Задание 8 (Перепроверка и детализация)
Давайте подробно разберем нахождение производной функции $f(x) = x^2 \sin(x)$.
1. Определение типа функции:
Функция $f(x)$ представляет собой произведение двух других функций:
* $u(x) = x^2$ (степенная функция)
* $v(x) = \sin(x)$ (тригонометрическая функция)
2. Правило дифференцирования:
Для нахождения производной произведения двух функций используется правило произведения (Product Rule):
Если $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, то её производная $f'(x)$ вычисляется по формуле:
$f'(x) = (u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Это правило гласит: производная произведения равна производной первого множителя, умноженной на второй, плюс первый множитель, умноженный на производную второго.
3. Нахождение производных множителей:
Нам нужно найти производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
* Для $u(x) = x^2$: Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$.
$u'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$
* Для $v(x) = \sin(x)$: Используем табличную производную тригонометрической функции $(\sin x)' = \cos x$.
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$
4. Применение правила произведения:
Теперь подставим найденные производные $u'(x)$ и $v'(x)$, а также исходные функции $u(x)$ и $v(x)$ в формулу правила произведения:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = (2x) \cdot (\sin x) + (x^2) \cdot (\cos x)$
5. Итоговый результат:
Упростив выражение, получаем окончательный ответ:
$f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
Проверка:
* Правильно ли определен тип функции? Да, это произведение $x^2$ и $\sin x$.
* Правильно ли выбрано правило дифференцирования? Да, правило произведения.
* Верно ли найдены производные $u'(x)=2x$ и $v'(x)=\cos x$? Да, по стандартным правилам.
* Верно ли применена формула $u'v + uv'$? Да, $(2x)(\sin x) + (x^2)(\cos x)$.
* Ошибок в алгебраических упрощениях нет.
Решение $f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ является верным.
