Постройте график функции $y=-2x^2+8x-5$
Для построения графика квадратичной функции $y=-2x^2+8x-5$ выполним следующие шаги:
- Определим координаты вершины параболы
Функция имеет вид $y=a(x-h)^2+k$, где $(h,k)$ - координаты вершины.
Для нашей функции $y=-2x^2+8x-5$, коэффициент $a=-2$.
Координата $x$ вершины: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
Координата $y$ вершины: $k = f(h) = -2(2)^2+8(2)-5 = -2(4)+16-5 = -8+16-5 = 3$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2,3)$.
-
Определим направление ветвей параболы
Так как коэффициент $a=-2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
-
Найдем точки пересечения с осями координат
С осью $y$ (при $x=0$):
$y = -2(0)^2+8(0)-5 = -5$
Точка пересечения с осью $y$: $(0,-5)$
С осью $x$ (при $y=0$):
$0 = -2x^2+8x-5$
$2x^2-8x+5 = 0$
Используем формулу дискриминанта: $D = b^2-4ac = (-8)^2-4(2)(5) = 64-40 = 24$
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$
$x_1 \approx 3.22$ и $x_2 \approx 0.78$
Точки пересечения с осью $x$: $(0.78,0)$ и $(3.22,0)$
- Построим график
График представляет собой параболу с вершиной в точке $(2,3)$, ветвями, направленными вниз, и пересекающую ось $y$ в точке $(0,-5)$, а ось $x$ в точках $(0.78,0)$ и $(3.22,0)$.
