Решение задач с линзами в физике

Основные понятия и формулы

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (или одной сферической и одной плоской). Линзы бывают собирающие (выпуклые) и рассеивающие (вогнутые).

Ключевые элементы линзы:

• Оптический центр (O) — точка внутри линзы, через которую лучи проходят без преломления
• Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр перпендикулярно линзе
• Фокус (F) — точка, в которой собираются лучи, идущие параллельно главной оптической оси (для собирающей линзы)
• Фокусное расстояние (f) — расстояние от оптического центра до фокуса

Основная формула тонкой линзы:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{i}$$

где:
- $f$ — фокусное расстояние линзы
- $d$ — расстояние от предмета до линзы
- $i$ — расстояние от линзы до изображения

Формула увеличения линзы:

$$Г = \frac{h'}{h} = -\frac{i}{d}$$

где:
- $Г$ — линейное увеличение
- $h$ — высота предмета
- $h'$ — высота изображения

Оптическая сила линзы:

$$D = \frac{1}{f}$$

где $D$ измеряется в диоптриях (дптр), а $f$ — в метрах.

Правила построения изображений в линзах

Для построения изображения достаточно провести два из трёх характерных лучей:

1. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус (для собирающей линзы) или кажется исходящим из фокуса (для рассеивающей)

2. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется

3. Луч, проходящий через фокус (для собирающей) или направленный к фокусу (для рассеивающей), после преломления идёт параллельно главной оптической оси

Алгоритм решения задач с линзами

Шаг 1: Анализ условия задачи

• Определите тип линзы (собирающая или рассеивающая)
• Выпишите все известные величины (фокусное расстояние, расстояние до предмета, высота предмета и т.д.)
• Определите, что требуется найти

Шаг 2: Применение формулы тонкой линзы

• Используйте формулу $\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{i}$
• Обратите внимание на знаки: для собирающей линзы $f > 0$, для рассеивающей $f < 0$
• Если $i > 0$ — изображение действительное, если $i < 0$ — мнимое

Шаг 3: Определение характеристик изображения

• Рассчитайте увеличение: $Г = -\frac{i}{d}$
• Если $Г > 0$ — изображение прямое, если $Г < 0$ — перевернутое
• Если $|Г| > 1$ — изображение увеличенное, если $|Г| < 1$ — уменьшенное

Шаг 4: Построение изображения (если требуется)

• Используйте правила построения характерных лучей
• Проверьте согласованность графического решения с аналитическим

Примеры решения задач

Пример 1: Собирающая линза

Задача: Предмет высотой 5 см находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Найдите положение и характеристики изображения.

Решение:

1) Дано:
- $h = 5$ см
- $d = 30$ см
- $f = 20$ см (собирающая линза, $f > 0$)

2) Найдем расстояние от линзы до изображения по формуле тонкой линзы:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{i}$
$\frac{1}{20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{i}$
$\frac{1}{i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3-2}{60} = \frac{1}{60}$
$i = 60$ см

3) Определим увеличение:
$Г = -\frac{i}{d} = -\frac{60}{30} = -2$

4) Характеристики изображения:
- $i = 60$ см > 0, значит изображение действительное
- $Г = -2 < 0$, значит изображение перевернутое
- $|Г| = 2 > 1$, значит изображение увеличенное
- Высота изображения: $h' = h \cdot Г = 5 \cdot (-2) = -10$ см (знак минус указывает на перевернутость)

Ответ: Изображение действительное, перевернутое, увеличенное в 2 раза, находится на расстоянии 60 см от линзы, его высота 10 см.

Пример 2: Рассеивающая линза

Задача: Предмет находится на расстоянии 15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием -10 см. Найдите положение и характеристики изображения.

Решение:

1) Дано:
- $d = 15$ см
- $f = -10$ см (рассеивающая линза, $f < 0$)

2) Найдем расстояние от линзы до изображения:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{i}$
$\frac{1}{-10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{i}$
$-\frac{1}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{i}$
$\frac{1}{i} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = -\frac{15+10}{150} = -\frac{25}{150} = -\frac{1}{6}$
$i = -6$ см

3) Определим увеличение:
$Г = -\frac{i}{d} = -\frac{-6}{15} = \frac{6}{15} = 0.4$

4) Характеристики изображения:
- $i = -6$ см < 0, значит изображение мнимое
- $Г = 0.4 > 0$, значит изображение прямое
- $|Г| = 0.4 < 1$, значит изображение уменьшенное

Ответ: Изображение мнимое, прямое, уменьшенное в 2.5 раза, находится на расстоянии 6 см от линзы со стороны предмета.

Особые случаи расположения предмета

1. Предмет в фокусе собирающей линзы ($d = f$):
   - Изображение формируется в бесконечности
   - Лучи после преломления идут параллельно

2. Предмет между фокусом и линзой ($d < f$) для собирающей линзы:
   - Изображение мнимое, прямое, увеличенное
   - Находится за предметом

3. Предмет в двойном фокусе ($d = 2f$) для собирающей линзы:
   - Изображение действительное, перевернутое
   - Находится также на расстоянии $2f$ от линзы
   - Размер изображения равен размеру предмета

4. Предмет в бесконечности:
   - Изображение формируется в фокусе линзы
   - Для собирающей линзы — действительное, для рассеивающей — мнимое