Выпишу подчинительные словосочетания и укажу подчинительные связи:

• Иго монголов: главное слово – иго, зависимое слово – монголов. Связь – управление (иго чего? монголов).
• Нашей родины: главное слово – родины, зависимое слово – нашей. Связь – согласование (родины чьей? нашей).

Предложение: Однако этим не закончилась борьба тотмичей за свою землю, свободу и независимость.

1. Тип предложения по цели высказывания: повествовательное.
2. Тип предложения по эмоциональной окраске: невосклицательное.
3. Тип предложения по количеству грамматических основ: простое.
4. Тип предложения по наличию главных членов: односоставное (безличное), так как есть только сказуемое.
5. Тип предложения по наличию второстепенных членов: распространенное.
6. Наличие осложняющих членов: осложнено однородными дополнениями.

Синтаксический разбор:

• Однако – вводное слово (не является членом предложения).
• Этим – обстоятельство, выражено указательным местоимением.
• Не закончилась – составное глагольное сказуемое, выражено частицей "не" и глаголом.
• Борьба – подлежащее, выражено существительным (в данном случае предложение односоставное, но можно условно выделить подлежащее).
• Тотмичей – несогласованное определение, выражено существительным в родительном падеже.
• За землю, свободу и независимость – однородные дополнения, выражены существительными с предлогом.
• Свою - согласованное определение, выражено притяжательным местоимением.

Схема предложения:

[Однако], [этим = не закончилась – борьба ~ тотмичей – за ~ землю, ~ свободу и ~ независимость].

Условные обозначения:

• = – сказуемое
• – подлежащее
• ~ – определение
• –. –. – обстоятельство
• – – – дополнение