุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเท่ากับมุมสองมุมของอีกรูปหนึ่ง เกณฑ์ที่สอง - ตามสองด้านและมุมระหว่างด้าน: สองด้านแปรผันตามกันและมุมระหว่างด้านเท่ากัน เกณฑ์ที่สาม - ตามสามด้าน: ด้านที่สมนัยกันทั้งสามคู่แปรผันตามกัน

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันแปรผันตามกำลังสองของอัตราส่วนความคล้าย: S₂ : S₁ = k² ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k = 4$ พื้นที่ใหญ่ขึ้น 16 เท่า ในทางกลับกัน: หากพื้นที่แปรผันกันในอัตราส่วน 25 : 1 แสดงว่าด้านแปรผันกันในอัตราส่วน 5 : 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?

เส้นรอบรูปแปรผันตามอัตราส่วนความคล้าย: P₂ : P₁ = k เช่นเดียวกับองค์ประกอบเชิงเส้นทั้งหมด - ด้าน, เส้นรอบรูป, ความสูง, มัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่งมุม, เส้นมัธยฐาน, รัศมีวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอก

ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมแตกต่างจากความเท่ากันอย่างไร?

รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันจะมีมุมและด้านที่ทับกันสนิท ดังนั้นรูปทรงสามารถวางทับกันได้ รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันจะมีเพียงมุมที่เท่ากันเท่านั้น ส่วนด้านจะแปรผันตามกันด้วยอัตราส่วน $k$ ความเท่ากันเป็นกรณีพิเศษของความคล้ายเมื่อ $k = 1$

จะพิสูจน์ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร?

เพียงแค่มีมุมแหลมหนึ่งมุมเท่ากันก็เพียงพอแล้ว: มุมฉากของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันอยู่แล้ว ดังนั้นเกณฑ์แรกจึงใช้ได้ วิธีที่สองคือการแปรผันของด้านประกอบมุมฉาก: มุมระหว่างด้านประกอบมุมฉากเป็นมุมฉาก ดังนั้นเกณฑ์ที่สองของความคล้ายจึงใช้ได้

ทำไมความสูงจากมุมฉากจึงทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันสามรูป?

ความสูง $CH$ จากจุดยอดมุมฉาก $C$ แบ่งรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ออกเป็นรูปสามเหลี่ยม $AHC$ และ $CHB$ รูป $AHC$ มีมุมฉากที่ $H$ และมีมุม $A$ ร่วมกับ $ABC$, รูป $CHB$ มีมุมฉากที่ $H$ และมีมุม $B$ ร่วม ดังนั้นทั้งสองรูปจึงคล้ายกับรูปเดิม และดังนั้นจึงคล้ายกันเอง จากตรงนี้จะได้สูตร $CH^2 = AH \cdot HB$, $AC^2 = AH \cdot AB$ และ $BC^2 = HB \cdot AB$

เรียนเรื่องความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมในชั้นใด?

ในชั้น ม.2 ในวิชาเรขาคณิต - ทันทีหลังจากหัวข้อเกี่ยวกับส่วนของเส้นตรงที่แปรผัน ในชั้นนี้จะเรียนรู้เกณฑ์ความคล้ายสามข้อ อัตราส่วนพื้นที่ และการประยุกต์ใช้ความคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หัวข้อนี้จะถูกนำไปใช้ต่อในชั้น ม.3 และในโจทย์ OGE

ยังมีคำถามหรือไม่? ถามต่อในแชท

แก้โจทย์ของฉัน ตรวจสอบคำตอบของฉัน พิสูจน์ความคล้าย หาอัตราส่วนความคล้าย พื้นที่หรือเส้นรอบรูป? ให้โจทย์ฝึกหัด

ผู้ใช้ #4365351

ฉันชอบโปรแกรมแก้ไขข้อความบนรูปภาพมาก ผลลัพธ์ออกมาเป็นผลงานชิ้นเอกเลย

Web · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4383661

ขอบคุณนะ ผลงานของ AI ทำให้ฉันประทับใจมาก สมบูรณ์แบบ!

ผู้ใช้ #4279467

ฉันชอบมากเลย ถ้ามีสิทธิ์ใช้งานฟรีเพิ่มอีกสักหน่อยจะดีมาก

Google Play · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4160129

เป็นแอปที่ยอดเยี่ยมและราคาจับต้องได้