Задача на расчет массы

Дано:
- Скорость (v = 0,9c), где c - скорость света
- Масса покоя (m_0 = 9 \cdot 10^{-31}) кг
- Найти: массу m

Решение:
1) Для расчета массы при релятивистских скоростях используем формулу:
[m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}]

2) Подставляем значения:
[m = \frac{9 \cdot 10^{-31}}{\sqrt{1-\frac{(0,9c)^2}{c^2}}} = \frac{9 \cdot 10^{-31}}{\sqrt{1-0,81}}]

3) Вычисляем:
[m = \frac{9 \cdot 10^{-31}}{\sqrt{0,19}} = \frac{9 \cdot 10^{-31}}{0,436} = 2,06 \cdot 10^{-30}] кг

Ответ: (m = 2,06 \cdot 10^{-30}) кг

Подробное объяснение релятивистского эффекта массы

🎯 В данной задаче мы сталкиваемся с одним из важнейших эффектов специальной теории относительности - зависимостью массы тела от скорости его движения.

📝 Основные понятия:
1. Масса покоя ((m_0)) - это масса тела, измеренная в системе отсчёта, где тело неподвижно
2. Релятивистская масса ((m)) - масса движущегося тела
3. Скорость света ((c)) - фундаментальная константа, ≈ 3⋅10⁸ м/с

🔍 Подробный разбор решения:

1) Используем формулу релятивистской массы:
[m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}]
Эта формула показывает, что масса тела возрастает при увеличении скорости.

2) В нашем случае:
- (v = 0,9c) (90% от скорости света)
- (m_0 = 9 \cdot 10^{-31}) кг (масса покоя)

3) Подстановка и расчёт:
- Сначала вычисляем (\frac{v^2}{c^2} = \frac{(0,9c)^2}{c^2} = 0,81)
- Затем (1 - 0,81 = 0,19)
- (\sqrt{0,19} ≈ 0,436)

4) Окончательный расчёт:
[m = \frac{9 \cdot 10^{-31}}{0,436} = 2,06 \cdot 10^{-30}] кг

🎓 Важное замечание:
При скорости 0,9c масса тела увеличивается примерно в 2,29 раза по сравнению с массой покоя. Это демонстрирует, что при приближении к скорости света масса тела существенно возрастает.

📊 Пояснение к графику:

На графике показана зависимость отношения релятивистской массы к массе покоя (m/m₀) от отношения скорости тела к скорости света (v/c). Красная точка на графике соответствует нашему случаю, когда v = 0,9c.

График наглядно демонстрирует:
1. При малых скоростях масса практически не меняется (m ≈ m₀)
2. При приближении к скорости света (v → c) масса стремится к бесконечности
3. В нашем случае (v = 0,9c) масса увеличивается в 2,29 раза

Это объясняет, почему невозможно достичь скорости света - для этого потребовалась бы бесконечная энергия.

Задача на расчет скоростей при равномерном движении

Дано:
- (\lambda_1 = 2) мм - длина волны первого источника
- (\lambda_2 = 4) мм - длина волны второго источника
- (v_T = c) - скорость распространения волн (скорость света)

Найти: (v_1) и (v_2) - скорости источников

Решение:

1) Для определения скорости источника используем эффект Доплера.
Формула для случая, когда источник движется от наблюдателя:
[\lambda = \lambda_0\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}]

2) Для первого источника:
[2 = \lambda_0\sqrt{\frac{c+v_1}{c-v_1}}]

3) Для второго источника:
[4 = \lambda_0\sqrt{\frac{c+v_2}{c-v_2}}]

4) Разделим второе уравнение на первое:
[\frac{4}{2} = \sqrt{\frac{(c+v_2)(c-v_1)}{(c-v_2)(c+v_1)}}]

5) Учитывая симметрию задачи и то, что скорости должны быть равны по модулю, но противоположны по направлению:
[v_1 = -v_2]

6) Подставляя это условие в уравнение и решая его:
[2 = \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}]
[4 = \frac{c-v}{c+v}]
[4c + 4v = c - v]
[5v = -3c]
[v = -\frac{3c}{5}]

Отсюда:
- (v_1 = \frac{3c}{5} = 0,6c)
- (v_2 = -\frac{3c}{5} = -0,6c)

Ответ: (v_1 = 0,6c), (v_2 = -0,6c)

📊 Пояснение к графику:

На графике показаны волны от двух источников:
- Красная линия - волна от первого источника (λ₁ = 2 мм)
- Синяя линия - волна от второго источника (λ₂ = 4 мм)

🔑 Важные выводы:
1. Разница в длинах волн (λ₂/λ₁ = 2) возникает из-за противоположно направленных движений источников
2. Скорости источников равны по модулю (0,6c), но противоположны по направлению
3. Эффект Доплера приводит к уменьшению длины волны при движении источника к наблюдателю (первый источник) и увеличению при удалении (второй источник)