กฎของโคไซน์: สูตร, การพิสูจน์ และโจทย์

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

มาสคอตนักเรขาคณิตยืนอยู่ข้างสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ โดยมีมุมหนึ่งมุมถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้ง

กฎของโคไซน์เชื่อมโยงสามด้านของสามเหลี่ยมและมุมหนึ่งมุม: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. กฎนี้ใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกชนิด ดังนั้นในชั้น ม.3 กฎนี้จึงใช้แทนทฤษฎีบทพีทาโกรัสในกรณีที่ไม่มีมุมฉาก. เราสามารถใช้กฎนี้เพื่อหาสามด้านที่สามเมื่อทราบสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น และจากข้อสรุป $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ — เราสามารถหามุมใดๆ จากสามด้านและจำแนกประเภทของสามเหลี่ยมได้. หน้าเว็บนี้มี: การระบุสูตรและการเขียนสูตรทั้งสามแบบ, การพิสูจน์, ตารางค่าโคไซน์, คู่มือ «ไซน์หรือโคไซน์», การวิเคราะห์โจทย์ OGE และแบบฝึกหัดเพื่อการตรวจสอบตนเอง.

กฎของโคไซน์: การระบุและการใช้สูตร

กฎของโคไซน์ใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกชนิด — ไม่จำเป็นต้องมีมุมฉาก. กฎนี้เชื่อมโยงสามด้านและมุมหนึ่งมุม ดังนั้นเราจึงสามารถใช้กฎนี้เพื่อหาสามด้านเมื่อทราบสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น.

การระบุ. กำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของสองด้านนั้นกับโคไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสอง.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

ในที่นี้ $a$, $b$, $c$ คือด้านของสามเหลี่ยม และ $C$ คือมุมระหว่างด้าน $a$ และ $b$; ด้าน $c$ อยู่ตรงข้ามมุมนี้. เราสามารถใช้ตัวอักษรใดก็ได้ — สูตรมีความสมมาตร ดังนั้นจึงมีการเขียนสามแบบที่เท่าเทียมกัน:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

กฎหลักในการแทนค่า: ให้ใช้มุมที่อยู่ระหว่างด้านสองด้านที่นำมาคูณกัน และหาสามด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมนั้น. หากใช้มุมที่อยู่ติดกัน ตัวเลขทั้งหมดจะเป็นข้อมูลจากโจทย์ และคำตอบจะผิด.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

มุมที่ใช้คือมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่นำมาคูณกัน และด้านที่หานั้นอยู่ตรงข้ามมุม: มุม C อยู่ระหว่าง a และ b, ด้าน c อยู่ตรงข้าม.

ทำไมทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นกรณีพิเศษของกฎของโคไซน์

เมื่อแทนมุมฉาก $C = 90°$ ลงในสูตร โคไซน์ของมุมฉากเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ที่สามจึงเป็นศูนย์ทั้งหมด:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

เราได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่คุ้นเคยจากชั้น ม.2 ดังนั้นกฎของโคไซน์จึงถูกเรียกว่าการขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พีทาโกรัสเป็น «กรณีพิเศษเมื่อมุมเป็น 90°» ส่วนกฎของโคไซน์ใช้ได้กับทุกมุมพร้อมกัน.

พจน์ $-2ab\cos C$ สามารถเข้าใจได้ว่าเป็น การปรับแก้สำหรับมุมที่ไม่ใช่ฉาก:

มุมแหลม, $\cos C > 0$ — ค่าที่ปรับแก้จะถูกลบออก, ด้าน $c$ จะ สั้นกว่าที่ได้จากพีทาโกรัส;
มุมฉาก, $\cos C = 0$ — ไม่มีค่าปรับแก้, เหลือ $c^2 = a^2 + b^2$;
มุมป้าน, $\cos C < 0$ — ค่าปรับแก้จะถูกบวกเข้า, ด้าน $c$ จะ ยาวกว่า.

ใช้กฎของโคไซน์c² = a² + b² − 2ab · cos C

ทำให้มุมเป็นมุมฉากC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

เหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัสc² = a² + b²

การพิสูจน์กฎของโคไซน์

วิธีพิสูจน์ที่สั้นที่สุดในระดับโรงเรียนคือวิธีใช้พิกัด โดยวางจุดยอด C ไว้ที่จุดกำเนิด และวางด้าน b = CA ไว้ตามแกน x ดังนั้นพิกัดของจุดยอดจะเป็นดังนี้:

C(0; 0) — จุดกำเนิด;
A(b; 0) — จุดบนแกน x ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ b;
B(a cos C; a sin C) — จุดยอดที่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ a ทำมุม C กับแกน x.

ด้าน c คือความยาวของส่วนของเส้นตรง AB. คำนวณโดยใช้สูตรระยะห่างระหว่างสองจุด:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

กระจายวงเล็บ:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

จัดกลุ่มพจน์ที่มี $a^2$ และใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องการพิสูจน์. โปรดสังเกต: ไม่มีการกำหนดว่ามุม C ต้องเป็นมุมแหลม. หากเป็นมุมป้าน โคไซน์จะเป็นลบ พิกัด $a\cos C$ จะอยู่ทางซ้ายของแกน y แต่การคำนวณทั้งหมดจะเหมือนเดิม — ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมทุกชนิด.

จุดยอด C อยู่ที่จุดกำเนิด ด้าน b อยู่บนแกน x. ดังนั้น พิกัดของจุดยอด B สามารถแสดงได้ด้วยด้าน a และมุม C.

ข้อสรุป: วิธีหามุมจากสามด้าน

จากกฎของโคไซน์ เราสามารถจัดรูปเพื่อหาสามโคไซน์ได้ — นี่คือข้อสรุปหลักของกฎนี้. เราสามารถใช้เพื่อหามุมเมื่อทราบทั้งสามด้าน:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

ตัวเศษคือผลรวมของกำลังสองของสองด้านที่ประชิดมุม ลบด้วยกำลังสองของด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม. ตัวส่วนคือสองเท่าของผลคูณของด้านที่ประชิด. สำหรับมุมอื่น ๆ สูตรจะเหมือนกัน:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

ขั้นตอนการแก้ปัญหา:

เลือกมุมที่ต้องการหา และระบุว่าด้านใดอยู่ตรงข้ามมุมนั้น — กำลังสองของด้านนั้นจะอยู่ในตัวเศษโดยมีเครื่องหมายลบ;
คำนวณค่าของเศษส่วน (ตัวส่วนจะเป็นบวกเสมอ เครื่องหมายจะขึ้นอยู่กับตัวเศษเท่านั้น);
หาค่ามุมโดยใช้ตารางค่าหรือฟังก์ชันอาร์กโคไซน์.

เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์: เริ่มต้นด้วยด้านที่ยาวที่สุด. มุมที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่ตรงข้ามด้านนั้น และมุมนั้นเท่านั้นที่อาจเป็นมุมฉากหรือมุมป้าน — มุมอีกสองมุมในสามเหลี่ยมจะเป็นมุมแหลมเสมอ.

โคไซน์ของมุมป้าน: ตารางค่า

ในโจทย์ระดับโรงเรียน มุมส่วนใหญ่มักจะเป็นมุม «ในตาราง»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. สำหรับมุมแหลม โคไซน์จะเป็นบวก สำหรับมุมฉากเท่ากับศูนย์ และสำหรับมุมป้าน — เป็นลบ. ค่าสำหรับมุมป้านได้มาจากการใช้ค่าสำหรับมุมแหลมตามกฎการแปลง $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: ตัวอย่างเช่น $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

ในทางปฏิบัติ หมายความว่า สำหรับมุมป้าน พจน์ $-2ab\cos C$ จะกลายเป็นบวก — ลบ คูณ ลบ. สำหรับมุม $120°$ สูตรจะเป็นดังนี้:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

นี่คือจุดที่มักจะเสียคะแนนมากที่สุด: แทนค่า $0{,}5$ แทนที่จะเป็น $-0{,}5$ และได้ด้านที่สั้นกว่าทั้งสองด้านที่กำหนด. ซึ่งเป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอน — ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมป้านคือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม.

มุม	โคไซน์
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

กฎการแปลง: cos(180° − α) = −cos α. ค่าสีเขียวแสดงถึงมุมแหลม ค่าสีชมพูแสดงถึงมุมป้าน.

วิธีจำแนกประเภทสามเหลี่ยมจากสามด้าน

กฎของโคไซน์ช่วยให้เราทราบประเภทของสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์. เครื่องหมายของเศษส่วน $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ ขึ้นอยู่กับตัวเศษเท่านั้น: ตัวส่วน $2ab$ เป็นบวกเสมอ. ดังนั้น เพียงแค่เปรียบเทียบกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุดกับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน.

ให้ $c$ เป็นด้านที่ยาวที่สุด ดังนั้นมุม $C$ ที่อยู่ตรงข้ามจะเป็นมุมที่ใหญ่ที่สุด:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → มุม $C$ เป็นมุมแหลม. มุมอื่น ๆ จะเล็กกว่ามุม $C$ ดังนั้นทั้งสามมุมจะเป็นมุมแหลม — สามเหลี่ยมมุมแหลม;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — สามเหลี่ยมมุมฉาก (นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสแบบผกผัน);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → มุม $C$ เป็นมุมป้าน — สามเหลี่ยมมุมป้าน.

ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบมุมอื่น ๆ: สามเหลี่ยมจะมีมุมฉากหรือมุมป้านได้เพียงมุมเดียว. และอย่าลืมอสมการสามเหลี่ยม — หากด้านที่ยาวที่สุดไม่น้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้าน แสดงว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่มีด้านดังกล่าวอยู่จริง.

a² + b² > c²cos C > 0, มุม C เป็นมุมแหลมมุมแหลมตัวอย่าง: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, มุม C เป็นมุมฉากมุมฉากตัวอย่าง: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, มุม C เป็นมุมป้านมุมป้านตัวอย่าง: 4, 7, 9

ในทั้งสามบรรทัด c คือด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม: มุมฉากหรือมุมป้านสามารถอยู่ตรงข้ามด้านนี้เท่านั้น.

กฎของไซน์หรือโคไซน์: จะเลือกใช้อะไร

ทั้งสองทฤษฎีบทแก้ปัญหาเดียวกัน คือ การหาสามด้านและมุมที่ไม่ทราบค่าของสามเหลี่ยม แต่จะใช้จากชุดข้อมูลที่แตกต่างกัน. กฎของไซน์เชื่อมโยงด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านนั้น:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

ดังนั้นกฎการเลือกคือ: หากโจทย์มีคู่ «ด้านและมุมที่อยู่ตรงข้าม» อยู่แล้ว — ให้ใช้กฎของไซน์; หากไม่มีคู่ดังกล่าว — ให้เริ่มต้นด้วยกฎของโคไซน์. ตารางสรุปสำหรับชุดข้อมูลสี่แบบในโรงเรียน — อยู่ในตาราง.

บ่อยครั้งที่โจทย์จะแก้ได้ในสองขั้นตอน: ขั้นแรก กฎของโคไซน์จะให้ด้านที่สาม จากนั้นกฎของไซน์จะช่วยหามุมที่เหลือได้อย่างรวดเร็ว.

สิ่งที่ทราบ	สิ่งที่ใช้
ด.ม.ดสองด้านและมุมระหว่างด้าน	กฎของโคไซน์หาสามด้าน
ด.ด.ดทั้งสามด้าน	กฎของโคไซน์หามุมใดๆ และประเภทสามเหลี่ยม
ม.ด.มด้านหนึ่งและสองมุม	กฎของไซน์หาสองด้านที่เหลือ
ด.ด.มสองด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง	กฎของไซน์หามุมที่อยู่ตรงข้าม

ในกรณี ด.ด.ม. อาจมีสองคำตอบ: ฟังก์ชันไซน์ไม่สามารถแยกแยะระหว่างมุมแหลมและมุมป้านได้ ดังนั้นจึงต้องตรวจสอบทั้งสองกรณีตามเงื่อนไขของโจทย์.

กฎของโคไซน์ในโจทย์ OGE

ในข้อสอบ OGE วิชาคณิตศาสตร์ กฎของโคไซน์จะปรากฏในโจทย์เกี่ยวกับระนาบ — ทั้งในส่วนแรกและในโจทย์ที่ต้องตอบแบบละเอียด. รูปแบบโจทย์ทั่วไปมีดังนี้:

หาสามด้านจากสองด้านและมุมระหว่างด้าน — การใช้สูตรโดยตรง ส่วนใหญ่มักใช้กับมุม 60° หรือ 120°.
หามุมหรือโคไซน์ของมุมจากสามด้าน — ข้อสรุป $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. หากโจทย์เขียนว่า «จงหา $\cos\angle A$» ไม่จำเป็นต้องหาค่าอาร์กโคไซน์: คำตอบคือเศษส่วนนั้นเอง.
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน. เส้นทแยงมุมจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีสองด้านและมุมระหว่างด้านนั้น. มุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมกันได้ 180° ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงตรงข้ามกัน: เส้นทแยงมุมที่สั้นกว่าจะอยู่ตรงข้ามมุมแหลม เส้นทแยงมุมที่ยาวกว่าจะอยู่ตรงข้ามมุมป้าน.
ประเภทของสามเหลี่ยมจากสามตัวเลข — เปรียบเทียบ $a^2 + b^2$ กับ $c^2$.
มัธยฐานของสามเหลี่ยม. สูตร $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ ได้มาจากการใช้กฎของโคไซน์สองครั้งกับมุมที่อยู่ติดกันบนฐาน.

คำแนะนำสำหรับข้อสอบ: ก่อนคำนวณ ให้ทำเครื่องหมายมุมบนรูปภาพที่ «ถูกบีบ» ระหว่างด้านที่ทราบ. หากไม่มีมุมดังกล่าว — กฎของโคไซน์ยังไม่สามารถนำมาใช้ได้ ต้องหาวิธีอื่น.

ตัวอย่างการแก้โจทย์กฎของโคไซน์

ตัวอย่างที่ 1. หาสามด้านจากสองด้านและมุม 60°

โจทย์. ในสามเหลี่ยม $ABC$ ด้าน $a = 7$ และ $b = 15$, มุมระหว่างด้านคือ $C = 60°$. จงหาสามด้าน $c$.

ขั้นตอนที่ 1. มุม $C$ อยู่ระหว่างด้าน $a$ และ $b$ — นี่คือกรณีที่กฎนี้ถูกสร้างขึ้นมา:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

ขั้นตอนที่ 2. แทนค่าตัวเลข, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

ขั้นตอนที่ 3. ถอดรากที่สอง: $c = \sqrt{169} = 13$.

คำตอบ: $13$. ตรวจสอบตามความหมาย: มุม $60°$ เป็นมุมแหลม ดังนั้นด้านที่อยู่ตรงข้ามจึงไม่ใช่ด้านที่ยาวที่สุด — และเป็นจริง, $13 < 15$.

ตัวอย่างที่ 2. มุมป้าน: ลบ คูณ ลบ

โจทย์. ในสามเหลี่ยม $ABC$ ทราบว่า: $AB = 6$, $BC = 10$, มุม $B = 120°$. จงหาสามด้าน $AC$.

ขั้นตอนที่ 1. มุม $B$ อยู่ระหว่างด้าน $AB$ และ $BC$, และด้าน $AC$ อยู่ตรงข้าม:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

ขั้นตอนที่ 2. มุมเป็นมุมป้าน ดังนั้น $\cos 120° = -0{,}5$. เครื่องหมายลบหน้าผลคูณและเครื่องหมายลบของโคไซน์ทำให้เกิดเครื่องหมายบวก:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

ขั้นตอนที่ 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

คำตอบ: $14$. ตรวจสอบ: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมป้านคือด้านที่ยาวที่สุด — $14$ ยาวกว่าทั้ง $6$ และ $10$.

ตัวอย่างที่ 3. หามุมจากสามด้าน

โจทย์. ด้านของสามเหลี่ยมยาว $3$, $5$ และ $7$. จงหามุมที่ใหญ่ที่สุด.

ขั้นตอนที่ 1. มุมที่ใหญ่ที่สุดอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด นั่นคือตรงข้ามด้าน $7$. ให้เราเรียกมุมนี้ว่า $C$, ดังนั้น $c = 7$, และด้านที่ประชิดคือ $a = 3$ และ $b = 5$.

ขั้นตอนที่ 2. ใช้ข้อสรุป:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

ขั้นตอนที่ 3. โคไซน์เป็นลบ — มุมเป็นมุมป้าน. จากตารางค่า $\cos 120° = -0{,}5$, ดังนั้น $C = 120°$.

คำตอบ: $120°$. นอกจากนี้ยังพบว่าสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน.

ตัวอย่างที่ 4. จำแนกประเภทสามเหลี่ยม

โจทย์. จงจำแนกประเภทสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $6$, $7$ และ $10$.

ขั้นตอนที่ 1. ตรวจสอบอสมการสามเหลี่ยม: $6 + 7 = 13 > 10$ — สามเหลี่ยมมีอยู่จริง. ด้านที่ยาวที่สุดคือ $10$.

ขั้นตอนที่ 2. เปรียบเทียบผลรวมของกำลังสองของสองด้านที่สั้นกว่ากับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

ขั้นตอนที่ 3. $85 < 100$, ดังนั้นตัวเศษของเศษส่วนจะเป็นลบ และ $\cos C < 0$ — มุมที่อยู่ตรงข้ามด้าน $10$ เป็นมุมป้าน. หากต้องการ สามารถหามุมได้เช่นกัน:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

คำตอบ: สามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน. โปรดทราบ: ดูด้วยตาเปล่าอาจไม่ชัดเจน — ด้านเกือบจะเท่ากัน แต่ก็มีมุมที่เกิน $90°$ ไปแล้ว.

ตัวอย่างที่ 5. โจทย์ระดับ OGE: เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

โจทย์. ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาว $5$ และ $8$, มุมแหลมคือ $60°$. จงหาเส้นทแยงมุมที่สั้นกว่า.

ขั้นตอนที่ 1. เส้นทแยงมุมจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีสองด้านที่ทราบค่า ($5$ และ $8$) และมุมระหว่างด้านนั้น. เส้นทแยงมุมที่สั้นกว่าจะอยู่ตรงข้ามมุมแหลม $60°$.

ขั้นตอนที่ 2. คำนวณ:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

ขั้นตอนที่ 3. ตรวจสอบ. เส้นทแยงมุมอีกเส้นจะอยู่ตรงข้ามมุม $120°$ (มุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมกันได้ $180°$): $D^2 = 89 + 40 = 129$, ดังนั้น $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$. ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมคือ $49 + 129 = 178$, และสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของด้านคือ $2(25 + 64) = 178$. ตรงกัน แสดงว่าการคำนวณถูกต้อง.

คำตอบ: $7$.

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์กฎของโคไซน์

ใช้โคไซน์ของมุมป้านเป็นค่าบวก. สำหรับด้าน $4$ และ $9$ ที่มีมุม $120°$ ระหว่างด้าน เขียน $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ และได้ $c \approx 7{,}8$.

$\cos 120° = -0{,}5$, และลบ คูณ ลบ ได้บวก: $c^2 = 97 + 36 = 133$, ดังนั้น $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. การตรวจสอบอย่างรวดเร็ว: ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมป้านคือด้านที่ยาวที่สุด ดังนั้นคำตอบต้องมากกว่า $9$.
แทนค่ามุมที่ไม่ใช่ระหว่างด้านที่กำหนด: ในโจทย์มีมุมหนึ่งมุม และนำมาใช้โดยไม่ได้ดูรูปภาพ.

ในสูตร $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ด้าน $a$ และ $b$ สร้างมุม $C$, และด้าน $c$ อยู่ตรงข้าม. หากมุมที่ทราบค่าอยู่ติดกับด้านที่ต้องการหา การเขียนแบบนี้ไม่ถูกต้อง — ต้องใช้สูตรอื่นจากสามแบบ หรือใช้กฎของไซน์.
ลืมถอดรากที่สองและเขียนค่ากำลังสองของด้านเป็นคำตอบ: ได้ $c^2 = 225$ และเขียนว่า «ด้านเท่ากับ 225».

สูตรให้ค่ากำลังสองของด้านเสมอ. ขั้นตอนสุดท้ายจำเป็น: $c = \sqrt{225} = 15$. อ่านคำถามของโจทย์ให้ละเอียดก่อนบันทึกคำตอบ.
สับสนลำดับของพจน์ในข้อสรุปและเขียน $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

ตัวเศษที่ถูกต้องคือ $a^2 + b^2 - c^2$: ผลรวมของกำลังสองของด้านที่ประชิด ลบด้วยกำลังสองของด้านที่อยู่ตรงข้าม. หากสลับลำดับ เครื่องหมายของเศษส่วนจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม และแทนที่จะเป็นมุมป้าน $120°$ จะได้มุมแหลม $60°$.
หามุมโดยใช้ค่าสัมบูรณ์ของโคไซน์: ได้ −0,25 แต่ตอบเป็นมุมแหลม ราวกับว่าโคไซน์เป็น +0,25.

โคไซน์ที่เป็นลบหมายถึงมุมป้านเสมอ. ห้ามละเลยเครื่องหมาย: cos 60° = 0,5 แต่ cos 120° = −0,5; อาร์กโคไซน์ของจำนวนลบจะมากกว่า 90°.
พยายามแก้โจทย์ «สองด้านและมุมระหว่างด้าน» ด้วยกฎของไซน์และติดขัดที่บรรทัดแรก.

กฎของไซน์ต้องการคู่ที่พร้อมใช้งาน «ด้านและมุมที่อยู่ตรงข้าม» เท่านั้น. เมื่อมีสองด้านและมุมระหว่างด้าน จะไม่มีคู่ดังกล่าว — ต้องใช้กฎของโคไซน์ก่อนเพื่อหาสามด้าน จากนั้นจึงใช้กฎของไซน์.

คำถามและคำตอบ

กฎของโคไซน์กล่าวว่าอย่างไร?

กำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้นกับโคไซน์ของมุมระหว่างด้าน: c² = a² + b² − 2ab·cos C. กฎนี้เป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมทุกชนิด ไม่ใช่แค่สามเหลี่ยมมุมฉาก.

จะหาสามด้านของสามเหลี่ยมได้อย่างไรเมื่อทราบสองด้านและมุมระหว่างด้าน?

แทนค่าที่ทราบลงในสูตร c² = a² + b² − 2ab·cos C และถอดรากที่สอง. ตัวอย่างเช่น สำหรับด้าน 4 และ 6 และมุม 60° ระหว่างด้าน: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28 ดังนั้น c = √28 ≈ 5,3.

จะหามุมของสามเหลี่ยมได้อย่างไรเมื่อทราบทั้งสามด้าน?

ใช้ข้อสรุปจากกฎของโคไซน์: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), โดยที่ c คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการหา. ตัวอย่างเช่น สำหรับด้าน 2, 3 และ 4 โคไซน์ของมุมที่ใหญ่ที่สุดคือ (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25 นั่นคือมุมเป็นมุมป้าน ประมาณ 104°.

ทำไมทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นกรณีพิเศษของกฎของโคไซน์?

เพราะเมื่อมุมเป็นมุมฉาก cos 90° = 0 และพจน์ −2ab·cos C จะเป็นศูนย์. สูตรจะเหลือ c² = a² + b² ซึ่งก็คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก.

กฎของโคไซน์ใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมป้านหรือไม่?

ใช่ และใช้ได้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง. สำหรับมุมป้าน โคไซน์จะเป็นลบ ดังนั้นพจน์ −2ab·cos C จะกลายเป็นบวกและถูกบวกเข้ากับผลรวมของกำลังสอง. นี่คือเหตุผลที่ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมป้านกลายเป็นด้านที่ยาวที่สุด.

เมื่อใดควรใช้กฎของไซน์ และเมื่อใดควรใช้กฎของโคไซน์?

กฎของไซน์จำเป็นเมื่อโจทย์มีคู่ «ด้านและมุมที่อยู่ตรงข้าม» อยู่แล้ว — ตัวอย่างเช่น ทราบด้านและสองมุม. กฎของโคไซน์ใช้เมื่อไม่มีคู่ดังกล่าว: ทราบสองด้านและมุมระหว่างด้าน หรือทราบทั้งสามด้าน. บ่อยครั้งที่โจทย์จะแก้ได้ในสองขั้นตอน: ขั้นแรกใช้กฎของโคไซน์ จากนั้นใช้กฎของไซน์.

จะจำแนกประเภทสามเหลี่ยมจากสามด้านได้อย่างไร?

เปรียบเทียบกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด c² กับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน. หาก a² + b² > c² — สามเหลี่ยมเป็นมุมแหลม, หาก a² + b² = c² — เป็นมุมฉาก, หาก a² + b² < c² — เป็นมุมป้าน. เครื่องหมายของผลต่างนี้จะเหมือนกับเครื่องหมายของโคไซน์ของมุมที่ใหญ่ที่สุด.

เรียนกฎของโคไซน์ในชั้นใด?

ในชั้น ม.3 ในวิชาเรขาคณิต ในหัวข้อ «ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยม» — พร้อมกับกฎของไซน์. ต่อไปจะมีการใช้กฎนี้อย่างต่อเนื่องในโจทย์ OGE และ ЕГЭ เกี่ยวกับระนาบและรูปทรง.

ยังมีคำถาม? ถามต่อในแชท

แก้โจทย์ของฉัน ตรวจสอบคำตอบของฉัน หาสามด้านของสามเหลี่ยม หามุมจากสามด้าน ไซน์หรือโคไซน์? ให้โจทย์สำหรับฝึกฝน

ผู้ใช้ #4365351

ฉันชอบโปรแกรมแก้ไขข้อความบนรูปภาพมาก ผลลัพธ์ออกมาเป็นผลงานชิ้นเอกเลย

Web · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4383661

ขอบคุณนะ ผลงานของ AI ทำให้ฉันประทับใจมาก สมบูรณ์แบบ!

ผู้ใช้ #4279467

ฉันชอบมากเลย ถ้ามีสิทธิ์ใช้งานฟรีเพิ่มอีกสักหน่อยจะดีมาก

Google Play · พฤษภาคม 2026

ผู้ใช้ #4160129

เป็นแอปที่ยอดเยี่ยมและราคาจับต้องได้

กฎของโคไซน์: สูตรและการพิสูจน์