Национальные доходы стран для сбалансированной торговли

Я понял, нужно найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли, используя структурную матрицу.

Задание 11

Для решения этой задачи нам потребуется использовать модель международной торговли. В сбалансированной торговле сумма доходов каждой страны равна сумме её расходов. Структурная матрица A показывает доли расходов каждой страны на товары других стран.

Пусть $x_i$ - национальный доход страны i. Тогда условие сбалансированной торговли можно записать как:

$x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ji} x_j$

где $a_{ji}$ - элемент матрицы A, показывающий долю расходов страны j на товары страны i, а n - количество стран.

В нашем случае матрица A имеет вид:

$A = \begin{bmatrix}
1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \
1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \
1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \
2/2 & 2/2 & 2/3 & 2/3
\end{bmatrix}$

Запишем систему уравнений для национальных доходов стран S, S1, 2, 3:

$x_S = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{2}x_3$
$x_{S1} = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{2}x_3$
$x_2 = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{3}x_3$
$x_3 = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{3}x_3$

Упростим систему:

$\frac{3}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 - x_3 = 0$
$-\frac{1}{4}x_S + \frac{3}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 - x_3 = 0$
$-\frac{1}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{3}{4}x_2 - \frac{2}{3}x_3 = 0$
$-\frac{1}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 + \frac{1}{3}x_3 = 0$

Заметим, что первые два уравнения отличаются только перестановкой $x_S$ и $x_{S1}$, значит, $x_S = x_{S1}$.

Подставим $x_S = x_{S1}$ в третье и четвертое уравнения:

$-\frac{1}{2}x_S + \frac{3}{4}x_2 - \frac{2}{3}x_3 = 0$
$-\frac{1}{2}x_S - \frac{1}{4}x_2 + \frac{1}{3}x_3 = 0$

Умножим первое уравнение на 4 и второе на 4:

$-2x_S + 3x_2 - \frac{8}{3}x_3 = 0$
$-2x_S - x_2 + \frac{4}{3}x_3 = 0$

Вычтем из первого уравнения второе:

$4x_2 - 4x_3 = 0$
$x_2 = x_3$

Подставим $x_2 = x_3$ во второе уравнение:

$-2x_S - x_3 + \frac{4}{3}x_3 = 0$
$-2x_S + \frac{1}{3}x_3 = 0$
$2x_S = \frac{1}{3}x_3$
$x_3 = 6x_S$

Итак, мы получили:

$x_S = x_{S1}$
$x_2 = x_3$
$x_3 = 6x_S$

Пусть $x_S = 1$, тогда $x_{S1} = 1$, $x_2 = 6$, $x_3 = 6$.