ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คือสูตรหลักของวิชาเรขาคณิต ม. 3: ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือก็คือ \(a^2 + b^2 = c^2\). จากสูตรนี้สามารถหาสูตรสำหรับหาด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉาก, เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมผืนผ้า และระยะห่างระหว่างจุดได้. หน้าเว็บนี้ประกอบด้วย นิยามและสูตร, การพิสูจน์ที่เห็นภาพชัดเจนผ่านพื้นที่, ทฤษฎีบทกลับ, สามเหลี่ยมอียิปต์ 3-4-5, การอธิบายโจทย์ทีละขั้นตอน และแบบฝึกหัดแบบโต้ตอบเพื่อทดสอบความเข้าใจของคุณ.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคืออะไร และสูตรว่าอย่างไร
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้ เฉพาะในสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น ซึ่งคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ \(90°\). ด้านของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีชื่อเรียกต่างกันไป:
- ด้านประกอบมุมฉาก (cathetus) - สองด้านที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก;
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) - ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม.
ข้อความของทฤษฎีบท: ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก.
โดยที่ \(a\) และ \(b\) คือด้านประกอบมุมฉาก, \(c\) คือด้านตรงข้ามมุมฉาก. บางครั้งทฤษฎีบทนี้ถูกกล่าวในเชิง 'เรขาคณิต': พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านประกอบมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทเดียวกัน เพียงแต่กล่าวถึงพื้นที่แทนตัวเลข.
การจำลำดับตัวอักษรช่วยได้ด้วยกฎง่ายๆ: ภายใต้ตัวอักษรใหญ่ \(c\) มักจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด. หากในโจทย์สับสนระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประกอบมุมฉาก คำตอบจะผิด.
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากกว่าร้อยวิธี. ในโรงเรียน เราจะศึกษาการพิสูจน์ที่เห็นภาพชัดเจนที่สุด — การพิสูจน์ผ่านพื้นที่. เราจะนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่ากันสองรูปที่มีด้านยาว \(a + b\) มาวาง และจัดวางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสี่รูปที่มีด้านประกอบมุมฉาก \(a\) และ \(b\) ลงไปในแต่ละรูป — แต่จัดวางต่างกัน.
- ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปแรก เราเลื่อนสามเหลี่ยมไปที่มุมต่างๆ เพื่อให้เหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่ไม่มีอะไรทับ: สี่เหลี่ยมที่มีด้าน \(a\) และสี่เหลี่ยมที่มีด้าน \(b\). พื้นที่ของมันคือ \(a^2\) และ \(b^2\).
- ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง เราจัดวางสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปเดิมแบบ 'กังหัน'. จะเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เอียงอยู่หนึ่งรูปที่มีด้าน \(c\), พื้นที่ของมันคือ \(c^2\).
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่เท่ากัน: แต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับ \((a+b)^2\). ผลรวมของพื้นที่สามเหลี่ยมก็เท่ากัน: แต่ละรูปมีพื้นที่ \(\frac{ab}{2}\), รวมสี่รูปคือ \(2ab\).
เมื่อทั้งส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนที่ถูกลบออกเท่ากัน ส่วนที่เหลือก็ย่อมเท่ากันด้วย: \(a^2 + b^2 = c^2\). ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว — สมดุลของพื้นที่สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองรูปแสดงไว้ใต้ภาพ.
วิธีหาด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จากสูตรเดียว \(a^2 + b^2 = c^2\) เราสามารถหาสูตรที่ใช้ได้ทั้งหมดในหัวข้อนี้: เราจัดรูปสมการเพื่อหาด้านที่ไม่ทราบค่า และถอดรากที่สอง. ความแตกต่างระหว่างสองกรณีมีเพียงอย่างเดียว — และนี่คือจุดที่ผิดพลาดบ่อยที่สุด:
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก หาได้จาก ผลรวม ของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก — ด้านนี้ต้องยาวกว่าด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้าน;
- ด้านประกอบมุมฉาก หาได้จาก ผลต่าง: นำกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากลบด้วยกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากที่ทราบค่า แล้วผลลัพธ์ต้องน้อยกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก.
หากได้ค่าติดลบภายใต้เครื่องหมายราก แสดงว่าสับสนระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประกอบมุมฉาก — กลับไปที่รูปวาดและหามุมฉาก. และอีกจุดหนึ่ง: อย่าลืมถอดรากที่สองในขั้นตอนสุดท้าย จุดนี้เป็นจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด.
ตารางสรุปสูตรทั้งหมดพร้อมใช้ — อยู่ด้านล่าง.
| สิ่งที่ต้องการหา | สูตรและการอธิบาย |
|---|---|
| ด้านตรงข้ามมุมฉาก | c = √a2 + b2รากที่สองของผลรวมกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก |
| ด้านประกอบมุมฉาก a | a = √c2 − b2รากที่สองของผลต่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน |
| ด้านประกอบมุมฉาก b | b = √c2 − a2สมมาตร: ลบกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน |
| การตรวจสอบ | a2 + b2 = c2 ?สมการเป็นจริง → สามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก (ทฤษฎีบทกลับ) |
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลับ และสามเหลี่ยมอียิปต์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลับ: หากกำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และมุมฉากจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุด.
นี่คือเครื่องมือที่ใช้ได้จริง: จากตัวเลขสามตัว เราสามารถบอกประเภทของสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องวัดมุมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์. ขั้นตอนมีดังนี้:
- หาด้านที่ยาวที่สุด — ด้านนี้คือผู้ท้าชิงที่จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก;
- ยกกำลังสองของอีกสองด้านแล้วนำมาบวกกัน;
- เปรียบเทียบกับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด.
หากได้สมการ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก. ตัวอย่างเช่น ด้าน 6, 8 และ 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก.
ชุดของจำนวนเต็มที่ทำให้สมการเป็นจริงเรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส. ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ 3, 4, 5: สามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า สามเหลี่ยมอียิปต์ เพราะช่างก่อสร้างในอียิปต์โบราณวัดเชือกออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน แล้วผูกเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 เพื่อให้ได้มุมฉากที่แม่นยำในการก่อสร้าง. วิธีนี้ยังคงใช้กันอยู่จนถึงปัจจุบัน.
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: โจทย์จากชีวิตจริงและเรขาคณิต
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจำเป็นต้องใช้ทุกครั้งที่สามารถมองเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปทรงนั้นๆ:
- เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมผืนผ้า. เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). นี่คือวิธีคำนวณเส้นทแยงมุมของหน้าจอทีวีหรือขนาดห้อง.
- ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว. ความสูงที่ลากมาตั้งฉากกับฐานจะแบ่งฐานครึ่งหนึ่งและสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก — จากนั้นใช้สูตรเดียวกัน.
- เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัส. หากด้านยาว \(a\), ดังนั้น \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- ระยะห่างระหว่างจุดบนระนาบพิกัด. สูตร \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นจากผลต่างของพิกัด.
- โจทย์ประยุกต์. บันไดที่พิงกำแพง; ความสูงของต้นไม้จากเงา; ความยาวของสายเคเบิล, ลวดสลิง, สายไฟ — ในโจทย์เหล่านี้ทั้งหมด เราจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมาและใช้สูตร.
สิ่งสำคัญที่ต้องจำข้อจำกัดหลัก: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกต้อง เฉพาะสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่านั้น. หากไม่มีมุมฉาก จะใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ ซึ่งศึกษาใน ม. 4.
ตัวอย่างการแก้โจทย์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตัวอย่างที่ 1. หาด้านตรงข้ามมุมฉาก
โจทย์. ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากยาว \(9\) ซม. และ \(12\) ซม. จงหาด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ขั้นตอนที่ 1. เขียนทฤษฎีบทสำหรับสามเหลี่ยมของเรา: \(c^2 = a^2 + b^2\).
ขั้นตอนที่ 2. ยกกำลังสองด้านประกอบมุมฉากแล้วนำมาบวกกัน:
ขั้นตอนที่ 3. ถอดรากที่สอง: \(c = \sqrt{225} = 15\) ซม.
คำตอบ: \(15\) ซม. ตรวจสอบตามความหมาย: ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้าน — เป็นเช่นนี้ถูกต้องแล้ว.
ตัวอย่างที่ 2. หาด้านประกอบมุมฉาก
โจทย์. ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากยาว \(25\) ซม., ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว \(7\) ซม. จงหาด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน.
ขั้นตอนที่ 1. จัดรูปสมการ \(a^2 + b^2 = c^2\) เพื่อหาด้านประกอบมุมฉากที่ไม่ทราบค่า: \(b^2 = c^2 - a^2\). ที่นี่คือ ผลต่าง, ไม่ใช่ผลรวม — เรากำลังหาด้านประกอบมุมฉาก, ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ขั้นตอนที่ 2. แทนค่าตัวเลข:
ขั้นตอนที่ 3. ถอดรากที่สอง: \(b = \sqrt{576} = 24\) ซม.
คำตอบ: \(24\) ซม. นอกจากนี้ เรายังได้ทราบสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส \(7 - 24 - 25\) ด้วย.
ตัวอย่างที่ 3. โจทย์เกี่ยวกับบันได
โจทย์. บันไดยาว \(5\) ม. พิงกำแพง. ปลายด้านล่างของบันไดห่างจากกำแพง \(3\) ม. บันไดแตะกำแพงที่ความสูงเท่าใด?
ขั้นตอนที่ 1. วาดรูป: กำแพงและพื้นดินทำมุมฉาก, บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก. ดังนั้น \(c = 5\) ม., ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่ง \(a = 3\) ม., ความสูง \(h\) คือด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน.
ขั้นตอนที่ 2. หาด้านประกอบมุมฉากโดยใช้ผลต่าง:
ขั้นตอนที่ 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) ม.
คำตอบ: \(4\) ม. นี่คือสามเหลี่ยมอียิปต์ \(3 - 4 - 5\) ที่เรารู้จัก.
ตัวอย่างที่ 4. ตรวจสอบสามเหลี่ยมตามทฤษฎีบทกลับ
โจทย์. ด้านของสามเหลี่ยมยาว \(10\), \(24\) และ \(26\). เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่?
ขั้นตอนที่ 1. หาด้านที่ยาวที่สุด — คือ \(26\). หากสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก, ด้านนี้จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ขั้นตอนที่ 2. คำนวณผลรวมของกำลังสองของสองด้านที่สั้นกว่า: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
ขั้นตอนที่ 3. เปรียบเทียบกับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด: \(26^2 = 676\). ตัวเลขตรงกัน.
คำตอบ: ใช่, สามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก, มุมฉากอยู่ตรงข้ามกับด้าน \(26\). นี่คือสามสิ่งอันดับ \(5 - 12 - 13\) คูณด้วย \(2\).
ตัวอย่างที่ 5. เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมผืนผ้า
โจทย์. ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว \(8\) ซม. และ \(15\) ซม. จงหาเส้นทแยงมุม.
ขั้นตอนที่ 1. เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูป: ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลายเป็นด้านประกอบมุมฉาก, เส้นทแยงมุมคือด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ขั้นตอนที่ 2. ใช้สูตร: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
ขั้นตอนที่ 3. \(d = 17\) ซม.
คำตอบ: \(17\) ซม. ที่นี่ใช้สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส \(8 - 15 - 17\).
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
-
สับสนระหว่างด้านประกอบมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก: แทนค่าด้านที่ยาวที่สุดเป็นด้านประกอบมุมฉาก แล้วได้ค่าติดลบภายใต้เครื่องหมายราก.
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเสมอ และเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ. เริ่มต้นการแก้ปัญหาด้วยการวาดรูป: ทำเครื่องหมายมุมฉาก แล้วจะเห็นว่าด้านใดอยู่ตรงข้าม.
-
นำด้านมาบวกกันเอง แทนที่จะนำกำลังสองมาบวกกัน: เขียน $a + b = c$ และสำหรับด้านประกอบมุมฉาก 6 และ 8 ได้ผลลัพธ์ 14.
ทฤษฎีบทเกี่ยวข้องกับกำลังสองของตัวเลขเท่านั้น: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), ดังนั้น \(c = 10\). ผลรวมของด้านประกอบมุมฉากเองจะยาวกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ — นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นสัญญาณของข้อผิดพลาด.
-
ลืมถอดรากที่สองและเขียน $c^2$ แทน $c$ ในคำตอบ: "ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 225".
หลังจากการคำนวณ จะเหลือค่ากำลังสองของด้านเสมอ. ขั้นตอนสุดท้ายคือการถอดรากที่สอง: \(c = \sqrt{225} = 15\). ตั้งกฎให้ตัวเองว่าต้องอ่านคำถามโจทย์อีกครั้งก่อนเขียนคำตอบ.
-
หาด้านประกอบมุมฉากโดยใช้ผลรวม: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
เราหาด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้ผลรวมเท่านั้น. ด้านประกอบมุมฉากหาได้โดยใช้ ผลต่าง: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). การตรวจสอบง่ายๆ: ด้านประกอบมุมฉากต้องสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก.
-
ใช้ทฤษฎีบทกับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก — เช่น สามเหลี่ยมหน้าจั่ว หรือสามเหลี่ยมทั่วไปที่มีด้าน 5, 6, 7.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้เฉพาะในสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น. หากไม่มีมุมฉาก, ต้องสร้างมุมฉากขึ้นมาก่อน — โดยการลากเส้นความสูง — หรือใช้ทฤษฎีบทโคไซน์จากหลักสูตร ม. 4.
-
ในทฤษฎีบทกลับ เปรียบเทียบกับด้านผิดด้าน: ยกกำลังสองของสองด้านใดๆ แล้วนำมาบวกกัน.
กำลังสองของ ด้านที่ยาวที่สุด ต้องเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน. สำหรับด้าน 6, 8, 11 เราเปรียบเทียบ \(6^2 + 8^2 = 100\) และ \(11^2 = 121\): ไม่มีสมการ, สามเหลี่ยมไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก.
คำถามและคำตอบ
สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่าอย่างไร?
a² + b² = c², โดยที่ a และ b คือด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก, และ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก. กล่าวคือ: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก.
จะหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้อย่างไร หากทราบด้านประกอบมุมฉาก?
ยกกำลังสองด้านประกอบมุมฉาก, บวกกัน แล้วถอดรากที่สอง: c = √(a² + b²). ตัวอย่างเช่น ด้วยด้านประกอบมุมฉาก 6 และ 8 เราได้ c = √(36 + 64) = √100 = 10.
จะหาด้านประกอบมุมฉากได้อย่างไร หากทราบด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากอีกด้าน?
โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง: a = √(c² − b²). ตัวอย่างเช่น ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก 13 และด้านประกอบมุมฉาก 5 ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านจะยาว √(169 − 25) = √144 = 12.
เรียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชั้นใด?
เรียนในชั้น ม. 3 ในวิชาเรขาคณิต, ในหัวข้อ "สามเหลี่ยมมุมฉาก". ที่นั่นยังได้เรียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลับ และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส, และต่อไปทฤษฎีบทนี้จะถูกนำไปใช้ใน ม. 4 และในโจทย์ OGE และ ЕГЭ.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลับคืออะไร?
เป็นการกล่าวในทางกลับกัน: หากกำลังสองของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก. ช่วยให้สามารถระบุประเภทของสามเหลี่ยมได้จากตัวเลขสามตัว โดยไม่ต้องวัดมุม.
สามเหลี่ยมแบบใดเรียกว่าสามเหลี่ยมอียิปต์?
สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². ในอียิปต์โบราณ พวกเขาใช้เชือกที่แบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน เพื่อสร้างมุมฉากที่แม่นยำในการก่อสร้าง.
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่?
ไม่. สมการ a² + b² = c² จะเป็นจริงเฉพาะเมื่อมีมุมฉากเท่านั้น. สำหรับสามเหลี่ยมทั่วไป จะใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ c² = a² + b² − 2ab·cos C, ซึ่งเมื่อมุมเป็น 90° จะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสพอดี.
จะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วยวิธีง่ายๆ ได้อย่างไร?
การพิสูจน์ที่เห็นภาพชัดเจนที่สุดในโรงเรียนคือการพิสูจน์ผ่านพื้นที่. นำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่ากันสองรูปที่มีด้านยาว a + b มา และในแต่ละรูปวางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสี่รูปที่มีด้านประกอบมุมฉาก a และ b. ในรูปแรกจะเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัส a² และ b², ในรูปที่สองจะเหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัส c². เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่และสามเหลี่ยมเท่ากัน ดังนั้น a² + b² = c².
